1、精品文檔微積分期末考試題一、填空題 ( 每小題 5分, 共25分)1、設 z xyf (xy) ，且當 y0 時， z x2，則 z.2、已知 zln( x2y2 ), 求gradz |( 3,4 ).3、求 z x2y21在條件 x y1下的極值為.24、該級數nn的收斂型為.n 1 25、已知微分方程 yy x , 該方程的通解為.二、選擇題 ( 每小題 5分, 共25分)3sin( x2y2 )lim22x 0 xy6、 y 0）的值為（A.3B.0C.2D. 不存在7、已知曲線 L為過點 (0,0), (0,1), (1,2) 點的圓弧，則該曲線積分 IL (eyx)dx xey =（

2、）A. e2B. e2 1C. e2 1D. e2222( x2) n8、級數 n 13n 的收斂區間為（）A. (1,3)B. (1,3C. 1,3D. 1,3)9、已知積分D積分為（）y dx,其中 D 是由直線yx, y2x 及 x 1, x 2 所圍成的閉區域，則該9423A.B.C.D.4932精品文檔精品文檔ez2 z10、已知 z z( x, y) 由 zxy 確定，求x y 為()9B.1ezxyC.23A.(1 ez) 23D.41 ez2三 、解答題 ( 每小題 10分, 共50分)11、求函數 f ( x, y)x34x22xyy2的極值 .12、求由于平面 x0, y

3、0, xy1所圍成的柱體被平面z0 拋物面 x2y26 z截得的立體體積 .13、若 f (x) 為連續函數，且滿足xsin t costf (t ) cost dt ，求函數 f ( x) .f ( x) 1014、求微分方程 (1x2 ) y2xy0的通解 .15、設 zy1z1zzf ( x2y 2 ) , 其中 f(u) 為可導函數 ,證明 xxyyy 2.精品文檔精品文檔微積分期末考試題答案一. 填空題1、 x22xy2yy2解析 : 由題可知 ,y時有f ( x)x2x,則f (xy)( xy)2(xy)0,x2y 22xyy2、 6i8j2525解析 : 由題可知 , 求偏導有z

4、22x2, z22 y2,gradz |(3, 4)6 i8 jxxyyxy25253、 32解析： zx2(1x)212x22x2x1x1令 z 0 ,得2 , z2 為極小值點 .4x240 ,x 下的極小值點為 (113故 zx2y21在 y12,2),極小值為 24、收斂解析 : 由比值判別法有 lim(n 1)22n(n 1) 22n 11, 此時該級數收斂 .2n 1n22n24n2n5、 1 ( x 1)2C1exC22解：令 py , yp , 方程化為 ppx , 于是p e(1) dx(1) dxex ( xe x dx C1)( xedx C1 )ex ( x 1)e x

5、C1(x 1) C1exypdx(x1)C1ex dx1( x1) 2 C1exC22精品文檔精品文檔二、選擇題6、 A解析 ;由等價無窮小，有sin( x2y 2 ) x2y 2 ，則該極限為lim 33.x0y07、 B解析：由題可知，該曲線積分與積分路徑無關，則作圖有(0,2)此時，IL (eyx) dx xey121(1 x)dxeydy e2002(1,0)8、 D.t nRlimanlim3 n 11解析：令 tx 2 , 冪級數變形為n 13 n ,tnan 1n3n.( 1)n1當 t1時 , 級數為 n 03 n 收斂；1當t1n 13 n發散 .時, 級數為t n故 n 1

6、3 n 的收斂區間是 I t 1,1) ,( x2)n則 n 13 n 的收斂區間為 I x 1,3) .9、 Ay2dx2 x yddy解析： Dx1xx.32xdx921410、 B解析：設 F (x, y, z)zezxy ，則Fxy，Fyx，F 1 ezz精品文檔精品文檔zFxyyzFyxxxFz1 ez1 ez ，yFz1 ez1 ezzzz2 zy1 ey ey1ez xyx yy 1 ez(1 ez )21 ez(1 ez )2三、解答題11、 解： f ( x, y)x34x22xyy2，則f x ( x, y) 3x28x 2y，f y( x, y) 2x 2y，f xx (

7、 x, y)6x8，fxy (x, y)2，f yy (x, y)2，3x28x2 y0，求駐點，解方程組2x2 y0，得 (0,0) 和 (2, 2) .對 (0,0) 有 f xx (0,0)80 ， fxy (0,0)2 ， f yy (0,0)2 ，于是 B2AC120 ，所以 (0,0)是函數的極大值點，且f (0,0)0對 (2, 2) 有 f xx (2, 2)4 ， f xy (2, 2)2 ， f yy (2, 2)2 ，于是 B2AC 12 0 ， (2, 2) 不是函數的極值點。12、解：由題可知，拋物面x2y26z 作為曲頂面，開口向下，則x2y26xy1將所有平面投影

8、到Xoy面上得此圖形，可知 0 x1,0y1x ，此時積分有Vdx16 x2y2 dydx 6 y x2 y1 y31x1x1000306(1x) x2 (1x)1(1x)3 dx171036精品文檔精品文檔13、解：由題可知，f (x)sin x cos x f (x) cos x 即 f (x) cos xf (x) sin x cos x令 P(x) cos x, Q( x)sin x cos x ，則f ( x)ecosxdxsin x cos xecosxdx(cdx) e sin x (c sin xdesin x ) e sin x (c esin x (sin x 1)sin x1ce sin x由 f (0)1, 有 c2 ，此時 f ( x)2e sin xsin x114、解 : 這是一個不明顯含有未知函數ydyd 2 ydp2)dp令 dxp2dx(1 x2 px 0作變換，則 dxdxdp2 xdxln p ln(1 x2 ) ln