1、 9/9北京大學量子力學復習提綱 北京大學量子力學復習提綱 第一章 緒論 1.德布羅意關系, E h = (1) h p n k = (2) 2.微觀粒子的波粒二象性. 3. 電子被V 伏電壓加速,則電子的德布羅意波長為 12.25 h A = (3) 第二章 波函數和薛定諤方程 1.波函數的統計解釋: 波函數在空間某一點的強度()2 ,r t 和在該處找到粒子的幾率成正比,描寫粒子的波是幾率波. 其中2 w * =代表幾率密度. 2.態疊加原理: 如果1和2是體系的可能狀態,那么它們的線性疊加 1122c c =+,也是體系的一個可能狀態. 3. 薛定諤方程和定態薛定諤方程 薛定諤方程 ()

2、(),?,r t i H r t t ?=? (4) 定態薛定諤方程 ()()?H r E r = (5) 其中 ()2 2?2H U r =-?+ (6) 為哈密頓算符,又稱為能量算符, 4. 波函數的標準條件: 有限性,連續性(包括及其一階導數)和單值性. 5. 波函數的歸一化, 1d * =? (9) 6.求解一維薛定諤方程的幾個例子. 一維無限深勢阱及其變種, 一維線性諧振子; 勢壘貫穿. 第三章 量子力學中的力學量 1. 坐標算符, 動量算符及角動量算符;構成量子力學力學量的法則; 2. 本征值方程,本征值,本征函數的概念 ?F = (10) 3. 厄密算符的定義,性質及與力學量的關

3、系. ?F dx * =? ()?F dx * ? (11) 實數性: 厄密算符的本征值是實數. 正交性: 厄密算符的屬于不同本征值的兩個本征函數 相互正交. 完全性: 厄密算符?F 的本征函數()n x 和()x 組成完全系, 即任一函數()x 可以按()n x 和()x 展開為級數: ()()()n n n x c x c x d = +? (12) 展開系數: ()()n n c x x dx *=?, (13) ()()c x x dx * =?. (14) 2 n c 是在()x 態中測量力學量F 得到n 的幾率, 2 c d 是在()x 態中測量力學量F ,得到測量結果在 到d +

4、范圍內的幾率. 4. 2?L 和?Z L 算符的本征值方程,本征值和本征函數. ()22?1L l l =+, ?z L m = 本征函數 (),lm Y . 5. 氫原子的哈密頓算符及其本征值,本征函數nlm 的數學結構, ()()(),nlm nl lm r R r Y = (15) 主量子數n ,角量子數l 和磁量子數m 的取值范圍,簡并態的概念. 6. 氫原子的能級公式和能級的簡并度. 4 22 , 1,2,3,.2s n e E n n =- = (16) 不考慮電子的自旋是2n 度簡并的; 考慮電子的自旋是22n 度簡并的. 7. 給定電子波函數的表達式,根據電子在(),r 點周圍

5、的 體積元內的幾率 ()2 2 ,sin nlm r r drd d (17) 計算電子幾率的徑向分布和角分布. 計算在半徑r 到r dr +的球殼內找到電子的幾率. 8. 給定態函數,計算力學量平均值,平均值的計算公式. ()()?F x F x dx *=? (18) 注意(11)式對波函數所在的空間作積分. 9. 算符的對易關系及測不準關系. (1) 如果一組算符相互對易,則這些算符所表示的力學量同時 具有確定值(即對應的本征值), 這些算符有組成完全系的共同的本征函數. 例如: 氫原子的哈密頓算符?H ,角動量平方算符2?L 和角 動量算符?z L 相互對易, 則 (i) 它們有共同的

6、本征函數nlm , (ii) 在態nlm 中,它們同時具有確定值: 4 2 2 2s n e E n =- , () 2 1l l +, m . (2) 測不準關系:如果算符?F 和?G 不對易,則一般來說它們不能同時有確定值. 設 ?F ?G -?G ?F =?ik 則算符?F 和?G 的均方偏差滿足: ()_ 2 ?F ?() _ 2 2 ?4 k G ? (19) 其中 () ()_ _ _2 2 2 22 22F F F F FF F F F ?=-=-+=- () _ _2 2 2F F F ?=-, ()_ _2 2 2G G G ?=- (a) 利用測不準關系估計氫原子的基態能量

7、, 線性諧振子 的零點能等. (b) 給定態函數,計算兩個力學量?F 和?G 的均方偏差的乘積 ()_ 2 ?F ?()_ 2 ?G ?= (20) 第四章 態和力學量的表象 1. 對表象的理解 (1) 狀態: 態矢量 (2) Q 表象:力學量Q 的本征函數 ()()()12,.,.n u x u x u x 構成無限維希耳伯特空間(坐標系)的基矢量 (4) 將態矢量按照上述基矢量展開: ()()(),n n n x t a t u x = ()()()12,.,.n a t a t a t 是態矢量在Q 表象中沿各 基矢量的分量. (5) ()2 n a t 是在(),x t 所描寫的態中,

8、測量力學量Q 得到結果為n Q 的幾率. 2. 算符在Q 表象中的表示 (i)算符?F 在Q 表象中是一個矩陣, nm F 稱為矩陣元 ()(),nm n m F u x F x u x dx i x *? ? ? ? (ii) 算符在自身表象中是一個對角矩陣,其對角矩陣元為 該算符對應的本征值. 3. 量子力學公式的矩陣表述 (1) 平均值公式: ?F F = (21) (2) 本征值方程 久期方程 ()()()()()()11111212 22122212 . . . . : : : . . : : :m m n n nm m m a t a t F F F a t a t F F F F

9、 F F a t a t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 111212122212 . . . . 0 . . n n n n nn F F F F F F F F F -=- (3) 薛定諤方程的矩陣形式 d i H dt = (22) 4. 么正變換的概念 (1) 么正變換是兩個表象基矢量之間的變換矩陣. (2) 么正變換的矩陣元由兩個表象的基矢量共同確定, ()()()(),.n n m m S x x dx S x x dx ?* * ?=? ?=? ? (3) 態矢量由A 表象變換到B 表象的公式 1b S a -= (23)

10、 (4) 力學量?F 由A 表象變換到B 表象的公式: 1F S FS -= (24) 5. 么正變換的性質 (i) 么正變換不改變算符的本征值; (ii) 么正變換不改變矩陣F 的跡; (iii) 么正變換不改變力學量的平均值. 第五章 微擾理論 (I) 求解非簡并定態微擾問題 (1) 確定微擾的哈密頓算符?H . ()0?H H H =+, 及與()0?H 對應的零級近似能量() n E 和零級近似波函數 () 0n ; (2) 計算能量的一級修正: ()()()100?n n n E H d * =? (25) (3) 計算波函數的一級修正: ()()()() 10 00mn n m m

11、 n m H E E =- (26) (4) 計算能量的二級修正: ()() ( ) 22 0nl n l n l H E E E =- (27) (II) 求解非簡并定態微擾問題 (只要求能量的一級修正) 求解步驟 (1) 確定微擾的哈密頓算符?H . (2) 確定微擾算符的矩陣元: ?li H =?l i H d *? (28) (3) 求解久期方程得到能量的一級修正 () () () 1 11 12 11 2122 2 1 12 .n k n k k k kk n H E H H H H E H H H H E -=- (29) (III) 變分法不作要求 (IV) 含時微擾論 (1)

12、基本步驟 設0?H 的本征函數為n 為已知: 0?n n n H = (30) 將按照0 ?H 的定態波函數n i t n n e -=展開: ()n n n a t = (31) 展開系數的表達式: ()0 1 mk t i t m mk a t H e dt i = ? (32) 其中 ?mn m n H H d *=? (33) 是微擾矩陣元, () 1 m n mn = - (34) 為體系由n 能級躍遷到m 能級的玻爾頻率. 在t 時刻發現體系處于m 態的幾率是 ()2 m a t , 體系在微 擾的作用下,由初態k 躍遷到終態m 的幾率為 () 2 k m m W a t = (3

13、5) (2) 用于周期微擾()()?i t i t H t F e e -=+得到 ()()()11mk mk i t i t mk m mk mk F e e a t +-? -=-+?+-? (36) 由(36)式,討論并理解發生躍遷的條件是 mk =或 m k m k = (37) (i) 表明只有外界的微擾含有頻率mk 時,體系才能從k 態躍遷到m 態,這時體系吸收和發射的能量是mk ; (ii)躍遷是一個共振現象. (3) 能量時間的測不準關系的含義 E t ? ? (38) (4) 了解原子的躍遷幾率和三個愛因斯坦系數: mk A , mk B 和km B 及相互關系. (5) 了

14、解用含時微擾理論計算愛因斯坦發射和吸收系數 (6) 記住對角量子數和磁量子數的選擇定則 1,0, 1.l l l m m m ?=-=? ?=-=? (39) 第六章 自旋與全同粒子 1. 電子的自旋角動量S ,它在空間任何方向的投影只能取 2z S = (40) 2. 自旋算符的矩陣形式 01?210 x S ?= ? ?, 0?20y i S i ?-= ? ?, 10?201z S ?= ? ?-? (41) 3.泡利矩陣 1?1 0 x ? = ? ? ?, 0?0y i i ?-= ? ?, 10?01z ?= ? ?-? (42) (1) 求力學量在某個自旋態的平均值和均方偏差. ?G G = (43) ()11121? 1 2 22122G G G G G G *? = ? ? ? ? (44) (2)