1、文檔編碼 : CN9G8R8F4O4 HK6V8X7N1H4 ZY8F2M4A1O1學習好資料 歡迎下載菱形性質和判定復習 教案 適用學科數學適用年級中學二年級適用區域全國課時時長（分鐘）60 學問點1.菱形的性質2.菱形的判定教學目標1.把握菱形的定義；會用菱形的對角線長來2.探究并把握菱形的性質；3.會用菱形的定義和性質進行有關的論證和運算,運算菱形的面積；4. 菱形的判定定理的運用教學重點 1.菱形的把握菱形的性質和應用；2.把握菱形的性質推導及面積運算方法的推導教學難點 1.應用菱形的定義和性質進行合理的論證和運算2,運用綜合法解決菱形的相關題型學習好資料 歡迎下載教學過程一、 復習預

2、習回憶 : 平行四邊形的性質和判定學習過程：老師活動： 老師教具演示,移動平行四邊形的一邊,使之一組鄰邊相等,引出菱形與平行四邊形的關系,由此得到菱形的概念；同學活動：一剪一剪：將一張長方形的紙對折、再對折,然后沿圖中的虛線剪下,打開即可1、觀看所剪的菱形紙片,摸索以下問題：A B O D C 圖 1 （1）哪些線段是相等的？哪些角是相等的？（2）有哪些是等腰三角形？哪些是直角三角形？（3）它是軸稱圖形嗎？有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關系？學習好資料 歡迎下載2、歸納菱形的特殊性質：（1 ）邊（2 ）對角線（3 ）對稱性一探究一、 1、自主自習：菱形的性質菱形的對邊 _ ；菱形的四邊_

3、菱形的對角線 _ ；菱形是 _ 對稱圖形；菱形的面積 =_ 或 菱形的面積 = _ 四邊 _ 的平行四邊形是菱形；一組 _ 的四邊形是菱形；菱形的判定：對角線 _ 的平行四邊形是菱形；對角線 _ 的四邊形是菱形；2、合作探究：如圖,四邊形 ABCD 是邊長為 13 cm 的菱形,其中對角線 BD 長 10 cm ,求： 1 對角線 AC 的長度； 2 菱形 ABCD 的面積由此（ 2）推出： S 菱形 = 對角線乘積的一半學習好資料 歡迎下載二、學問講解考點 1 菱形的性質菱形是特殊的平行四邊形,它具有平行四邊形的全部性質, 邊的性質：對邊平行且四邊相等 角的性質：鄰角互補,對角相等.仍具有自

4、己特殊的性質： 對角線性質：對角線相互垂直平分且每條對角線平分一組對角 對稱性：菱形是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形菱形的面積等于底乘以高,等于對角線乘積的一半點評：其實只要四邊形的對角線相互垂直,其面積就等于對角線乘積的一半菱形的判定判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定：對角線相互垂直的平行四邊形是菱形判定：四邊相等的四邊形是菱形學習好資料 歡迎下載易錯點 1 重點是菱形的性質和判定定理；菱形是在平行四邊形的前提下定義的,第一它是平行四邊形, 但它是特殊的平行四邊形,特殊之處就是“ 有一組鄰邊相等” ,因而就增加了一些特殊的性質和不同于平行四邊形的判定方法；菱形的這些性質和判定定理即是平行

5、四邊形性質與判定的連續,又是以后要學習的正方形的基礎；難點是菱形性質的靈敏應用；由于菱形是特殊的平行四邊形,所以它不但具有平行四邊形的性質, 同時仍具有自己特殊的性質；假如得到一個平行四邊形是菱形,就可以得到許多關于邊、角、對角線的條件,在實際解題中,應當應用哪些條件,怎樣應用這些條件,常常讓許多同學手足無措,老師在教學過程 中應賜予足夠重視；學習好資料 歡迎下載三、 例題精析【例題 1 】【題干】 菱形 OABC 在平面直角坐標系中的位置如以下圖 AOC=45 ,OC=,就點 B的坐標為（）A、（,1）B、（ 1,C、（+1 ,1 ）D、（1,+1 ）【答案】 應選 C【解析】：依據菱形的性

6、質,作CDx 軸,先求 C 點坐標,然后求得點B 的坐標解答： 解：作 CDx 軸于點 D,四邊形 OABC 是菱形, OC=, OA=OC=,又AOC=45 OCD為等腰直角三角形, OC=, OD=CD=OCsin45=1 ,就點 C 的坐標為（ 1,1 ）,又 BC=OA=,B 的縱坐標為CD=1 ,B 的橫坐標為OD+BC=1+就點 B 的坐標為（+1 ,1）學習好資料 歡迎下載【例題 2 】【題干】 如圖,在ABC 中, AB=AC ,D 是 BC 的中點,連接AD ,在 AD 的延長線上取一點 E,連接 BE,CE（1 ）求證：ABEACE；（2 ）當 AE 與 AD 中意什么數量

7、關系時,四邊形ABEC 是菱形？并說明理由【答案】（1 ）證明：AB=AC ,點 D 為 BC 的中點, BAE= CAE, AE=AEABEACE（SAS）或 DE=AE）時,四邊形ABEC 是菱形（2 ）解：當 AE=2AD （或 AD=DE理由如下： AE=2AD , AD=DE ,又點 D 為 BC 中點, BD=CD,四邊形 ABEC 為平行四邊形, AB=AC ,四邊形 ABEC 為菱形【解析】由題意可知三角形三線合一,結合 SAS 可得ABEACE四邊形 ABEC 相鄰兩邊 AB=AC ,只需要證明四邊形 ABEC 是平行四邊形的條件,當 AE=2AD （或 AD=DE 或DE=

8、 AE）時,依據對角線相互平分,可得四邊形是平行四邊形【例題 3 】如圖,在由學習好資料歡迎下載P12 個邊長都為1 且有一個銳角為60 的小菱形組成的網格中,點是其中的一個頂點,以點 P 為直角頂點作格點直角三角形（即頂點均在格點上的三角形）,請你寫出全部可能的直角三角形斜邊的長【答案 】：解：如以下圖, PD=1 ,每個菱形有一個角是 60 , PC= APB=90 斜邊 CD=2 ,CB= =,DA= =,AB=4 【 解析 】依據已知求得 PD,PC 的長,再依據勾股定理即可求得斜邊的長學習好資料 歡迎下載四、課堂運用【基礎】 1、如圖：在菱形ABCD 中, AC=6 ,BD=8 ,就

9、菱形的邊長為（）A、 5 B、10 C、6 D、8 【答案 】解：設 AC 與 BD 相交于點 O,由菱形的性質知：AC BD,AC=3 , OB=BD=4 在 Rt OAB中, AB=5 所以菱形的邊長為5應選 A【解析 】：依據菱形的性質：菱形的對角線相互垂直平分,且每一條對角線平分一組對角,可知每個直角三角形的直角邊,依據勾股定理可將菱形的邊長求出學習好資料 歡迎下載2、已知：如圖,在梯形 ABCD 中, AB CD,BC= CD,AD BD,E 為 AB 中點,求證：四邊形 BCDE 是菱形【答案】 AD BD,ABD 是 Rt E 是 AB 的中點,BE=1 2AB,DE=1 2AB

10、 （直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）,BE= DE,EDB=EBD,CB= CD,CDB=CBD,AB CD,EBD=CDB,EDB=EBD=CDB=CBD,BD= BD,EBDCBD （SAS ）,BE= BC,CB= CD= BE= DE,學習好資料 歡迎下載菱形 BCDE（四邊相等的四邊形是菱形）3、如圖,四邊形ABCD 為菱形,已知A（0,4）,B（ 3,0）（1）求點 D 的坐標；（2）求經過點 C 的反比例函數解析式【答案】（1 ）A（0 ,4 ）,B（ 3,0）,OB=3 , OA=4 ,AB=5 在菱形 ABCD 中,AD = AB=5 ,OD =1 ,D（0 , 1 ）

11、（2）BC AD ,BC= AB=5 ,C（ 3 , 5）設經過點 C 的反比例函數解析式為y=k把（ 3, 5）代入解析式得： k=15 ,y=15xx【解析】 依據菱形的性質及反比例函數圖像得學習好資料 歡迎下載【鞏固】：1 、如圖,在 .ABCD 中, E,F 分別為邊 AB,CD 的中點,連接 DE、BF、 BD（1 ）求證：ADECBF（2 ）如 AD BD,就四邊形BFDE 是什么特殊四邊形？請證明你的結論【答案 】（1 ）證明：在平行四邊形ABCD 中,A= C,AD=BC , E、F 分別為 AB、CD 的中點, AE=CF 在AED和CFB中,AEDCFB（SAS）；（2 ）

12、解：如 AD BD,就四邊形 BFDE 是菱形證明：AD BD,ABD是直角三角形,且ADB=90 E是 AB 的中點, DE= AB=BE 由題意可知EBDF且 EB=DF ,學習好資料 歡迎下載四邊形 BFDE 是平行四邊形四邊形 BFDE 是菱形【解析 】1）依據題中已知條件不難得出,AD=BC , A= C,E、F 分別為邊 AB、CD 的中點,那么 AE=CF ,這樣就具備了全等三角形判定中的 SAS,由此可得出AEDCFB（2 ）直角三角形 ADB 中, DE 是斜邊上的中線,因此 DE=BE ,又由 DE=BF , FDBE那么可得出四邊形 BFDE 是個菱形2. 、如以下圖,矩

13、形 ABCD 的對角線相交于 O ,AE 平分BAD,交BC 于 E, CAE=15 ,那么AOB=CAE=15 和 AE 平分BAD【答案 】：解： BAO=45 +15 =60 ,又 AO=BO,ABO為等邊三角形, AOB=60 ,故答案為60 BAD,即可求得BAO=60 ,再依據 OA=OB即可判【解析 】依據CAE=15 和 AE 平分定ABO為等邊三角形,即可求AOB,即可解題3、如以下圖,在梯形學習好資料歡迎下載AE 交 BC 于點 E,ABCD 中, ADBC,AB=AD , BAD的平分線連接 DE（1 ）求證：四邊形 ABED 是菱形；（2 ）如ABC=60 ,CE=2B

14、E ,試判定CDE 的形狀,并說明理由【答案】（1 ）證明：如圖,平分BAD, 1= 2, AB=AD ,AE=AE ,BAEDAE, BE=DE , ADBC, 2= 3= 1, AB=BE , AB=BE=DE=AD ,四邊形 ABED 是菱形（2 ）解：CDE 是直角三角形如圖,過點 D 作 DFAE交 BC 于點 F,學習好資料 歡迎下載就四邊形 AEFD 是平行四邊形, DF=AE ,AD=EF=BE , CE=2BE , BE=EF=FC , DE=EF ,又ABC=60 , ABDE, DEF=60 ,DEF 是等邊三角形, DF=EF=FC ,CDE 是直角三角形學習好資料 歡

15、迎下載【拔高 】1、如圖,在菱形ABCD 中,BAD=80 ,AB 的垂直平分線交對角線AC 于點 F,點 E 為垂足,連接DF ,就CDF 為（）解答： 解：如圖,連接BF,在BCF和DCF中, CD=CB, DCF= BCF,CF=CF BCFDCF CBF= CDF FE垂直平分 AB, BAF= 80 =40 ABF= BAF=40 ABC=180 80 =100 ,CBF=100 40 =60 CDF=60 【解析 】：連接 BF,利用 SAS 判定BCFDCF,從而得到CBF= CDF,依據已知可注得 CBF的度數,就CDF 也就求得了3、以四邊形 ABCD 的邊 AB 、BC、C

16、D、DA 為斜邊分別向外側作等腰直角三角形,直角頂點分別為 E、F、G、H,順次連接這四個點,得四邊形EFGH2,當（1 ）如圖 1 ,當四邊形 ABCD 為正方形時,我們發覺四邊形EFGH 是正方形；如圖學習好資料 歡迎下載四邊形 ABCD 為矩形時,請判定：四邊形EFGH 的形狀（不要求證明） ；（2 ）如圖 3,當四邊形 ABCD 為一般平行四邊形時,設 （ 0 90 ）試用含 的代數式表示HAE；求證： HE HG ；四邊形 EFGH 是什么四邊形？并說明理由【答案】（1 ）答：四邊形 EFGH 的形狀是正方形（2 ）解：HAE 90 在平行四邊形 ABCD 中 ABCD, BAD 1

17、80 ADC 180 HAD和EAB是等腰直角三角形, HAD EAB 45 , HAE 360 HAD EAB BAD 360 45 45 （a） 90 180 答：用含 的代數式表示是 90 a證明：AEB DGC是等腰直角三角形,2 2 AEAB ,DG CD ,2 2在平行四邊形 ABCD 中, AB CD ,學習好資料 歡迎下載 AEDG ,HAD和GDC是等腰直角三角形, HDA CDG 45 , HDG HDA ADC CDG 90 a HAE,HAD是等腰直角三角形, HAHD ,HAEHDC, HEHG 答：四邊形 EFGH 是正方形,理由是：由同理可得：GH GF,FGFE

18、, HEHG , GHGF EFHE,四邊形 EFGH 是菱形,HAEHDG, DHG AHE, AHD AHG DHG 90 , EHG AHG AHE 90 ,四邊形 EFGH 是正方形學習好資料 歡迎下載【解析】（1 ）依據等腰直角三角形得到角都是直角,且邊都相等即可判定答案；（2 ） HAE 90 a,依據平行四邊形的性質得出, BAD 180 a,依據HAD和EAB是等腰直角三角形,得到HAD EAB 45 ,求出即可；HAE2 2依據AEB 和DGC是等腰直角三角形,得出 AEAB ,DG CD ,平行四邊形2 2的性質得出 AB CD ,求出HDG 90 a HAE,證HAEHD

19、C,即可得出 HEHG ；由同理可得：GH GF, FG FE,推出 GH GF EFHE ,得出菱形 EFGH ,證 HAEHDG,求出AHD 90 ,EHG 90 ,即可推出結論學習好資料 歡迎下載課程小結1菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形菱形的面積等于底乘以高,等于對角線乘積的一半2菱形的性質菱形是特殊的平行四邊形,它具有平行四邊形的全部性質, 邊的性質：對邊平行且四邊相等 角的性質：鄰角互補,對角相等.仍具有自己特殊的性質： 對角線性質：對角線相互垂直平分且每條對角線平分一組對角 對稱性：菱形是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形3、菱形的判定判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

20、判定：對角線相互垂直的平行四邊形是菱形課后作業學習好資料 歡迎下載【基礎】1、如圖,在菱形ABCD 中, AB=5 , BCD=120 ,就對角線AC 等于（）A、 20 B、15 C、10 D、5 BCD=120 【答案】解：AB=BC , B+ BCD=180 , B=60 ABC 為等邊三角形 AC=AB=5應選 D【解析】依據菱形的性質及已知可得為等邊三角形,從而得到AC=AB 2. 能判定一個四邊形是菱形的條件是（）A、對角線相等且相互垂直B、對角線相等且相互平分C、對角線相互垂直 D、對角線相互垂直平分學習好資料 歡迎下載【答案】依據菱形的判定方法：對角線相互垂直平分來判定即可解：

21、菱形的判定方法有三種：定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；四邊相等；對角線相互垂直平分的四邊形是菱形只有 D 能判定為是菱形,應選 D【解析】依據菱形的判定方法：對角線相互垂直平分來判定即可3、如圖,在平行四邊形 ABCD 中,點 P 是對角線 AC 上一點, PE AB, PF AD,垂足分別為 E、F,且 PE=PF,平行四邊形【答案】 解：是菱形ABCD 是菱形嗎？為什么？理由如下： PE AB, PF AD,且 PE=PF,學習好資料 歡迎下載AC 是DAB 的角平分線,DAC=CAE,四邊形 ABCD 是平行四邊形,DCAB,DCA= CAB, DAC= DCADA=DC ,平行四

22、邊形 ABCD 是菱形學習好資料 歡迎下載【鞏固】1、四邊形的四邊長順次為 a、b、c、d ,且 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad,就此四邊形確定是（）A、平行四邊形 B、矩形C、菱形 D、正方形【答案】應選 C【解析】 此題可通過整理配方式子 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad 得到（a b）2+（ b c）2+ （c d ） 2+ （a d） 2=0 ,從而得出 a=b=c=d,四邊形確定是菱形解：整理配方式子 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad,2（a2+b2+c2+d2）=2 （ab+bc+cd+ad）,）（a b ）2+ （b c）2+ （c d

23、 ）2+ （a d ）2=0 ,由非負數的性質可知： （a b ）=0 ,（b c）=0 ,（c d ）=0 ,（a d ）=0 , a=b=c=d,四邊形確定是菱形,學習好資料 歡迎下載【拔高 】1、如圖,已知點D 在ABC的 BC 邊上,DEAC 交 AB 于 E, DFAB交 AC 于 F（1 ）求證： AE=DF ；（2 ）如 AD 平分BAC,試判定四邊形AEDF 的形狀,并說明理由【答案】證明： （1） DEAC, ADE= DAF,同理DAE= FDA, AD=DA ,ADEDAF, AE=DF ；（2 ）如 AD 平分BAC,四邊形AEDF 是菱形, DEAC, DFAB,四邊

24、形 AEDF 是平行四邊形, DAF= FDA AF=DF 平行四邊形 AEDF 為菱形【解析】 1）利用 AAS 推出ADEDAF,再依據全等三角形的對應邊相等得出AE=DF ；學習好資料歡迎下載AD 是角平分線,結合（2 ）先依據已知中的兩組平行線,可證四邊形DEFA 是.,再利用AEDF,易證DAF= FDA,利用等角對等邊,可得AF=DF ,從而可證 .AEDF 實菱形2、如圖,已知的面積為 3 ,且 AB=AC ,現將ABC 沿 CA 方向平移 CA 長度得到 EFA （1 ）求ABC 所掃過的圖形的面積；（2 ）試判定 AF 與 BE 的位置關系,并說明理由；（3 ）如BEC=15 ,求 AC 的長【答案】解：（1）連接 BF,由題意知ABCEFA , BABA=EF EF,且四邊形 ABFE 為平行四邊形,S 平行四邊形ABFE=2S EAFABC 掃過圖形的面積為S ABC+S平行四邊形ABFE=3+6=9；（2 ）由（ 1）知四邊形ABFE 為平行四邊形,且AB=AE ,學習好資料 歡迎下載四邊形 ABFE 為菱形, AF與 BE 相互垂直且平分（3 ）過點 B 作 BD CA 于點 D, AB=AE , AEB= ABE=15 BAD=30 BD=