1、層次分析法介紹第1頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三AHP第一講層次分析法第2頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 1.1 引言與引例 層次分析法（Analytic Hierarchy Process，簡稱 AHP）是美國運籌學家 T. L. Saaty 教授于上世紀 70 年代初期提出的一種簡便、靈活而又實用的多準則決策方法。 第3頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 人們在進行社會的、經濟的以及科學管理領域問題的系統分析中，面臨的常常是一個由相互關聯、相互制約的眾多因素構成的復雜而往往缺少定量數據的系統。 在這樣的系統中，人們感興趣的

2、問題之一是：就 n 個不同事物所共有的某一性質而言，應該怎樣對任一事物的所給性質表現出來的程度（排序權重）賦值，使得這些數值能客觀地反映不同事物之間在該性質上的差異？第4頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 層次分析法為這類問題的決策和排序提供了一種新的、簡潔而實用的建模方法。它把復雜問題分解成組成因素，并按支配關系形成層次結構，然后用兩兩比較的方法確定決策方案的相對重要性。 第5頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 層次分析法在經濟、科技、文化、軍事、環境乃至社會發展等方面的管理決策中都有廣泛的應用。 常用來解決諸如綜合評價、選擇決策方案、估計和預測、投入

3、量的分配等問題。 第6頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三引例：綜合評價 某公司招聘工作人員，擬從能力、知識和儀態三個方面考核應聘者的綜合表現。為此建立了如下評價指標的層次結構：第7頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三其中 x1 = 寫作水平，x2 = 外語程度， x3 = 公關能力，x4 = 國內外政治經濟時事， x5 =計算機操作知識，x6 = 容貌與風度， x7 = 體形高矮與肥瘦，x8 = 音色。第8頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三如能知道底層指標 x1, , x8 對最高層的權系數w1, , w8 以及各底層指標的得分，就可以

4、按照如下的評價公式對應聘者進行考核、排序。 第9頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三引例：綜合決策 某地要改善一條河道的過河運輸條件，為此需要確定是否要建立橋梁或隧道以代替現有的輪渡。 在此問題中過河方式的確定取決于過河的效益與代價（即成本）。通常我們用費效比（即效益/代價）作為選擇方案的標準。為此分別給出了兩個層次結構（圖 1.1.2 和圖 ）。它們分別考慮了影響過河的效益與代價的因素，這些因素可分為三類：經濟的、社會的和環境的。第10頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三第11頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三第12頁，共57頁，202

5、2年，5月20日，3點0分，星期三 決策的制定將取決于根據這兩個層次結構確定的方案的效益權重與代價權重之比，即如能知道底層方案 Di（i = 1, 2, 3）對最高層 Aj（j = 1, 2）的權系數 wij（i = 1, 2, 3，j = 1, 2），則可根據如下的決策公式Si = wi1/ wi2，i = 1, 2, 3對三個方案進行排序、選擇。 第13頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三引例：預測或估計 在體育比賽中預測一個代表隊的成績，有三種可能的前景： x1 = 名列第一 x2 = 名列前八名（不包括第一） x3 = 名落孫山所用的評價指標有三個：競技實力、自信心、

6、環境因素。為此構建如下的層次結構： 第14頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三如能知道底層指標 x1, x2, x3 對最高層的權系數 w1j, w2j, w3j（j = 1, 2, 3），將各相同前景的權系數相加，就可以按照如下的預測公式 對各前景 x1, x2, x3 對進行先驗預測。第15頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三引例：投入量的分配 在這種問題中，投入量給定，要把它們分配到若干部門去。如能知道各部門對投入量的需求權重，把權系數看成分配的百分比率即可。 第16頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 1.2 層次分析法的基本原理和

7、步驟 運用層次分析法解決問題，大體可以分為四個步驟： 1. 建立問題的遞階層次結構； 2. 構造兩兩比較判斷矩陣； 3. 由判斷矩陣計算被比較元素相對權重； 4. 計算各層次元素的組合權重。第17頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 1.2.1 建立遞階層次結構 建立遞階層次結構是層次分析法中的第一步。 第18頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 首先，將復雜問題分解為稱之為元素的各組成部分，把這些元素按屬性不同分成若干組，以形成不同層次。同一層次的元素作為準則，對下一層次的某些元素起支配作用，同時它又受上一層次元素的支配。這種從上至下的支配關系形成了一個遞

8、階層次。處于最上面的的層次通常只有一個元素，一般是分析問題的預定目標或理想結果。中間層次一般是準則、子準則。最低一層包括決策的方案。層次之間元素的支配關系不一定是完全的，即可以存在這樣的元素，它并不支配下一層次的所有元素。 第19頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三一個典型的層次可以用下圖表示出來： 第20頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 其次，層次數與問題的復雜程度和所需要分析的詳盡程度有關。每一層次中的元素一般不超過 9 個，因一層中包含數目過多的元素會給兩兩比較判斷帶來困難。 第三，一個好的層次結構對于解決問題是極為重要的。層次結構建立在決策者對所

9、面臨的問題具有全面深入的認識基礎上，如果在層次的劃分和確定層次之間的支配關系上舉棋不定，最好重新分析問題，弄清問題各部分相互之間的關系，以確保建立一個合理的層次結構。 第21頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三一個遞階層次結構應具有以下特點： (1) 從上到下順序地存在支配關系，并用直線段表示。除第一層外，每個元素至少受上一層一個元素支配，除最后一層外，每個元素至少支配下一層次一個元素。上下層元素的聯系比同一層次中元素的聯系要強得多，故認為同一層次及不相鄰元素之間不存在支配關系。 (2) 整個結構中層次數不受限制。 (3) 最高層只有一個元素，每個元素所支配的元素一般不超過

10、9 個，元素多時可進一步分組。 (4) 對某些具有子層次的結構可引入虛元素，使之成為遞階層次結構。第22頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 1.2.2 構造兩兩比較判斷矩陣 在建立遞階層次結構以后，上下層次之間元素的隸屬關系就被確定了。假定上一層次的元素Ck 作為準則，對下一層次的元素 A1, , An 有支配關系，我們的目的是在準則 Ck 之下按它們相對重要性賦予 A1, , An 相應的權重。 第23頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 對于大多數社會經濟問題，特別是對于人的判斷起重要作用的問題，直接得到這些元素的權重并不容易，往往需要通過適當的方法來

11、導出它們的權重。 層次分析法所用的是兩兩比較的方法。 第24頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 第一，在兩兩比較的過程中，決策者要反復回答問題：針對準則 Ck，兩個元素 Ai 和 Aj 哪一個更重要一些，重要多少。需要對重要多少賦予一定的數值。這里使用 19 的比例標度，它們的意義見表 。 第25頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三表1.3.1 標度的意義1表示兩個元素相比，具有同樣的重要性3表示兩個元素相比，一個元素比另一個元素稍微重要5表示兩個元素相比，一個元素比另一個元素明顯重要7表示兩個元素相比，一個元素比另一個元素強烈重要9表示兩個元素相比，一個

12、元素比另一個元素極端重要2，4，6，8為上述相鄰判斷的中值第26頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 例如，準則是社會經濟效益，子準則可分為經濟、社會和環境效益。如果認為經濟效益比社會效益明顯重要，它們的比例標度取 5，而社會效益對于經濟效益的比例標度則取 1/5。 第27頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 19 的標度方法是將思維判斷數量化的一種好方法。首先，在區分事物的差別時，人們總是用相同、較強、強、很強、極端強的語言。再進一步細分，可以在相鄰的兩級中插入折衷的提法，因此對于大多數決策判斷來說，19 級的標度是適用的。其次，心理學的實驗表明，大多數人

13、對不同事物在相同程度屬性上差別的分辨能力在 59 級之間，采用 19 的標度反映多數人的判斷能力。再次，當被比較的元素其屬性處于不同的數量級時，一般需要將較高數量級的元素進一步分解，這可保證被比較元素在所考慮的屬性上有同一個數量級或比較接近，從而適用于 19 的標度。 第28頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 第二，對于 n 個元素 A1, , An 來說，通過兩兩比較，得到兩兩比較判斷矩陣 A：A = (aij)nn 其中判斷矩陣具有如下性質： （1）aij 0； （2）aij = 1/aji； （3）aii = 1。 我們稱 A 為正的互反矩陣。 根據性質（2）和（3）

14、，事實上，對于 n 階判斷矩陣僅需對其上（下）三角元素共 n(n-1)/2 個給出判斷即可。第29頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 1.2.3 計算單一準則下元素的相對權重 這一步是要解決在準則 Ck 下，n 個元素A1, , An 排序權重的計算問題。 對于 n 個元素 A1, , An，通過兩兩比較得到判斷矩陣 A，解特征根問題Aw = maxw所得到的 w 經歸一化后作為元素 A1, , An 在準則 Ck 下的排序權重，這種方法稱為計算排序向量的特征根法。第30頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 特征根方法的理論依據是如下的正矩陣的Perron

15、 定理，它保證了所得到的排序向量的正值性和唯一性： 定理 設 n 階方陣 A 0，max 為 A 的模最大的特征根，則有 (1) max 必為正特征根，而且它所對應的特征向量為正向量； (2) A 的任何其它特征根 恒有 | max； (3) max 為 A 的單特征根，因而它所對應的特征向量除差一個常數因子外是唯一的。第31頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 特征根方法中的最大特征根 max 和特征向量w，可用 Matlab 軟件直接計算。 例如：計算矩陣的最大特征值及相應的特征向量。第32頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三相應的 Matlab 程序如

16、下：A = 1,1,1,4,1,1/2; 1,1,2,4,1,1/2; 1,1/2,1,5,3,1/2; 1/4,1/4,1/5,1,1/3,1/3;1,1,1/3,3,1,1/3; 2,2,2,3,3,1;x, y = eig(A);eigenvalue = diag(y);lamda = eigenvalue(1)y_lamda = x(:, 1)y 是特征值，且從大到小排列；x 是特征向量矩陣，每一列為 相應特征值的一個特征向量。第33頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三輸出結果：lamda = 6.3516y_lamda = -0.3520 -0.4184 -0.42

17、23 -0.1099 -0.2730 -0.6604 第34頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 1.2.4 判斷矩陣的一致性檢驗 在特殊情況下，判斷矩陣 A 的元素具有傳遞性，即滿足等式aij ajk = aik例如當 Ai 和 Aj 相比的重要性比例標度為 3，而 Aj 和 Ak 相比的重要性比例標度為 2，一個傳遞性的判斷應有 Ai 和 Ak 相比的重要性比例標度為 6。當上式對矩陣 A 的所有元素均成立時，判斷矩陣A 稱為一致性矩陣。 第35頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 一般地，我們并不要求判斷具有這種傳遞性和一致性，這是由客觀事物的復雜性與

18、人的認識的多樣性所決定的。但在構造兩兩判斷矩陣時，要求判斷大體上的一致是應該的。出現甲比乙極端重要，乙比丙極端重要，而丙又比甲極端重要的判斷，一般是違反常識的。一個混亂的經不起推敲的判斷矩陣有可能導致決策的失誤，而且當判斷矩陣過于偏離一致性時，用上述各種方法計算的排序權重作為決策依據，其可靠程度也值得懷疑。因而必須對判斷矩陣的一致性進行檢驗。 第36頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三判斷矩陣一致性檢驗的步驟如下： (1) 計算一致性指標 C.I.： 其中 n 為判斷矩陣的階數； 第37頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三(2) 查找平均隨機一致性指標 R.

19、I.： 平均隨機一致性指標是多次（500次以上）重復進行隨機判斷矩陣特征根計算之后取算術平均得到的。龔木森、許樹柏1986年得出的115階判斷矩陣重復計算1000次的平均隨機一致性指標如下：階數12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41階數9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59第38頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三(3) 計算一致性比例 C.R.： 當 C.R. 0.1 時，一般認為判斷矩陣的一致性是可以接受的。否則應對判斷矩陣作適當的修正。 第39頁，共57頁，2022年，5月20日，

20、3點0分，星期三 1.2.5 計算各層元素的組合權重 為了得到遞階層次結構中每一層次中所有元素相對于總目標的相對權重，需要把1.2.3 中的計算結果進行適當的組合，并進行總的一致性檢驗。這一步是由上而下逐層進行的。最終計算結果得出最低層次元素，即決策方案的優先順序的相對權重和整個遞階層次模型的判斷一致性檢驗。 第40頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 假定遞階層次結構共有 m 層，第 k 層有 nk（k = 1, 2, , m）個元素，如圖 。 第41頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三已經計算出第 k1 層 nk1個元素 A1, A2, , 相對于總目標

21、的組合排序權重向量w(k1) = (w1(k1), w2(k1), , wnk1(k1) )T，以及第 k 層 nk 個元素 B1, B2, , 相對于第 k 1層每個元素 Aj（j = 1, 2, , nk1）的單排序權重向量pi(k) = (p1j(k1), p2j(k1), , pnk j(k1)T，i = 1, 2, , nk 其中不受 Aj 支配的元素權重取為 0。第42頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三作 nk nk 1 階矩陣P(k) = (p1(k), p2(k), , pnk 1(k)那么第 k 層 nk 個元素 B1, B2, , 相對于總目標的組合排序

22、權重向量為w(k) = (w1(k), w2(k), , wnk(k)T = P(k)w(k1)，并且一般公式為w(k) = P(k)P(k1)P(3)w(k1)。第43頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 對于遞階層次模型的判斷一致性檢驗，需要類似地逐層計算。 若分別得到了第 k1 層次的計算結果 C.I.k1、R.I.k1 和 C.R.k1，則第 k 層次的相應指標為第44頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三第45頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 1.3 范例工作選擇：經雙方懇談，已有三個單位表示愿意錄用某畢業生。該生根據已有信息建

23、立了一個層次結構模型，如下圖所示：第46頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 經過仔細斟酌，該生對準則層和方案層分別進行了兩兩比較，所做的兩兩比較判斷矩陣為：第47頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三第48頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三第49頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三第50頁，共57頁，2022年，5月20日，3點0分，星期三 對矩陣 A 和 Bj（j = 1, , 6）分別進行求最大特征值、一致性判斷、求權值等運算，再經過組合權重的計算和組合一致性的判斷，最終結果是：該生最滿意的工作為工作 1。中間的具體計算結果如