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文檔簡介

1、 pTx8，VxS且pT08。由80，及S的定義，我們有：pTx8+pTx，VxS，VxS。121122結果得證。1.4.無約束問題的最優性條件一、極小點的概念1局部極小點2嚴格局部極小點3全局(總體)極小點4嚴格全局(總體)極小點。注：在非線性規劃中，大多數算法都致力于求最優化問題的局部極小點，這是由于一般地求全局極小點極為困難，僅當問題為凸規劃時，局部極小為全局極小。二、最優性條件定理1.47(階必要條件)若x是局部極小點，則Vf(x)，0。定理1.48(二階必要條件)若x是局部極小點，則Vf(x)，0，V2f(x)0。(半正定)定理1.49(二階充分條件)x是局部極小點的充分條件是：Vf

2、(x)，0，且V2f(x)正定。注：使Vf(x)，0的點x稱為函數的穩定點。穩定點可以是極大點，也可是極小點，也可兩者均不是，此時稱為鞍點。定理1.50若f(x):RnR是連續可微的凸函數，則x是總體極小點的充要條件是Vf(x)，0。證明：必要性由定理1.47，充分性則由f(x)f(x)+Vf(x)T(x-x)直接可得。1.5.最優化算法的結構一、算法結構最優化算法通常采用迭代形式，由算法產生一個有限或無限點列。一般地，需要證明迭代點列x的聚點(子序列的極限點)為一局部極小點。算法的基本迭代格式為：kx，x+adk1kkk它包含兩個要素：步長因子a與搜索方向d。在最優化算法中，d通常是函數f在

3、x處的下降方kkkk向，即d滿足：kdTf(x)0，或f(x+,d)0及一個與迭代次數k無k關的常數q0，使得xx*limk+1qkx0時，稱為線性收斂；當1，0或，1，q0時，稱超線性收斂；當,2時，稱二階收斂。注：若一個算法應用于正定二次函數時，具有有限終止性質，則稱該算法二次收斂。二次收斂與二階收斂是完全不同的概念，不存在孰強孰弱的簡單關系。但大量數值計算結果表明：具有二次收斂性質的算法，實際計算性能一般都較好，因而二次收斂也常作為一個好算法的標志。三、關于常用算法的終止條件定理1.52若序列x超線性收斂到x*，那么kxxlimkik1.k,gxx*k證明：略此定理的意義在于：當算法具有超線性收斂性質時，可用x-x8替代x-x*作為k1kk算法停止準則。事實上，在實際應用中，即使不知道算法是

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