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1、用分類討論的思想,解有關(guān)等腰三角形的問題??谑杏琅d中學(xué) 王來燕2022/9/25用分類討論的思想,解有關(guān)等腰三角形的問題??谑杏琅d中學(xué) 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓,分類思想是數(shù)學(xué)思想方法中很重要的一種思想方法,而等腰三角形中由于邊、角的特殊性,經(jīng)常要用分類思想進(jìn)行分類討論解決,如能正確運(yùn)用這種思想方法,則會(huì)給解題帶來極大的方便,同時(shí)可以很好地培養(yǎng)學(xué)生分析能力和分類意識(shí)。所以學(xué)生是否能用分類思想正確解決等腰三角形中的邊、角問題,也是中考考查的一個(gè)熱點(diǎn)。那么本次我們就來說一道與等腰三角形的邊有關(guān)的題目。2022/9/25 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓,分類思想是數(shù)學(xué)思想(一)說原題 等腰三角形的周長為1
2、6,其中一邊長是6,求另兩條邊的長。(二)說原題來源 這道題是華師版七年級(jí)下冊(cè)第99頁習(xí)題10.3中的一道練習(xí)題。 2022/9/25(一)說原題 等腰三角形的周長為16,其中一邊長是(三)說題目中的已知條件與未知條件本題中的已知條件有兩個(gè):等腰三角形的周長為16和一條邊長是6;未知條件是:另兩條邊的長以及邊長為6的這條邊是腰長還是底邊長,那么邊長為6的邊可能是底邊,也可能是腰。(教師先引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考后說出題目中的已知條件與未知條件,然后再作補(bǔ)充。)2022/9/25(三)說題目中的已知條件與未知條件本題中的已知條件有兩(四)說題目中考查的知識(shí)點(diǎn) 本題中所要考查的知識(shí)點(diǎn)是:等腰三角形的概念、
3、知道什么是腰長,什么是底邊,以及三角形的周長公式和三邊關(guān)系。2022/9/25(四)說題目中考查的知識(shí)點(diǎn) 本題中所要考查的知識(shí)點(diǎn) 本題中因?yàn)橐阎獥l件是等腰三角形的周長和另一條邊的長,但是已知的一條邊長是腰長還是底邊,這是未知條件,所以根據(jù)周長公式和三角形的三邊關(guān)系,我們?cè)诮忸}中應(yīng)該分兩種情況來進(jìn)行討論:(1).若長為6的邊為底邊,求的是兩腰的長。(2).若長為6的邊為腰,則求另一腰長和底邊的長。(五)說解題思路6?66?2022/9/25 本題中因?yàn)橐阎獥l件是等腰三角形的周長和另一條邊的長 (六)說解法解:設(shè)底邊長是6,則腰長為 (16-6)25即等腰三角形的三邊長分別為:5,5,6,符合三角
4、形的三邊關(guān)系。設(shè)腰長是6,則底邊長為16-6-6=4即等腰三角形的三邊長分別為:6,6,4,符合三角形的三邊關(guān)系。答:另兩條邊的長是5,5或是6,4。6556642022/9/25 (六)說解法解:設(shè)底邊長是6,則腰長為 (16-(七)說題型與易錯(cuò)點(diǎn)本題是一道問答題,但與等腰三角形的邊、角有關(guān)的問題,也經(jīng)常以選擇題或者是填空題的形式出現(xiàn),是考試中的一個(gè)熱點(diǎn)問題,在解此類問題過程中也是學(xué)生的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)。解此類問題易錯(cuò)是由于題目中的已知條件的不確定性,而引發(fā)結(jié)論不唯一,學(xué)生常常受思維定勢(shì)的影響而出現(xiàn)漏解、錯(cuò)解。如本題中邊長為6的邊,部分學(xué)生往往會(huì)認(rèn)為它只是底邊,求的是兩腰長;也會(huì)出現(xiàn)只把它當(dāng)作腰長
5、,只求底邊長的情況出現(xiàn)。2022/9/25(七)說題型與易錯(cuò)點(diǎn)本題是一道問答題,但與等腰三角形的邊在等腰三角形中的三邊有底與腰之分,題目中如果已知邊長未指明是該等腰三角形的腰長或底邊長時(shí),則應(yīng)分已知邊為腰與底邊長兩種情形討論.同時(shí)還要考慮“三角形的三邊關(guān)系”,以防多解,所以在解答與等腰三角形相關(guān)問題時(shí),常常需利用分類討論思想求解,以杜絕漏解、錯(cuò)解.2022/9/25在等腰三角形中的三邊有底與腰之分,題目中如果已知邊長未指明(八)說解題過程中應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法 本題給學(xué)生滲透的思想方法是分類討論思想。分類討論既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想,又是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)方法,能克服解決數(shù)學(xué)問題過程中思維的片面性,防
6、止漏解、錯(cuò)解。 本題所滲透的分類討論思想體現(xiàn)在對(duì)邊長為6的這條邊的討論要分兩種情況進(jìn)行探討:即邊長為6的邊是底邊長和腰長兩種情況。2022/9/25(八)說解題過程中應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法 本題給學(xué)生滲透的(九)說變式練習(xí)變式1 等腰三角形一腰長為6,周長為16,求底邊長。變式2 等腰三角形底邊長為6,周長為16,求兩腰長。(變式1、變式2與原習(xí)題相比已知條件增強(qiáng)了,難度降低了,由原習(xí)題到變式練習(xí)涉及到了化歸的思想方法,所謂“化歸”就是將要解決的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為另一個(gè)較易問題或已經(jīng)解決的問題。這樣的變式練習(xí)可以更好地幫助中下等水平的學(xué)生理解原習(xí)題,從而正確地解題,防止漏解、錯(cuò)解。)2022/9/25
7、(九)說變式練習(xí)變式1 等腰三角形一腰長為6,周長為16變式3 等腰三角形一邊長為4;另一邊長為6,求周長。 變式4 已知等腰三角形的一邊長為3,另一邊長為6,求周長。(九)說變式練習(xí)(變式3與變式4都是在原題的基礎(chǔ)上改變已知與未知條件,變式4只是在變式3的基礎(chǔ)上改變已知邊的大小。) 2022/9/25變式3 等腰三角形一邊長為4;另一邊長為6,求周長。 與前兩道變式題相比,學(xué)生在考慮變式3、變式4問題時(shí)需要改變思維策略,因?yàn)檫@兩道變式題的已知條件都是兩條邊,根據(jù)等腰三角形的定義,這兩條邊必是一腰一底,但題目中沒有明確說明哪一邊是腰哪一邊是底,因此需要對(duì)邊進(jìn)行分類討論,掌握分類討論的理論依據(jù)是
8、三角形的三邊關(guān)系。顯然變式4中的“3只能為底”否則與“三角形兩邊之和大于第三邊”相矛盾,這樣的變式有利于培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)密性。2022/9/25 與前兩道變式題相比,學(xué)生在考慮變式3、變式4問題時(shí)需要 變式5 等腰三角形的周長為15,其中一邊長是3,求另兩條邊的長。(變式5需要進(jìn)行分類討論,同時(shí)也要注意三角形的三邊關(guān)系。)(九)說變式練習(xí)2022/9/25 變式5 等腰三角形的周長為15,其中一邊長是3,(十)說教學(xué)反思 從課堂中學(xué)生的解題過程來看,主要存在以下問題:1.基礎(chǔ)知識(shí)掌握不夠牢固,忘了解題所需要的相關(guān)知識(shí),例如三角形的周長不知道怎么求,忘了三角形的三邊關(guān)系。2.思維嚴(yán)密性差,考慮問題
9、不夠全面,漏解、錯(cuò)解現(xiàn)象嚴(yán)重。解有關(guān)等腰三角形的題目時(shí),很多條件下都會(huì)有兩解,但要注意,解出的兩解必須都滿足“三角形兩邊之和大于第三邊”這個(gè)條件,否則只有一解。 2022/9/25(十)說教學(xué)反思 從課堂中學(xué)生的解題過程來看,主 針對(duì)以上情況,有必要在教學(xué)中強(qiáng)化分類討論的思想,特別是解與等腰三角形的邊、角有關(guān)的問題時(shí),一定要考慮周到、全面,要正確運(yùn)用分類討論思想,對(duì)所有可能的情況進(jìn)行分析討論,防止解一題多解的習(xí)題時(shí)漏解、錯(cuò)解。教師可以恰當(dāng)?shù)剡x擇習(xí)題讓學(xué)生反復(fù)練習(xí),要做好學(xué)生學(xué)習(xí)的先行組織者,要提前備課,精讀教材,精心選題,做到一題多變、一題多解,善于幫助學(xué)生作解題后的反思、方法的歸類、規(guī)律的小
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