1、用分類討論的思想，解有關(guān)等腰三角形的問題?？谑杏琅d中學(xué) 王來燕2022/9/25用分類討論的思想，解有關(guān)等腰三角形的問題?？谑杏琅d中學(xué) 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，分類思想是數(shù)學(xué)思想方法中很重要的一種思想方法，而等腰三角形中由于邊、角的特殊性，經(jīng)常要用分類思想進(jìn)行分類討論解決，如能正確運(yùn)用這種思想方法，則會(huì)給解題帶來極大的方便，同時(shí)可以很好地培養(yǎng)學(xué)生分析能力和分類意識(shí)。所以學(xué)生是否能用分類思想正確解決等腰三角形中的邊、角問題，也是中考考查的一個(gè)熱點(diǎn)。那么本次我們就來說一道與等腰三角形的邊有關(guān)的題目。2022/9/25 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，分類思想是數(shù)學(xué)思想（一）說原題 等腰三角形的周長為1

2、6，其中一邊長是6，求另兩條邊的長。（二）說原題來源 這道題是華師版七年級(jí)下冊(cè)第99頁習(xí)題10.3中的一道練習(xí)題。 2022/9/25（一）說原題 等腰三角形的周長為16，其中一邊長是（三）說題目中的已知條件與未知條件本題中的已知條件有兩個(gè)：等腰三角形的周長為16和一條邊長是6；未知條件是：另兩條邊的長以及邊長為6的這條邊是腰長還是底邊長，那么邊長為6的邊可能是底邊，也可能是腰。（教師先引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考后說出題目中的已知條件與未知條件，然后再作補(bǔ)充。）2022/9/25（三）說題目中的已知條件與未知條件本題中的已知條件有兩（四）說題目中考查的知識(shí)點(diǎn) 本題中所要考查的知識(shí)點(diǎn)是：等腰三角形的概念、

3、知道什么是腰長，什么是底邊，以及三角形的周長公式和三邊關(guān)系。2022/9/25（四）說題目中考查的知識(shí)點(diǎn) 本題中所要考查的知識(shí)點(diǎn) 本題中因?yàn)橐阎獥l件是等腰三角形的周長和另一條邊的長，但是已知的一條邊長是腰長還是底邊，這是未知條件，所以根據(jù)周長公式和三角形的三邊關(guān)系，我們?cè)诮忸}中應(yīng)該分兩種情況來進(jìn)行討論：（1）.若長為6的邊為底邊，求的是兩腰的長。（2）.若長為6的邊為腰，則求另一腰長和底邊的長。（五）說解題思路6？66？2022/9/25 本題中因?yàn)橐阎獥l件是等腰三角形的周長和另一條邊的長 （六）說解法解：設(shè)底邊長是6，則腰長為 （16-6）25即等腰三角形的三邊長分別為：5，5，6，符合三角

4、形的三邊關(guān)系。設(shè)腰長是6，則底邊長為16-6-6=4即等腰三角形的三邊長分別為：6，6，4，符合三角形的三邊關(guān)系。答：另兩條邊的長是5，5或是6，4。6556642022/9/25 （六）說解法解：設(shè)底邊長是6，則腰長為 （16-（七）說題型與易錯(cuò)點(diǎn)本題是一道問答題，但與等腰三角形的邊、角有關(guān)的問題，也經(jīng)常以選擇題或者是填空題的形式出現(xiàn)，是考試中的一個(gè)熱點(diǎn)問題，在解此類問題過程中也是學(xué)生的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)。解此類問題易錯(cuò)是由于題目中的已知條件的不確定性，而引發(fā)結(jié)論不唯一，學(xué)生常常受思維定勢(shì)的影響而出現(xiàn)漏解、錯(cuò)解。如本題中邊長為6的邊，部分學(xué)生往往會(huì)認(rèn)為它只是底邊，求的是兩腰長；也會(huì)出現(xiàn)只把它當(dāng)作腰長

5、，只求底邊長的情況出現(xiàn)。2022/9/25（七）說題型與易錯(cuò)點(diǎn)本題是一道問答題，但與等腰三角形的邊在等腰三角形中的三邊有底與腰之分，題目中如果已知邊長未指明是該等腰三角形的腰長或底邊長時(shí),則應(yīng)分已知邊為腰與底邊長兩種情形討論.同時(shí)還要考慮“三角形的三邊關(guān)系”,以防多解,所以在解答與等腰三角形相關(guān)問題時(shí),常常需利用分類討論思想求解,以杜絕漏解、錯(cuò)解.2022/9/25在等腰三角形中的三邊有底與腰之分，題目中如果已知邊長未指明（八）說解題過程中應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法 本題給學(xué)生滲透的思想方法是分類討論思想。分類討論既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，又是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)方法，能克服解決數(shù)學(xué)問題過程中思維的片面性，防

6、止漏解、錯(cuò)解。 本題所滲透的分類討論思想體現(xiàn)在對(duì)邊長為6的這條邊的討論要分兩種情況進(jìn)行探討：即邊長為6的邊是底邊長和腰長兩種情況。2022/9/25（八）說解題過程中應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法 本題給學(xué)生滲透的（九）說變式練習(xí)變式1 等腰三角形一腰長為6，周長為16，求底邊長。變式2 等腰三角形底邊長為6，周長為16，求兩腰長。（變式1、變式2與原習(xí)題相比已知條件增強(qiáng)了，難度降低了，由原習(xí)題到變式練習(xí)涉及到了化歸的思想方法，所謂“化歸”就是將要解決的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為另一個(gè)較易問題或已經(jīng)解決的問題。這樣的變式練習(xí)可以更好地幫助中下等水平的學(xué)生理解原習(xí)題，從而正確地解題，防止漏解、錯(cuò)解。）2022/9/25

7、（九）說變式練習(xí)變式1 等腰三角形一腰長為6，周長為16變式3 等腰三角形一邊長為4；另一邊長為6，求周長。 變式4 已知等腰三角形的一邊長為3，另一邊長為6，求周長。（九）說變式練習(xí)（變式3與變式4都是在原題的基礎(chǔ)上改變已知與未知條件，變式4只是在變式3的基礎(chǔ)上改變已知邊的大小。） 2022/9/25變式3 等腰三角形一邊長為4；另一邊長為6，求周長。 與前兩道變式題相比，學(xué)生在考慮變式3、變式4問題時(shí)需要改變思維策略，因?yàn)檫@兩道變式題的已知條件都是兩條邊，根據(jù)等腰三角形的定義，這兩條邊必是一腰一底，但題目中沒有明確說明哪一邊是腰哪一邊是底，因此需要對(duì)邊進(jìn)行分類討論，掌握分類討論的理論依據(jù)是

8、三角形的三邊關(guān)系。顯然變式4中的“3只能為底”否則與“三角形兩邊之和大于第三邊”相矛盾，這樣的變式有利于培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)密性。2022/9/25 與前兩道變式題相比，學(xué)生在考慮變式3、變式4問題時(shí)需要 變式5 等腰三角形的周長為15，其中一邊長是3，求另兩條邊的長。（變式5需要進(jìn)行分類討論，同時(shí)也要注意三角形的三邊關(guān)系。）（九）說變式練習(xí)2022/9/25 變式5 等腰三角形的周長為15，其中一邊長是3，（十）說教學(xué)反思 從課堂中學(xué)生的解題過程來看，主要存在以下問題：1.基礎(chǔ)知識(shí)掌握不夠牢固，忘了解題所需要的相關(guān)知識(shí)，例如三角形的周長不知道怎么求，忘了三角形的三邊關(guān)系。2.思維嚴(yán)密性差，考慮問題

9、不夠全面，漏解、錯(cuò)解現(xiàn)象嚴(yán)重。解有關(guān)等腰三角形的題目時(shí)，很多條件下都會(huì)有兩解，但要注意，解出的兩解必須都滿足“三角形兩邊之和大于第三邊”這個(gè)條件，否則只有一解。 2022/9/25（十）說教學(xué)反思 從課堂中學(xué)生的解題過程來看，主 針對(duì)以上情況，有必要在教學(xué)中強(qiáng)化分類討論的思想，特別是解與等腰三角形的邊、角有關(guān)的問題時(shí)，一定要考慮周到、全面，要正確運(yùn)用分類討論思想，對(duì)所有可能的情況進(jìn)行分析討論，防止解一題多解的習(xí)題時(shí)漏解、錯(cuò)解。教師可以恰當(dāng)?shù)剡x擇習(xí)題讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)，要做好學(xué)生學(xué)習(xí)的先行組織者，要提前備課，精讀教材，精心選題，做到一題多變、一題多解，善于幫助學(xué)生作解題后的反思、方法的歸類、規(guī)律的小