1、結(jié)構(gòu)力學(xué)靜定結(jié)構(gòu)位移計算第1頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二4-1 結(jié)構(gòu)位移計算概述 一、桿系結(jié)構(gòu)的位移AVAHAAA（1）絕對線位移和絕對角位移（簡稱線位移和角位移）（2）相對線位移和相對角位移ABCDABCDCD第2頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二a）驗算結(jié)構(gòu)的剛度；b）為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析打基礎(chǔ)；c）建筑起拱。M Q N t+t不產(chǎn)生內(nèi)力，產(chǎn)生變形產(chǎn)生位移b）溫度改變和材料脹縮；c）支座沉降和制造誤差。不產(chǎn)生內(nèi)力和變形產(chǎn)生剛體移動位移是幾何量，理論上可用幾何法來求，如但因幾何關(guān)系的復(fù)雜性，一般用虛功法。其理論基礎(chǔ)是虛功原理。a）荷載作用；

2、 計算位移時，常假定：1） E ；2）小變形；3）具有理想約束的體系。即：線彈性體系。荷載與位移成正比，計算位移可用疊加原理。 二、計算位移有三個目的三、產(chǎn)生位移的主要原因第3頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二如屋架在豎向荷載作用下，下弦各結(jié)點產(chǎn)生虛線所示位移 將各下弦桿做得比實際長度短些，拼裝后下弦向上起拱。在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設(shè)計的水平位置。返航 第4頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二4-2 虛功原理一、實功與虛功 實功是力在自身引起的位移上所作的功。如 W11，W22。實功恒為正。 虛功是力在其它原因產(chǎn)生的位移上作的功。如W12，如

3、力與位移同向，虛功為正，如力與位移反向，虛功為負P1P2112212荷載由零增大到P1，其作用點的位移也由零增大到11，對線彈性體系P與成正比。P11P1元功 dW=PdW11dWSOAB P111/2再加P2，P2在自身引起的位移22上作的功W22P2 222在12過程中，P1的值不變，W12=P11212與P1無關(guān)dTOABKj位移發(fā)生的位置產(chǎn)生位移的原因 第5頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二二、廣義力與廣義位移作功的兩方面因素：力、位移。與力有關(guān)因素，稱為廣義力S；與位移有關(guān)的因素，稱為廣義位移。廣義力與廣義位移的關(guān)系有其虛功定義WS 1）廣義力是單個集中力P，則

4、廣義位移是該力的作用點沿力 的作用線方向上的線位移。Pm2）廣義力是一個集中力偶，則廣義位移是它所作用的截面的轉(zhuǎn)角位移。3）若廣義力是等值、反向的一對力PPPttABBAWPAPBP(AB)P這里是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。表示AB兩點間距的改變，即AB兩點的相對位移。4）若廣義力是一對等值、反向的力偶mABmmABWmAmBm(AB)m這里是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。表示AB兩截面的相對轉(zhuǎn)角。 第6頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二P1P2 三、靜力可能力狀態(tài)與位移可能位移狀態(tài)N1、Q1、M1YA1YB1XB1體系上作用一組力系（含外力、內(nèi)力）， 稱為力狀態(tài)，如果該力系滿足

5、靜力平衡條件。稱該狀態(tài)為靜力可能的力狀態(tài)。N2、Q2、M2YA2YB2XB2同一體系上可有無數(shù)個靜力可能的力狀態(tài)。1、1、12、2、212 體系上產(chǎn)生一組位移（含結(jié)構(gòu)位移和變形位移），稱為位移狀態(tài)， 如果該位移狀態(tài)滿足變形協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件。稱之為位移可能的位移狀態(tài)。同一體系上可有無數(shù)個可能位移狀態(tài)。 兩組可能位移的差（微小）稱為虛位移。 虛位移也可定義為協(xié)調(diào)、任意、微小的位移。1、靜力可能的力狀態(tài)2、位移可能的位移狀態(tài)第7頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二四、虛功原理 若同一體系上的兩狀態(tài)是彼此無關(guān)的靜力可能狀態(tài)和位移可能狀態(tài)，則力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)相應(yīng)結(jié)構(gòu)位移上

6、所做的虛功（外力虛功）等于力狀態(tài)的內(nèi)力在位移狀態(tài)相應(yīng)變形位移上所做的虛功（內(nèi)力虛功）；反之亦然。外力靜力可能力狀態(tài)位移可能位移狀態(tài)理解2力狀態(tài)是靜力可能的；內(nèi)力結(jié)構(gòu)位移變形位移位移狀態(tài)是位移可能的；外力虛功等于內(nèi)力虛功。三個條件：理解1滿足任意兩個條件必滿足第三個條件。虛功方程第8頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二 虛位移原理等價于平衡條件，abACB PXP 1 可用于剛體系平衡問題的求解。對于理想約束，約束反力不做功；剛體無變形，內(nèi)力不做功。虛功方程退化為：主動力體系位移0例：求杠桿在圖示位置平衡時X的值。P X 由代入習(xí)慣上，設(shè)則虛位移原理實際上將平衡問題歸結(jié)為幾何

7、問題求解 若某力狀態(tài)在可能位移狀態(tài)相應(yīng)結(jié)構(gòu)位移上所做的外力虛功等于內(nèi)力虛功，則該力狀態(tài)必是靜力可能的力狀態(tài)。五、虛功原理的應(yīng)用1、虛位移原理第9頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二2、虛力原理 若靜力可能力狀態(tài)在某位移狀態(tài)上所做的外力虛功等于內(nèi)力虛功，則該位移狀態(tài)必是位移可能的位移狀態(tài)。虛力原理等價于協(xié)調(diào)條件，可用于體系幾何問題的求解。例：剛體系，A支座發(fā)生位移c，求B端位移。 b acP=1建立虛功方程：P+RAc=0（）AB第10頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二N2N2+dNQ2Q2+dQM2M2+dMdsdu1 4-3 結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計

8、算AAqPmA實際狀態(tài)位移狀態(tài)虛設(shè)狀態(tài)靜力可能力狀態(tài)位移狀態(tài)的結(jié)構(gòu)位移：一、位移計算公式位移狀態(tài)的變形位移：dsdsdv11dsd1靜力可能力狀態(tài)的外力：靜力可能力狀態(tài)的內(nèi)力：dsdsN2 dN、 Q2 dQ 、 M2 dM由虛功方程：忽略內(nèi)力增量的影響對于線彈性體此式也適用非彈性體第11頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二 因靜力可能力狀態(tài)是任意的，為計算方便，此時可設(shè)位移狀態(tài)中相應(yīng)內(nèi)力以P為下標(biāo)。虛功方程改寫為此即線彈性結(jié)構(gòu)在力荷載作用下的位移計算公式。（單位荷載法）（1） EA、GA和EI分別是桿件截面的拉壓、剪切和彎曲剛度； k 是截面形狀系數(shù) k矩=1.2， k圓

9、=10/9。注：（2） 是實際荷載引起的內(nèi)力；（3） 是虛擬力狀態(tài)引起的內(nèi)力。二、各類結(jié)構(gòu)位移計算公式的簡化 公式右邊各項分別表示軸向、剪切、彎曲變形對位移的影響。 不同結(jié)構(gòu)類型有不同的受力特點，公式右邊各項對所求位移的影響也不盡相同。故可簡化之。第12頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二 （3）拱：通常只考慮彎曲變形的影響。（1）梁和剛架：位移主要由彎矩引起，軸力影響較小。（2）桁架：位移僅由軸力引起。一般情況下（淺梁），剪切對位移的影響很小，通常忽略不計。 但在扁平拱（l/f 5）中計算水平位移時需考慮軸向變形對位移的影響：第13頁，共37頁，2022年，5月20日，1

10、9點1分，星期二在擬求位移處沿著擬求位移的方向，虛設(shè)相應(yīng)的廣義單位荷載lAB求A點的水平位移求A截面的轉(zhuǎn)角求AB兩截面的相對轉(zhuǎn)角求AB兩點的相對位移求AB兩點連線的轉(zhuǎn)角位移方向未知時無法直接虛擬力狀態(tài)！ 但所虛設(shè)的力狀態(tài)必須具有在虛功方程中能激活所求位移的性質(zhì)。 公式的應(yīng)用的關(guān)鍵是： 視實際狀態(tài)為位移狀態(tài)，虛設(shè)靜力可能的力狀態(tài)。三、虛擬力狀態(tài)的建立第14頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二 四、應(yīng)用舉例解：例1：求圖示桁架(各桿EA相同) B點水平位移。（1）設(shè)力狀態(tài)如圖所示（2）計算位移狀態(tài)的內(nèi)力如圖所示（3）計算力狀態(tài)的內(nèi)力如圖所示（4）代入公式計算位移注：當(dāng)一個狀態(tài)下

11、出現(xiàn)零桿，則另一狀態(tài)下對應(yīng)的內(nèi)力可不必計算第15頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二 例2：求曲梁B點的豎向位移（EI、EA、GA已知）解：ROBAP（1）虛設(shè)的力狀態(tài)如圖所示（2）計算位移狀態(tài)和力狀態(tài)的內(nèi)力K（兩狀態(tài)的內(nèi)力需在同一坐標(biāo)系下計算）K（3）代入公式計算位移 小曲率桿可利用直桿公式近似計算;軸向變形,剪切變形對位移的影響可略去不計第16頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二例3：求圖示等長l、等截面剛架C端的豎向位移和轉(zhuǎn)角。 ABCq解：分別虛設(shè)力狀態(tài)如圖所示求CV的力狀態(tài)1求C的力狀態(tài)2分別列出各狀態(tài)下的彎矩方程位移狀態(tài)x1x1x1x2x2x

12、2積分常可用圖形相乘來代替第17頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二yxdxxxCP 4-4 圖乘法剛架與梁的位移計算公式為：建筑結(jié)構(gòu)中最常見的是剛架與梁圖乘法可簡化公式的積分計算一、圖乘法的原理及其應(yīng)用條件OMPdP豎標(biāo) ，再除以桿的彎曲剛度EI 。 公式積分等于MP圖的面積 P 乘以與其形心所對應(yīng)的 圖的所以設(shè) 圖線為直線類似地，若設(shè)MP圖線為直線，則C第18頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二表示對各桿和各桿段分別圖乘再相加。圖乘法的應(yīng)用條件： a）EI 常數(shù)；b）直桿；c）兩個彎矩圖至少有一個是直線。豎標(biāo) y 必須在直線形彎矩圖中取值，面積 則在

13、另一彎矩圖中取值。若兩個彎矩圖都是直線，任選一個取面積，另一個取豎標(biāo)。面積 與豎標(biāo) y 在桿的同側(cè)， y 取正號，異側(cè)取負號。基本圖形的面積與形心位置：除矩形外，常見的是三角形和二次標(biāo)準(zhǔn)拋物線。 應(yīng)用條件及說明：(a+l)/3(b+l)/3 hl/2labhl/2l/2h二次拋物線 2hl/3頂點第19頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二1/2Pl/4MP圖例：求圖示梁B端的轉(zhuǎn)角。 Pl/2l/2EIAB1、設(shè)原結(jié)構(gòu)為位移狀態(tài)：解：2、虛設(shè)力狀態(tài)如圖所示：作相應(yīng)的MP圖，如圖所示。作相應(yīng)的 圖，如圖所示。3、用圖乘法求位移：（）1圖P當(dāng)圖乘法的適用條件不滿足時，可做適當(dāng)處理

14、！第20頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二 二、圖乘法的處理技巧可按疊加法作彎矩圖的反向思路，當(dāng) 圖為非基本圖形時，將MP 圖分解為若干基本圖形，1P2P然后分別圖乘疊加。1、圖形分解例：求圖示梁A端的豎向位移。lEIABq解：虛設(shè)力狀態(tài)并作彎矩圖；l作原狀態(tài)并彎矩圖；圖ql2/2ql2/8圖將MP圖分解；ql2/2ql2/8（） 圖的面積和形心不易確定，第21頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二 常見的圖形分解如下：ablababablabhhablablhabh有拋物線先連線拋物線兩端；然后從基線開始分解；每一次分解后的直線又視為新的基線。第22頁

15、，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二 應(yīng)分段圖乘再疊加。2、當(dāng) 圖線為分段直線或為階梯截面時，例：求圖示梁跨中C 截面豎向位移。Pl/2l/2EIABPl/4MP圖l/4M 圖C（）?一塊面積只能對應(yīng)一條直線！1P2P（）曲桿或EI連續(xù)變化的直桿不能用圖乘法。第23頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二PPaaa例：求圖示梁中點的撓度。PaPaP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2CPlCP=1l/2l/65Pl/6？ MP圖M圖（）MP圖M圖例：求圖示梁C點的撓度。？（）第24頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二 例：求圖示階梯梁B點

16、的撓度。ql2/2MP圖M圖l/2A B2EIEIl/2qql2/2lMP圖ql2/8ql2/81P2P3P4P5PlM圖bacde 此類圖乘尚有更簡便的盈虧法。第25頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二 三、圖乘法應(yīng)用舉例例：求圖示梁C點的撓度。解：求圖示梁C點的撓度。1、設(shè)實際狀態(tài)為位移狀態(tài)；2、虛設(shè)力狀態(tài)如圖所示；3、分別作兩狀態(tài)的彎矩圖；l/2M圖ql2/8ql2/8qlABCl/2P ql/4MP圖4、圖乘計算：1P2P3P（）第26頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二 例：求圖示剛架B點的水平位移。llqBAC解：作 MP圖，如圖所示；虛設(shè)力

17、狀態(tài)，并作M 圖，如圖所示；qlql2/2ql2/2ql2/8MP圖1llM 圖1P2P3P（）若計拉壓變形，如圖所示；NBC 0NAB ql/2NBC 0NAB 1設(shè)矩形截面（）第27頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二 例：求圖示剛架C鉸的豎向位移和其兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角。3ql/4ql2/4ql2/4ql2/4ql2/8MP圖P1lqACl/2l/2B1/4l/4l/4M 1圖P111/41/l1/l1111M 2圖（）（ ）第28頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二思考：圖示虛擬的廣義單位力狀態(tài)，可求什么位移。AB桿的轉(zhuǎn)角AB連線的轉(zhuǎn)角AB桿和AC

18、桿的相對轉(zhuǎn)角 ABP 1/lP 1/llABllCP 1/lP 1/lP 1/lP 1/l00ABlP 1/lP 1/l第29頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二思考：判斷下列圖乘結(jié)果正確與否。 Sy0（ ）y0y0y0 12y1y2y0y0 Sy0（ ） Sy0（ ） S1 y1 2 y2 （ ） Sy0（ ） Sy0（ ）第30頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二l/2l/2hCABP1 4-5 支座移動和溫度改變產(chǎn)生的位移 設(shè)實際狀態(tài)為位移狀態(tài)，由于靜定結(jié)構(gòu)在支座移動不會產(chǎn)生內(nèi)力和變形， 所以位移狀態(tài)中變形位移為零，而結(jié)構(gòu)位移僅有支座位移ck 。

19、虛設(shè)力狀態(tài)：沿所求位移方向施加單位廣義力P 1； 由于內(nèi)力不做功，外力則為P 和與支座位移向?qū)?yīng)的約束反力Rk。由虛功原理例：求圖示結(jié)構(gòu)C鉸兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角abX1/hY0Y0（ ）一、支座移動產(chǎn)生的位移第31頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二1）溫度改變對靜定結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生內(nèi)力，材料的自由脹縮。2）假設(shè)：桿段為等截面、溫度沿截面高度為線性分布。t1t2t0hh1h2t0 (h1t2+h2t1)/h t=t2t13）微段的變形位移 dsd t0dsdu t0ds t1ds t2ds 二、溫度改變產(chǎn)生的位移設(shè)位移狀態(tài)：it、du、d設(shè)力狀態(tài)：P、N、M第二項： t為溫變差，與

20、M 共同決定正負號，按受拉側(cè)，同側(cè)為正，異側(cè)為負。第一項：t0為平均溫變，升正降負， N 拉正壓負；第32頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二例：求圖示剛架C點的豎向位移。各桿截面為矩形。1a aa0+10+10C0P 1P =1N 圖M 圖（）第33頁，共37頁，2022年，5月20日，19點1分，星期二應(yīng)用條件:1)應(yīng)力與應(yīng)變成正比；2)線性變形體系；3)力荷載作用下。N Q MN Q M1、功的互等定理功的互等定理：在任一線性變形體系中，狀態(tài)的外力在狀態(tài)的位移上作的功W12等于狀態(tài)的外力在狀態(tài)的位移上作的功W21。即： W12= W21 4-6 互等定理P2P1PnPiPjP1P2Pnij第34頁，共37頁，2022年，5月20日