1、多面體歐拉定理第1頁(yè)，共18頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)24分，星期二1、多面體的概念： 一、復(fù)習(xí)由若干個(gè)多邊形圍成的空間圖形叫多面體；每個(gè)多邊形叫多面體的面，兩個(gè)面的公共邊叫多面體的棱，棱和棱的公共點(diǎn)叫多面體的頂點(diǎn)，連結(jié)不在同一面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫多面體的對(duì)角線 2、凸多面體： 把多面體的任一個(gè)面展成平面，如果其余的面都位于這個(gè)平面的同一側(cè)，這樣的多面體叫凸多面體 3、凸多面體的分類： 多面體至少有四個(gè)面，按照它的面數(shù)分別叫四面體、五面體、六面體等 第2頁(yè)，共18頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)24分，星期二歐拉生平事跡簡(jiǎn)說(shuō)： 歐拉(Euler)，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家1707年4

2、月15日出生于瑞士巴塞爾的一個(gè)牧師家庭，自幼受父親的教育，13歲入讀巴塞爾大學(xué)15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲碩士學(xué)位， 歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把數(shù)學(xué)推至幾乎整個(gè)物理的領(lǐng)域此外，他 是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，寫(xiě)了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法的課本，無(wú)窮小分析引論（1748），微分學(xué)原理（1755），以及積分學(xué)原理（1768-1770） 都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。1771年，一場(chǎng)重病使他的左眼亦完全失明但他以其驚人的 記憶力和心算技巧繼續(xù)從事科學(xué)創(chuàng)作他通過(guò)與助手們的討論以及直接口授等方式完成了大量的科學(xué)著作，直至生命的 最后一刻。 1783年9月18日于俄國(guó)

3、彼得堡去逝 。第3頁(yè)，共18頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)24分，星期二 考慮一個(gè)多面體，例如正六面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的，如果充以氣體，那么它就會(huì)連續(xù)（不破裂）變形，最后可變?yōu)橐粋€(gè)球面如圖：象這樣，表面經(jīng)過(guò)連續(xù)變形可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w，叫做簡(jiǎn)單多面體 二、講解新課： 1、簡(jiǎn)單多面體：第4頁(yè)，共18頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)24分，星期二 第5頁(yè)，共18頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)24分，星期二棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是 簡(jiǎn)單多面體 推廣：簡(jiǎn)單多面體是否就是凸多面體？第6頁(yè)，共18頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)24分，星期二第7頁(yè)，共18頁(yè)，2022年

4、，5月20日，14點(diǎn)24分，星期二正多面體頂點(diǎn)數(shù)面數(shù)棱數(shù)正四面體446正六面體8612正八面體6812正十二面體201230正二十面體1220302五種正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)： 發(fā)現(xiàn)：它們的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)有共同的關(guān)系式：V+F-E=2(V)(F)(E)第8頁(yè)，共18頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)24分，星期二歐拉定理：簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)有關(guān)系式： V+F-E=2第9頁(yè)，共18頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)24分，星期二證明：以四面體為例來(lái)說(shuō)明：將它的一個(gè)面去掉，并使其變?yōu)槠矫鎴D形，四面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)與剩下的面數(shù)變形后都沒(méi)有變因此，要研究、和的關(guān)系，只要去掉一個(gè)面

5、，將它變形為平面圖形即可 第10頁(yè)，共18頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)24分，星期二BCDABCDABCDABCDA第11頁(yè)，共18頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)24分，星期二BCDABAV+F1-E=1V+F-E=2注：對(duì)任意的簡(jiǎn)單多面體，運(yùn)用這樣的方法，都是只剩下一條線段。公式對(duì)任意簡(jiǎn)單多面體都是正確的。 第12頁(yè)，共18頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)24分，星期二練習(xí)：1、一個(gè)n面體共有8條棱，5個(gè)頂點(diǎn)，則n=_.2、一個(gè)正n面體共有8個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處共有三條棱 ，則n=_.56第13頁(yè)，共18頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)24分，星期二在歐拉公式中令f(p)=VFE

6、 叫歐拉示性數(shù) 歐拉示性數(shù)：說(shuō)明：簡(jiǎn)單多面體的歐拉示性數(shù)f(p)=2 第14頁(yè)，共18頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)24分，星期二第15頁(yè)，共18頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)24分，星期二請(qǐng)查出下面各多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、和棱數(shù)E，并計(jì)算歐拉示性數(shù)f(p)=VFE ？第16頁(yè)，共18頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)24分，星期二例1 由歐拉定理證明：正多面體只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種 。應(yīng)用：第17頁(yè)，共18頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)24分，星期二例2歐拉定理在研究化學(xué)分子結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用：1996年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予對(duì)發(fā)現(xiàn)有重大貢獻(xiàn)的三位科學(xué)家是由60個(gè)原子構(gòu)成的分子，它是形如足球