1、第2講立體幾何中的空間角問題第2講立體幾何中的空間角問題高考定位以空間幾何體為載體考查空間角(以線面角為主)是高考命題的重點，常與空間線面關系的證明相結合，熱點為空間角的求解，常以解答題的形式進行考查，高考注重以傳統方法解決空間角問題，但也可利用空間向量來求解.高考定位以空間幾何體為載體考查空間角(以線面角為主)是高考(2018浙江卷)如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.(1)證明：AB1平面A1B1C1；(2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.真 題 感 悟(2018浙江卷)如圖，已知多面

2、體ABCA1B1C1，A12020高考浙江專用培優二輪：專題2第2講立體幾何中的空間角問題課件(2)解如圖，過點C1作C1DA1B1，交直線A1B1于點D，連接AD.由AB1平面A1B1C1，AB1平面ABB1，得平面A1B1C1平面ABB1，由C1DA1B1得C1D平面ABB1，所以C1AD是AC1與平面ABB1所成的角.(2)解如圖，過點C1作C1DA1B1，交直線A1B1于法二(1)證明如圖，以AC的中點O為原點，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標系O-xyz.由題意知各點坐標如下：法二(1)證明如圖，以AC的中點O為原點，分別以射線OB2020高考浙江專用培優二輪

3、：專題2第2講立體幾何中的空間角問題課件考 點 整 合考 點 整 合2020高考浙江專用培優二輪：專題2第2講立體幾何中的空間角問題課件2020高考浙江專用培優二輪：專題2第2講立體幾何中的空間角問題課件2020高考浙江專用培優二輪：專題2第2講立體幾何中的空間角問題課件 圖1 圖2 圖1 探究提高求異面直線所成的角，可以應用向量法，也可以應用異面直線的定義求解.【訓練1】 (1)(2018浙江卷)已知四棱錐SABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點(不含端點).設SE與BC所成的角為1，SE與平面ABCD所成的角為2，二面角SABC的平面角為3，則()A.123 B.321C

4、.132 D.231探究提高求異面直線所成的角，可以應用向量法，也可以應用異面解析(1)由題意知四棱錐S-ABCD為正四棱錐，如圖，連接AC，BD，記ACBDO，連接SO，則SO平面ABCD，取AB的中點M，連接SM，OM，OE，易得ABSM，則2SEO，3SMO，易知32.再根據最小角定理知，31，所以231，故選D.解析(1)由題意知四棱錐S-ABCD為正四棱錐，如圖，連接2020高考浙江專用培優二輪：專題2第2講立體幾何中的空間角問題課件熱點二求線面角【例2】 (2017浙江卷)如圖，已知四棱錐PABCD，PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E

5、為PD的中點.(1)證明：CE平面PAB；(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.熱點二求線面角(2)解分別取BC，AD的中點為M，N，連接PN交EF于點Q，連接MQ.因為E，F，N分別是PD，PA，AD的中點，所以Q為EF中點，在平行四邊形BCEF中，MQCE.由PAD為等腰直角三角形得PNAD.由DCAD，N是AD的中點得BNAD.因為PNBNN，所以AD平面PBN.由BCAD得BC平面PBN，因為BC平面PBC，所以平面PBC平面PBN.過點Q作PB的垂線，垂足為H，則QH平面PBC.連接MH，則MH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直線CE與平面PBC所成的角.設CD1.(2

6、)解分別取BC，AD的中點為M，N，連接PN交EF于點2020高考浙江專用培優二輪：專題2第2講立體幾何中的空間角問題課件2020高考浙江專用培優二輪：專題2第2講立體幾何中的空間角問題課件2020高考浙江專用培優二輪：專題2第2講立體幾何中的空間角問題課件探究提高(1)傳統法解決線面角問題的關鍵是先找出線面所成的角，再在三角形中解此角.(2)利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.探究提高(1)傳統法解決線面角問題的關鍵是先找出線面所

7、成的【訓練2】 如圖，在四棱錐P-ABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCD AD，E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90. (1)在平面PAB內找一點M，使得直線CM平面PBE，并說明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小為45，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.解(1)在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長AB，DC，相交于點M(M平面PAB)，點M即為所求的一個點.理由如下：【訓練2】 如圖，在四棱錐P-ABCD中，ADBC，AD由已知，BCED，且BCED.所以四邊形BCDE是平行四邊形.從而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE.所以CM平面PBE.(說明

8、：延長AP至點N，使得APPN，則所找的點可以是直線MN上任意一點)(2)法一由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD.從而CDPD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA45.由已知，BCED，且BCED.所以四邊形BCDE是平行四2020高考浙江專用培優二輪：專題2第2講立體幾何中的空間角問題課件2020高考浙江專用培優二輪：專題2第2講立體幾何中的空間角問題課件熱點三求二面角【例3】 (2016浙江卷)如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求證：BF平面ACFD；(2)求二面角B-AD-F的

9、平面角的余弦值.熱點三求二面角又因為EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK為等邊三角形，且F為CK的中點，則BFCK，且CKACC，CK，AC平面ACFD，所以BF平面ACFD.(2)解法一過點F作FQAK于Q，連接BQ.因為BF平面ACK，所以BFAK，則AK平面BQF，所以BQAK.所以BQF是二面角B-AD-F的平面角.又因為EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BC法二如圖，延長AD，BE，CF相交于一點K，則BCK為等邊三角形.取BC的中點O，連接KO，則KOBC，又平面BCFE平面ABC，平面BCFE平面ABCBC，所以KO平面ABC.以點O為原點，分別以射線OB，OK的方向

10、為x軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系O-xyz.法二如圖，延長AD，BE，CF相交于一點K，則BCK為等設平面ACK的法向量為m(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量為n(x2，y2，z2).設平面ACK的法向量為m(x1，y1，z1)，平面ABK的探究提高(1)用傳統法求解二面角的關鍵是：先找出二面角的平面角，再在三角形中求解此角.(2)利用法向量的根據是兩個半平面的法向量所成的角和二面角的平面角相等或互補，在能斷定所求二面角的平面角是銳角、直角或鈍角的情況下，這種方法具有一定的優勢，但要注意，必須能斷定“所求二面角的平面角是銳角、直角或鈍角”，在用法向量法求二面角的大小時，務必要作出

11、這個判斷，否則解法是不嚴謹的.探究提高(1)用傳統法求解二面角的關鍵是：先找出二面角的平【訓練3】 (2018紹興仿真考試)四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，ABC60，E為AB的中點，PA平面ABCD，PC與平面PAB所成的角的正弦值為 .(1)在棱PD上求一點F，使AF平面PEC；(2)求二面角D-PE-A的余弦值.【訓練3】 (2018紹興仿真考試)四棱錐P-ABCD中，2020高考浙江專用培優二輪：專題2第2講立體幾何中的空間角問題課件法二取BC的中點G，連接AG，由已知可得AGAD.又PA平面ABCD，故可以A為原點，以AG，AD，AP分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系.法二取BC的中點G，連接AG，由已知可得AGAD.又P2020高考浙江專用培優二輪：專題2第2講立體幾何中的空間角問題課件2020高考浙江專用培優二輪：專題2第2講立體幾何中的空間角問題課件2020高考浙江專用培優二輪：專題2第2講立體幾何中的空間角問題課件3.利用空間向量求解二面角時，易忽視二面角的范圍，誤以為兩個法向量的夾角就是所求的二面角，導致出錯.4.空間向量在處理空間問題時具有很大的優越性，能把“非運算”問題“運算”化，即通過直線的方向向量和平面的法向量，把立體幾何中的平行、垂直關系，各類角、距離