1、微分方程模型介紹微分方程作為數學科學的中心學科，已經有三百多年的發展歷史，其解法和理論已日臻完善，可以為分析和求得方程的解（或數值解）提供足夠的方法，使得微分方程模型具有極大的普遍性、有效性和非常豐富的數學內涵。微分方程模型介紹微分方程作為數學科學的中心學科，已經有三百多微分方程模型介紹微分方程建模對于許多實際問題的解決是一種極有效的數學手段，對于現實世界的變化，人們關注的往往是其變化速度、加速度以及所處位置隨時間的發展規律，其規律一般可以用微分方程或方程組表示微分方程建模適用的領域比較廣，利用它可建立純數學（特別是幾何）模型，物理學（如動力學、電學、核物理學等）模型，航空航天（火箭、宇宙飛船

2、技術）模型，考古（鑒定文物年代）模型，微分方程模型介紹微分方程建模對于許多實際問題的解決是一種極有微分方程模型介紹 交通（如電路信號，特別是紅綠燈亮的時間）模型，生態（人口、種群數量）模型，環境（污染）模型，資源利用（人力資源、水資源、礦藏資源、運輸調度、工業生產管理）模型，生物（遺傳問題、神經網絡問題、動植物循環系統）模型，醫學（流行病、傳染病問題）模型，經濟（商業銷售、財富分布、資本主義經濟周期性危機）模型，戰爭（正規戰、游擊戰）模型等。其中的連續模型適用于常微分方程和偏微分方程及其方程組建模，離散模型適用于差分方程及其方程組建模。微分方程模型介紹 交通（如電路信號，特別是紅綠燈亮的時微分

3、方程模型微分方程建模的對象 涉及“改變”、“變化”、“增加”、“減少”、“衰變”、“邊際”、“速度”、 “運動”、“追趕”、“逃跑”、等等詞語的確定性連續問題。微分方程建模的基本手段 主要包括下面幾種方法，但是大家必須掌握元素法 微分方程模型微分方程建模的對象人口模型人口模型背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況中國人口增長概況 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.

4、0研究人口變化規律控制人口過快增長 如何預報人口的增長背景 年 1625 1830 指數增長模型馬爾薩斯提出 (1798)常用的計算公式x(t) 時刻t的人口基本假設 : 人口(相對)增長率 r 是常數今年人口 x0, 年增長率 rk年后人口隨著時間增加，人口按指數規律無限增長指數增長模型馬爾薩斯提出 (1798)常用的計算公式x(參數估計MatLAB命令線性擬合polyfit()或者非線性擬合直接lsqcurvefit()擬合出即可最小二乘擬合出 r參數估計MatLAB命令線性擬合polyfit()或者最小二指數增長模型的應用及局限性 與19世紀以前歐洲一些地區人口統計數據吻合 適用于19世

5、紀后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預測 不符合19世紀后多數地區人口增長規律 不能預測較長期的人口增長過程19世紀后人口數據人口增長率r不是常數(逐漸下降)指數增長模型的應用及局限性 與19世紀以前歐洲一些地區人口統阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數量后，增長率下降的原因：資源、環境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數量增加而變大假設r固有增長率(x很小時)xm人口容量（資源、環境能容納的最大數量）r是x的減函數阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數量后，增dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲線, x增加先快后慢x0 xm

6、/2阻滯增長模型(Logistic模型)dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲線, x參數估計用指數增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數 r 或 r, xm 利用統計數據用最小二乘法作擬合例：美國人口數據（單位百萬） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557, xm=392.1參數估計用指數增長模型或阻滯增長模型作人口 利用統計數據用最模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數據比較實際為281

7、.4 (百萬)模型應用預報美國2010年的人口加入2000年人口數據后重新估計模型參數阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數據比較實際為2 -Logisitic模型調整 ，可使阻滯因子變大或縮小。更復雜的人口模型 Gompertz模型西北大學數學系- -Logisitic模型調整 ，可使人口模型的推廣放射性元素的衰變規律（檢驗名畫的真偽，考古年代的判斷）經濟領域（通貨膨脹，利率，新產品的銷售，廣告宣傳等）動植物生長規律（96年的全國大學生數學建模競賽題）濃度的擴散（人體內藥物的吸收，傳染

8、病的傳播與流行等）Malthus 模型和 Logistic模型都是確定性模型，只考慮人口總數的連續時間模型。在研究過程中還發展了隨機性模型，考慮人口年齡分布的模型等。Usher模型人口模型的推廣放射性元素的衰變規律（檢驗名畫的真偽，考古年代Logistic 模型在經濟領域中的應用 動植物的生長規律 新產品的銷售 廣告的宣傳作用Logistic 模型在經濟領域中的應用傳染病模型傳染病模型動態模型 描述對象特征隨時間(空間)的演變過程 分析對象特征的變化規律 預報對象特征的未來性態 研究控制對象特征的手段 根據函數及其變化率之間的關系確定函數微分方程建模 根據建模目的和問題分析作出簡化假設 按照內

9、在規律或用類比法建立微分方程動態模型 描述對象特征隨時間(空間)的演變過程 分析對象特征傳染病模型問題 描述傳染病的傳播過程 分析受感染人數的變化規律 預報傳染病高潮到來的時刻 預防傳染病蔓延的手段 按照傳播過程的一般規律，用機理分析方法建立模型傳染病模型問題 描述傳染病的傳播過程 分析受感染人數的變化規 已感染人數 (病人) i(t) 每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數為模型1假設若有效接觸的是病人，則不能使病人數增加必須區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模? 已感染人數 (病人) i(t) 每個病人每天有效接觸(足以模型2區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總人數

10、N不變，病人和健康 人的 比例分別為 2）每個病人每天有效接觸人數為, 且使接觸的健康人致病建模 日接觸率SI 模型模型2區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總人數模型21/2tmii010ttm傳染病高潮到來時刻 (日接觸率) tmLogistic 模型病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大模型21/2tmii010ttm傳染病高潮到來時刻 (日模型3傳染病無免疫性病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設SIS 模型3）病人每天治愈的比例為 日治愈率建模 日接觸率1/ 感染期 一個感染期內每個病人的有效接觸人數，稱為接觸數。模型3傳染病無免疫性病人治愈成為健康人，健康

11、人可再次被感模型3i0i0接觸數 =1 閾值感染期內有效接觸感染的健康者人數不超過病人數1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至0P2: s01/ i(t)單調降至01/ 閾值si101D模型4SIR模型相軌線 及其分模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段 (日接觸率) 衛生水平(日治愈率) 醫療水平傳染病不蔓延的條件s01/ 的估計 降低 s0提高 r0 提高閾值 1/ 降低 (=/) , 群體免疫模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段 (日接觸率) 模型4SIR模型被傳染人數的估計記被傳染人數比例xs0i0P1i0 0, s0 1 小, s0 1提高閾值1/降低被傳染人數比例 xs0 - 1/ = 模型