1、第二十屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽試題B （小學高年級組）一、填空題（每小題10份，共80分） TOC o 1-5 h z 、81841計算：57.6 x + 28.8 x -14.4 x 80 +12-=.552【難度】【考點】計算：提取公因數【答案】12：【解析】甲、乙、丙、丁四人共植樹60棵.已知，甲植樹的棵數是其余三人的二分之一，乙植 樹的棵數是其余三人的三分之一，丙植樹的棵數是其余三人的四分之一，那么丁植樹 棵.【難度】【考點】應用題：分數應用題【答案】13【解析】甲=總數的三分之一=20,乙=總數的四分之一=15,丙=總數的五分之一=12,所以丁=60-20-15-12 = 13

2、 （棵）當時間為5點8分時，鐘表面上的時針與分針成 度的角.【難度】【考點】行程：時鐘問題【答案】106【解析】5點時，時針分針夾角150度，每分鐘追趕6-0.5 = 5.5度，所以8分鐘追趕5.5x8 = 44度， 所以成150-44 = 106度某個三位數是2的倍數，加1是3的倍數，加2是4的倍數，加3是5的倍數，加4是 6的倍數，那么這個數最小為.【難度】【考點】數論：余數、最小公倍數【答案】122【解析】這個三位數減去2得到3、4、5、6的公倍數，取三位數120，所以最小值為122.貝塔星球有七個國家，每個國家恰有四個友國和兩個敵國，沒有三個國家兩兩都是敵國.對于一種這樣的星球局勢，共

3、可以組成 個兩兩都是友國的三國聯盟.【難度】【考點】計數：組合計數【答案】7【解析】用A ,A ,A , A ,A , A ,A這7個點代表七個國家，用虛線連接表示敵國關系，用實線連接表 -12.3, 456 .7示友國關系.則每個國家連出2條虛線，4條實線.共7 x 2 + 2 = 7條虛線，其余為實線.首先說明這7個點必然由7條虛線依次連接為一個閉合回路.A必與兩個點連接虛線， TOC o 1-5 h z 不妨記為A ,A，而A必然再與一個點連接虛線，記為A ;2A虛線連接A3，否則寸剩下3個點互為敵國關系； 4A4虛線連接A5，否則剩下兩個點無法由2條虛線連接；A5虛線連接A6，最后A只

4、能虛線連接A .最終連線圖品下.71只要選出的三個點沒有任何兩個相鄰則滿足條件.有135, 136, 146, 246, 247, 257,357，這7種.(為了直觀我們用1,2,3,4,5,6,7分別代表A , A , A , A , A , A , A )1234567由四個互不相同的非零數字組成的沒有重復數字的所有四位數之和為106656,則這些四位數中最大的是，最小的是.【難度】【考點】數論:位值原理【答案】9421, 1249【解析】設其中最小的四位數為abed，一共可組成4 x 3 x 2 x 1 = 24個不同的四位數，由于每個數字在每位上均出現6次，則24個數和為6x(a +

5、b + e + d)x1111 = 106656,則四個數字之和為16,所以最大和最小的可能為，9421和1249、8521和1258、8431和1348、7621和1267、 7531 和 1357、7432 和 2347、6541 和 1456、6532 和 2356.7.見右圖，三角形ABC的面積為1, DO: OB = 1:3, EO: OA = 4:5，則三角形DOE的面 積為.【難度】【考點】幾何：等積變形【答案】旦135【解析】設三角形DOE的面積為4x，由比例關系不難得出圖中另三塊的面積分別為5兀12兀15x ,再設三角形DCE的面積為y再設三角形DCE的面積為y ,則有 CE

6、 = y = y+4 x+5x, BE 4x +12x12x + 15x 得 y =144 x11則三角形doe411的面積為4 + 5 +12 +15 +些=135 .11三個大于1000的正整數滿足：其中任意兩個數之和的個位數字都等于第三個數的個位數字，那么這3個數之積的末尾3位數字有 種可能數值.【難度】【考點】組合：分類討論數論綜合【答案】4【解析】設三個數的個位分別為a,b,c如果a,b,e都相等，則只能都為0;如果a,b,e中有兩個相等，a,a,c且a e，則有 e + a = a,a + a = 10 + e，則 a = 5,e = 0 ; 如果a,b,c都不相等，設a b c，

7、則c + b = 10 + a,c + a = 10 + b，則c = 10，與c為數字矛 盾；綜上三個數的個位分別為0, 0, 0或0, 5, 5;如果都為0,則乘積末尾3位為000;如果為0, 5, 5如果個位為0的數，末尾3位都為0,則乘積末尾3位為000；如果個位為0的數，末尾2位都為0,則乘積末尾3位為500或000；如果個位為0的數，末尾1位為0設末尾兩位為萬，設另外兩個末尾2位為后,房，則a5 x b5 = 100ab + 50 (a + b )+25，若(a + b)為奇數，則乘積末尾3位為75 ；若(a + b)為偶數則乘積為25,在乘上0，無論c為多少，末尾三位只有000,

8、 250, 500, 750這4種.綜 上，積的末尾3位有000, 500, 250, 750這4種可能.二、解答下列各題(每題10分，共40分，要求寫出簡要過程)將的某兩位數字交換能否得到一個完全平方數？請說明理由.【難度】【考點】數論：完全平方數【答案】不能【解析】原數的數字和為1 + 2 + 3 + + 9 +1 + 0 +1 +1 = 48 ,為3的倍數，而交換數字位置不會改變數 字和，所以無論怎么調整得到的數一定為3的倍數；而一個平方數如果為3的倍數，則 一定為9的倍數，而48不是9的倍數，所以無法通過交換數字位置得到一個完全平方 數.如右圖所示，從長、寬、高為15, 5, 4的長方

9、體中切走一塊長、寬、高為j ,5, x的長 方體(X ,y為整數)，余下部分的體積為120,求x和j .【難度】【考點】幾何：長方體正方體【答案】x = 3 , j = 12【解析】解得 xj = 36 ； 36 = 1x 36 = 2 x 18 = 3 x 12 = 4 x 9 = 6 x 6,因為 x，J 為整數，且 x 4, j 15 ,所以 x = 3 , j = 12 .圓形跑道上等距插著2015面旗子，甲與乙同時同向從某個旗子出發，當甲與乙再次同 時回到出發點時，甲跑了 23圈，乙跑了 13圈.不算起始點旗子位置，則甲正好在旗子 位置追上乙多少次？【難度】【考點】行程問題：環形跑道

10、【答案】5次【解析】設每兩面旗子間距離為1,即跑道周長為2015 .因為v甲 :匕=23:13 ,設v甲=23 x , v乙=13x ,甲要追上乙則需比乙多跑n圈，(23x-13x)t = 2015n , 10 xxt = 2015n，即甲追上乙時所花時間t =四主，則甲追上乙時，所走路程為23xx蛭=類世n ；要恰好在旗子位置追上，2 x2 x2則所走路程一定為整數，即n為偶數，所以n = 2,4,6,8,10 （最多多跑10圈）；綜上所 述，甲正好在旗子位置追上乙5次.兩人進行乒乓球比賽，三局兩勝制，每局比賽中，先得11分且對方少于10分者勝，10 平后多得2分者勝,兩人的得分總和都是31

11、分，一人贏了第一局并且贏得了比賽，那 么第二局的比分共有多少種可能？【難度】【考點】組合：體育比賽【答案】8【解析】設贏的為甲，輸的為乙.甲第一局獲勝，如果第二局又勝則直接獲勝總分一定比乙多不 符合題意，所以甲第二局輸第三局贏.甲第一、三局都贏，則一、三局至少會比乙多得4分，所以乙第二局至少贏甲4分及以 上，所以只能以11分取勝.所以第二局的比分可以為：0:11, 1:11, 2:11 7:11，共8種.（乙在第二局贏了多少分， 甲都可以通過一、三局贏回多少分使兩人總分才目同，所以甲在第二局得分從07都可能； 例如三局比分分別為20:18、0:11、11:2） 三、解答下列各題（每小題15分，

12、共30分，要求寫出詳細過程）如右圖所示，點M是平行四邊形ABCD的邊CD上的一點，且DM : MC = 1:2，四邊形 EBFC為平行四邊形，FM與BC交于點G.若三角形FCG的面積與三角形MED的面積之 差為13 cm2,求平行四邊形ABCD的面積.【難度】【考點】幾何：蝴蝶模型【答案】60【解析】連接BD令S = aFEM則 S = S= 2a, S= 4a設一家之言、言揚行舉”、“舉世皆知”、“知行合一四個成語中的每個漢字代表11個 連續的非零自然數中的一個，相同的漢字代表相同的數，不同的漢字代表不同的數.如 果每個成語中四個漢字所代表的數之和都是21，則行可以代表的數最大是多少【難度】【考點】組合：最值構造【答案】8【解析】經觀察不難發現其中“一”，“言”，“舉”，“知”，“行”，各出現兩次，其它漢字 只有一次.令這五個漢字所代表的數依次為a,b,c,d,e （均為正整數），設11個連續自然數為G+1）,G+2）, ., G+11），則（x +1） + （x + 2） + （x +11） + a + b + c + d