1、第九講：二次函數十大基本問題知識模塊與方法知識模塊一：二次函數的定義問題1二次函數的概念：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數。 這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零二次函數的定義域是全體實數2. 二次函數的結構特征： （1）等號左邊是函數，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數是2 （2）是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項知識、題型、方法例1：若是二次函數，則 。變式練習：已知，試討論分別為何值時為正比例函數、反比例函數、二次函數？課堂演練一：1. 二次函數的二次項系數是 ，一次項系數是 ，常數項是 。2. 若y(m1)x3x1是二次函數，則m的值為_3.

2、 已知函數，則自變量的取值范圍是 。4. 某廣告公司欲設計一幅周長為12米的矩形廣告牌，廣告設計費為每平方米1000米，設 矩形的一邊長為米，所花費用為元。則與之間的函數關系式為 。5. 已知函數，當為何值時： （1）是的正比例函數，且隨著增大而增大。 （2）函數圖象是位于第二、四象限的雙曲線。 （3）函數圖象是開口向上的拋物線。知識模塊二：二次函數的圖象及其性質1. 二次函數基本形式：的性質：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值2. 的性質： 上

3、加下減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值3. 的性質： 左加右減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值4. 的性質：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值二次函數圖象的過點問題與交點問題中考方法點撥：二次函數圖象的過點問題與交點問題實際上就是方程

4、問題、代入求值問題 的綜合，只要緊緊抓住函數圖象經過的點或交點的橫坐標與縱坐標都滿足 函數解析式，然后代入解析式可得方程（組），從而求解。知識、題型、方法例2：已知拋物線和直線都經過點（，）。（1）求，的值。 （2）是否存在另一個交點？若存在，請求出。變式練習：1（2008，長春）已知，如圖，直線經過和兩點，它與拋物線在第一象限內相交于點P，又知的面積為4，求的值。 第1題圖 第2題圖2（2008，遼寧大連）如圖10，直線和拋物線都經過點A(1，0)，B(3，2)（1）求m的值和拋物線的解析式；（2）求不等式的解集(直接寫出答案)。課堂演練二：1二次函數的圖象經過兩點A（，），B（，），則 。

5、2若拋物線與軸的交點坐標是（，0）則 。3. 已知函數的圖象與直線交于點（1，）， 則求 。4. 如圖，是二次函數yax2xa21的圖象，則a_ 第4題圖二次函數圖象的單調性問題：中考方法點撥： 判斷二次函數的單調性要緊緊抓住拋物線的開口方向和對稱軸， 對稱軸是二次函數單調性的分界點，即：1. 當時，拋物線開口向上：在范圍內，隨的增大而減?。辉诜秶鷥龋S的增大而增大；當時，有最小值。當時，拋物線開口向下： 在范圍內，隨的增大而增大；在范圍內，隨的增大而減小； 當時，有最大值。知識、題型、方法例3：（2011，浙江舟山）如圖，已知二次函數的圖象經過點（1，0），（1，2），當隨的增大而增大時，的

6、取值范圍是 。例3圖（1,-例3圖（1,-2）-1 變式練習第2題圖例4：（2008，山東東營）若A（），B（），C（）為二次函數 的圖象上的三點，則的大小關系是（ ） A B C D變式練習：1（2011，廣安）若二次函數當l時，隨的增大而減小，則的取值范圍是（ ） A=l Bl Cl Dl2（2011，浙江溫州）已知二次函數的圖象(0 x3)如第9題圖所示。關于該函數在所給自變量取值范圍內，下列說法正確的是( ) A有最小值0，有最大值3 B有最小值1，有最大值0 C有最小值1，有最大值3 D有最小值1，無最大值課堂演練三：1當時，二次函數的最小值是 ，最大值是 。2（2011，廣東廣州）

7、下列函數中,當x0時y值隨x值增大而減小的是（ ）Ay = x2 By = x C y = eq f(3,4) xDy = eq f(1,x)3（2011，山東聊城）下列四個函數圖象中，當x0 B b0 C c0 D abc0 2。（2010，湖北孝感）如圖，二次函數的圖象與軸正半軸相交，其頂點坐標為，下列結論：ac0；a+b=0；4acb2=4a；a+b+c0。其中正確的個數是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 xy-11xy-11O1 第2題圖 第3題圖 第4題圖3。（2011，甘肅蘭州）如圖所示的二次函數的圖象中，劉星同學 觀察得出了下面四條信息： （1）；（2）c1；（3）

8、2ab0；（4）a+b+c0。你認為其中錯誤的有（ ）A2個 B3個C4個 D1個 4。（2011，山東日照）如圖，是二次函數 yax2bxc（a0）的圖象的一部分， 給出下列命題 ：a+b+c=0；b2a；ax2+bx+c=0的兩根分別為和1；a-2b+c0。其中正確的命題是 。（只要求填寫正確命題的序號）5。（2009，廣西南寧）已知二次函數（）的圖象如圖4所示，有下列四個結論：，其中正確的個數有（ ）A1個B2個C3個D4個1圖4Oxy1圖4Oxy3-1Ox=1yx圖56。（2008甘肅蘭州）已知二次函數（）的圖象如圖5所示，有下列 四個結論：； ； ； 。其中正確的結論有（ ）A1個

9、B2個 C3個 D4個7。（2007，天津）已知二次函數的 圖象如右圖所示， 有下列5個結論： ； ； ； ； ，（的實數）其中正確的結論有（ ）A。2個B。3個C。4個D。5個 8。（2007，南充）如右圖是二次函數yax2bxc圖象的一部分， 圖象過點A（3，0），對稱軸為x1給出四個結論： b24ac； 2ab=0； abc=0； 5ab。 其中正確結論是（ ）。（A） （B） （C） （D）二次函數的平移問題中考方法點撥：拋物線的平移只改變它的位置，不改變其形狀和開口方向，即的值不變。 解決這類問題的關鍵是利用好平移特征，在圖形的平移中，一個點的位置 變化和一個圖形的位置變化是一致的，

10、只須抓住拋物線的頂點需要進行怎 樣的平移即可。解答思路：先求出拋物線的頂點坐標，然后將頂點坐標進行平移改變，再利用頂點式求出 平移后的拋物線解析式。（平移前先把二次函數的解析式化成頂點式）知識、題型、方法例8：（1）（2011，山東濱州）拋物線可以由拋物線平移得到，則下列平移過程正確的是( )A。先向左平移2個單位,再向上平移3個單位 B。先向左平移2個單位,再向下平移3個單位C。先向右平移2個單位,再向下平移3個單位 D。先向右平移2個單位,再向上平移3個單位（2）（2010，畢節）把拋物線的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為，則（ ） A。， B。，C。， D。，

11、課堂演練六：1。（ 2011，重慶江津）將拋物線向上平移3個單位,再向右平移4個單位等到的拋物線是 。2。（2009，瀘州）在平面直角坐標系中，將二次函數的圖象向上平移2個單位，所得圖象的解析式為（ ）A B C D3。（2009，蘭州）把拋物線向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為（ ）A BC D4.（2008，資陽市） 在平面直角坐標系中，如果拋物線y2x2不動，而把x軸、y軸分別向上、向右平移2個單位，那么在新坐標系下拋物線的解析式是 ( )Ay2(x2)2 + 2By2(x + 2)22 Cy2(x2)22Dy2(x + 2)2 + 25。要得到二次函數的圖

12、象，需將的圖象（ ）。A向左平移2個單位，再向下平移2個單位B向右平移2個單位，再向上平移2個單位C向左平移1個單位，再向上平移1個單位D向右平移1個單位，再向下平移1個單位6。（2008，山西?。佄锞€經過平移得到，平移方法是（ ）A向左平移1個單位，再向下平移3個單位B向左平移1個單位，再向上平移3個單位C向右平移1個單位，再向下平移3個單位D向右平移1個單位，再向上平移3個單位7。如果將拋物線沿直角坐標平面向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度得到拋物線。你能確定、的值嗎？試試看。二次函數圖象與一次函數或反比例函數圖象在同一坐標系內的問題中考方法點撥：（假設法與數型結合思想）知識、

13、題型、方法例9：（1）（2011，四川涼山州）二次函數的圖1像如圖所示，反比列函數 與正比列函數在同一坐標系內的大致圖像是（ ） 圖1圖1OxyOyxAOyxBOyxDOyxC （2）（2009，蘭州）在同一直角坐標系中，函數和函數 （是常數，且）的圖象可能是（ ）課堂演練七：1。（2011，山東德州）已知函數（其中）的圖象如下圖所示，則函數的圖象可能正確的是（ ） yxyx11O（A）yx1-1O（B）yx-1-1O（C）1-1xyO（D）2。（2011，安徽蕪湖）二次函數的圖象如圖2所示，則反比例函數與一次函數在同一坐標系中的大致圖象是（ ）。 3。（2009，煙臺）二次函數的圖象如圖3所

14、示，則一次函數1Oxy 圖3與反比例函數1Oxy 圖3yxOyyxOyxOBCyxOAyxOD 4。（2008，吉林省長春市）已知反比例函數的圖象如下圖4所示，則二次函數的圖象大致為（ ）DC AB 圖4 DC AB5。（2011，湖南湘潭）在同一坐標系中，一次函數與二次函數的圖像可能是（ ） 6。（2009，湖北荊門）函數y=ax1與y=ax2bx1（a0）的圖象可能是（ ）A B C DA B C D7。（2007，云南雙柏縣）在同一坐標系中一次函數和二次函數的圖象 OxOxyOxyOxyOxyABCD二次函數的解析式問題：知識、題型、方法用待定系數法求二次函數的解析式常用三種方法：1已知

15、拋物線過三點，設一般式yax2bxc2已知拋物線頂點坐標及一點，設頂點式ya(xh)2k3已知拋物線與x軸有兩個交點（或已知拋物線與x軸交點的橫坐標）， 設兩根式：ya(xx1)(xx2) （其中x1、x2是拋物線與x軸交點的橫坐標）例10：（1）已知二次函數過（，0），（3，0），（0，），求此拋物線 的解析式。 （2）二次函數圖象經過（3，），對稱軸，拋物線與軸兩交點間的距離為 6， 求二次函數的解析式。變式練習：1. 已知二次函數過點（2，0），（4，0），頂點到軸的距離為1，求此函數的解析式。（2011，湖南湘潭節選）如圖，直線交軸于A點，交軸于B點，過A、B 兩點的拋物線交軸于另一點

16、C（3,0）。求拋物線的解析式。 OCOCBA課堂演練八：1. 已知二次函數當時有最小值3，且過（1，5），則二次函數的解析式為 。2. 已知二次函數的圖象經過點A（，0），B（3，0）且頂點的縱坐標為，則這個二次函數的解析式為 。3. 若拋物線的頂點坐標為（1，3），且與的開口大小相同，方向相反，則二次函數的解析式為 。4已知一個二次函數的圖象過（0，1）、（2，4）、（3，10）三點，求這個二次函數的表達式。（2011，貴州安順）如圖，拋物線y=x2+bx2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點， 且A（一1，0）。 （1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標； （2）判斷ABC的形狀，證明你的結

17、論； （3）點M(m，0)是x軸上的一個動點，當CM+DM的值最小時，求m的值。 （2011，貴陽）如圖所示，二次函數y= -x2+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A（3，0）， 另一個交點為B，且與y軸交于點C。 （1）求拋物線的解析式； （2）求點B的坐標； （3）該二次函數圖象上有一點D（x，y）（其中x0，y0），使SABD=SABC，。求點D 的坐標。 二次函數與配方法問題：知識、題型、方法例11：（1）（2011，濟寧）將二次函數化為的形式，則 。（2）（2009，泰安）拋物線的頂點坐標為（ ）（A）（-2，7） （B）（-2，-25） （C）（2，7） （D）（2，-9）例12：

18、（2011，廣東肇慶）二次函數有（ ）A最大值B最小值C最大值D最小值變式練習：分別在下列范圍內求函數的最大值或最小值。（1）； （2）。課堂演練九：1（2011，上海）拋物線y(x2)23的頂點坐標是（ ）(A)（2，3）； (B)（2，3）； (C)（2，3）； (D)（2，3） 2（2011，湖南永州）由二次函數，可知（ ）A其圖象的開口向下 B其圖象的對稱軸為直線C其最小值為1 D當時，y隨x的增大而增大 3(2009，上海)拋物線（是常數）的頂點坐標是（ ）ABCD4（2009年北京市）若把代數式化為的形式，其中為常數，則= 。5若一次函數的圖象過第一、三、四象限，則二次函數有（ ）

19、 A最大值 B最大值 C最小值 D最小值二次函數與一元二次方程問題：知識與方法：1. 二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與軸的交點情況）：一元二次方程是二次函數當函數值時的特殊情況。圖象與軸的交點個數由一元二次方程的判別式來決定，具體如下： （1）當時，圖象與軸交于兩點，其中的 是一元二次方程的兩根。這兩點間的距。 （2）當時，圖象與軸只有一個交點； （3）當時，圖象與軸沒有交點。 當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有； 當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有。 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，。 知識、題型、方法例13：已知拋物線（為常數）。 （1）證明：不論何值，拋物線與軸恒有兩個不同的交點。 （2）若拋物線與軸的交點A（，0），B（，0）的距離AB4（A在B的左邊），且拋物線交軸正半軸于C，求拋物線的解析式。變式練習： （2009，孝感）已知拋物線（k為常數，且k0）。（1）證明：此拋物線與x軸總有兩個交點；（2）設拋物線與x軸交于M、N兩點，若這兩點到原點的距離分別為OM、ON，且，求k的值。例14：（2007，江西省）已知二次函數的部分圖象如下圖所示，則關于的