1、流體力學第四章第1頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四4.1 流體的運動微分方程4.2 元流的伯努利方程4.3 恒定總流的伯努利方程4.4 非恒定總流的伯努利方程4.5 恒定總流的動量方程能量方程動量方程第2頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四4.1 流體的運動微分方程無黏性流體運動微分方程黏性流體運動微分方程第3頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四無黏性流體運動微分方程無黏性不存在剪切力表面力質量力壓強壓力Fx=xdxdydz牛頓第二定律MNOX軸方向流速的隨體導數第4頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四

2、同理無黏性流體運動微分方程（歐拉運動微分方程）展開成歐拉法的表達式（3-9）第5頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四黏性流體運動微分方程黏性存在剪切力以應力表示的不可壓縮黏性流體運動微分方程由于黏性作用，任一點法向應力的大小與作用面的方位有關黏性流體中，把某點三個正交面上的法向應力的平均值定義為該點的動壓強任p。p=p(x,y,z)第6頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四理想流體元流的伯努利方程黏性流體元流的伯努利方程4.2 元流的伯努利方程第7頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四 (1) 不可壓縮理想流體的恒定流動； (2)

3、沿同一微元流束（也就是沿流線）積分； (3) 質量力只有重力。（4）無黏性流體理想流體的運動微分方程只有在少數特殊情況下才能求解。在下列幾個假定條件下：即可求得理想流體微元流束的伯努利方程。理想流體元流的伯努利方程第8頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四恒定流動沿流線的微小位移ds在三個坐標軸上的投影為dx、dy和dzdxdydz兩邊同乘以一、理想流體微元流的伯努利方程第9頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四流線方程式（3-16）相加其中第10頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四流動在重力場中，質量力只有重力，X=0，Y=0，Z

4、=-g，即z軸垂直向上，oxy為水平面。又假設為不可壓縮流體，即=常數，積分后得此上式稱為理想流體微元流束的伯努利方程方程右邊的常數對不同的流線有不同的值。該方程的適用范圍：理想、不可壓縮流體，在重力作用下，作恒定流動，并沿同一流線（或微元流束）。or所以：第11頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四若1、2為同一條流線（或微元流束）上的任意兩點,則可得在特殊情況下，絕對靜止流體u=0，由可以得到靜力學基本方程第12頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四二、元流伯努利方程的物理意義和幾何意義物理意義幾何意義z單位重量流體的位能過水斷面的位置水頭單位重量流

5、體的壓能過水斷面的壓強水頭單位重量流體的動能過水斷面的速度水頭單位重量流體的機械能過水斷面的總水頭無黏性流體的恒定流動，沿同一元流，單位重量流體的機械能守恒無黏性流體的恒定流動，沿同一元流各斷面的總水頭相等能量守恒第13頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四圖 無黏性流體的總水頭線和靜水頭線第14頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四黏性流體元流的伯努利方程黏性阻力克服阻力做功能量損耗黏性流體元流單位重量流體由過流斷面1-1運動至過流斷面2-2的機械能損失，稱為元流的水頭損失。第15頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四圖 黏性流體的

6、總水頭線和靜水頭線第16頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四4.2 小結無黏性流體元流的伯努利方程黏性流體元流的伯努利方程能量方程第17頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四三大定律動量守恒能量守恒質量守恒元流的伯努利方程主要研究流體運動中的 想一想第18頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四4.3 恒定總流的伯努利方程漸變流及其性質總流的伯努利方程元流總流第19頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四漸變流及其性質均勻流非均勻流漸變流急變流流動的分類漸變流的性質：1）漸變流的過流斷面近于平面，面上各點的速度方向近

7、于平行；2）漸變流過流斷面上的動壓強與靜壓強的分布規律相同。遷移加速度很小，或流線近乎是平行直線的流動第20頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四圖 3-18 漸變流和急變流漸變流第21頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四總流的伯努利方程元流總流1122u1u2A1A2Z1Z200實際恒定總流 1-1 、2-2過流斷面 漸變流黏性元流的伯努利方程（單位重量流體）單位時間流過元流1-1和2-2 過流斷面的流體重量單位時間的元流1-1和2-2 過流斷面的能量關系第22頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四單位時間的總流1-1和2-2 過

8、流斷面的能量關系勢能積分動能積分水頭損失積分積分整理得總流的伯努利方程第23頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四兩過流斷面無分流及匯流，則Q1=Q2=Q，兩邊同除pgQ可得為黏性流體總流的伯努利方程總流的伯努利方程第24頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四總流伯努利方程的物理意義和幾何意義總流過流斷面上某點（計算點）單位重量流體的位能；總流過流斷面上某點（計算點）單位重量流體的壓能；總流過流斷面上某點單位重量流體的平均動能；總流兩過流斷面間單位重量流體平均的機械能失；總流過流斷面上單位重量流體的平均勢能；總流過流斷面上單位重量流體的平均機械能；總流的

9、伯努利方程第25頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四水頭線H1H2Z1Z2HPHhw總流的伯努利方程總水頭線坡度第26頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四總結總流伯努利方程的物理意義和幾何意義元流伯努利方程的物理意義和幾何意義異同點？第27頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四1. 水流必須是不可壓縮液體的恒定流；2. 作用在液體上的質量力只有重力；3. 在所選取的兩個過水斷面符合漸變流斷面，但在所取的兩個斷面之間，水流可以不是漸變流。4.兩段面間無分流或匯流。應用恒定總流能量方程式的條件11223300例如P84圖4-16第28

10、頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四【例4-1】 有一直徑緩慢變化的錐形水管，1-1斷面處直徑d1=0.15m,中心點A的相對壓強為7.2kN/m2, 2-2斷面處直徑d2=0.3m,中心點B的相對壓強為6.1kN/m2,斷面平均流速v2=1.5m/s，A,B的高差為1米，試判斷管中水流方向，并求1，2兩斷面間的水頭損失。 1122AB1m【解】利用連續原理求斷面的平均流速。 因 v1A1=v2A2 所以因水管直徑變化緩慢，1-1與2-2斷面水流可看作漸變流，以過A點水平面為基準面計算兩斷面的總能量：第29頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四1122

11、AB1mv第30頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四基準面的選擇是任意的，但在計算不同斷面的位置水頭z值時，必須選取同一基準面；能量方程中 一項，可以是相對壓強，也可以是絕對壓強，但對同一問題必須采用相同的標準；在計算過水斷面的測壓管水頭 時，可以選取斷面上任意點計 算（？），具體選擇哪一點，以計算方便為宜。例如：對管流，一般選取管軸中心點來計算，明渠一般選擇自由表面上的點。不同過水斷面的動能修正系數嚴格講是不相等的，實際中對漸變流，通常令=1，特殊情況時需根據具體情況而定。應用恒定總流能量方程式時應注意幾點第31頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四

12、第32頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四4.5 恒定總流的動量方程動量方程恒定總流的動量方程第33頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四a) 取控制體（隔離體）在流場中將研究的流段隔離出來，即為控制體。它是以漸變流的過流斷面和固體壁面為邊界所包圍的流體段，之所以取在漸變流，是因為漸變流上其過流斷面平均流速和作用在斷面上的壓力比較好確定。b) 受力分析作用在控制體上的外力包括重力和表面力。表面力中包括兩個斷面上的壓力,固體壁面對流體的壓力(這個力往往就是所求的力)還有固壁附近的摩擦阻力（通常由于相對于作用力很小，可以忽略）。控制體內還有內力，對外而言也

13、不予考慮。對大氣壓力只要暴露在大氣中都會受到大氣的作用因此，絕大多數都用相對壓強來計算。未知力的方向可以任意假設，最后通過計算結果來判斷方向，結果為正則實際方向與假設方向一致，否則相反。c) 求動量的變化動量的變化往往用投影量來進行計算，由流出控制體的動量值減去流入控制體的動量值，流速投影的正負與力的投影正負規定相同，與坐標軸的方向一致。另外，在求解過程中還會用到連續性方程和能量方程。應用動量方程的注意事項第34頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四總流的連續性方程總流的能量方程總流的動能方程理解掌握牢記第35頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四質量、

14、能量和動量方程的應用實例水流對彎管的作用力2.水流對分叉管道的作用力3.水流射流對管壁的作用力第36頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四 【例4-2】 水平放置在混凝土支座上的變直徑彎管，彎管兩端與等直徑管相連接處的斷面1-1上壓力表讀數p1=17.6103Pa，管中流量qv=0.1m3/s，若直徑d1=300，d2=200，轉角=600，如圖所示。求水對彎管作用力F的大小。【解】 水流經彎管，動量發生變化，必然產生作用力F。而F與管壁對水的反作用力R平衡。 管道水平放置在xoy面上，將R分解成Rx和Ry兩個分力。 取管道進、出兩個截面和管內壁為控制面，如圖所示，坐標按圖

15、示方向設置。R第37頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四R受力分析：沿x軸方向沿y軸方向第38頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四 (m/s) (m/s) 2.列管道進、出口的伯努利方程 則得： 1.根據連續性方程可求得： 水平放置z1=z2=0第39頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四 3.所取控制體受力分析 進、出口控制面上得總壓力： （kN） （kN） 壁面對控制體內水的反力Rx、Ry，其方向先假定如圖所示。 4.寫出動量方程 選定坐標系后，凡是作用力（包括其分力）與坐標軸方向一致的，在方程中取正值；反之，為負值。 第40

16、頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四 則 （kN） 沿y軸方向 （kN） 管壁對水的反作用力 (kN) 水流對彎管的作用力F與R大小相等，方向相反。 沿x軸方向第41頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四【例4-3】水平分岔管路，如圖所示，干管直徑 d1=600mm，支管直徑d2=d3=400mm,分岔角=30。已知分岔前斷面的壓力表讀值pM=70kN/m2，干管流量Q=0.6m3/s，不計水頭損失。試求水流對分岔管的作用力。【解】因為支管2和支管3 管徑相同且關于x軸對稱，因此Ry=0.ox方向的動量方程112233RxP2P3P1yxo第42頁，共

17、58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四水流對分岔管的作用力Rx=4.72kN，方向與ox方向相同。第43頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四 試求：1）沿平板的流量 2）射流對平板的作用力【例4-4】水平方向的水射流，流量Q1，出口流速v1，在大氣中沖擊到前后斜置的光滑平板上，射流軸線與平板成角，不計水流在平板上的阻力。解題思路：分析題意和已知條件取控制體，如圖分析受力 因不計水流在平板上的阻力，可知平板對水流的作用力R與平板垂直，設R的方向與oy軸相同。列1-1，2-2和3-3斷面的伯努利方程 在大氣射流中，控制面內各點的壓強皆可 認為等于大氣壓，p1 p

18、2p3=p0因為壓強和位置水頭都相等，所以可得： v1 v2v3第44頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四列oy方向的動量方程：射流對平板的作用力R與R方向相反、大小相等，即指向平板。 （2）求射流對平板的作用力R（1）求Q2、Q3 列ox方向的動量方程 ，因為在x方向上的合外力為0。 連續性方程：Q2+Q3=Q1 聯立得：第45頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四習題1：有一沿鉛垂直立墻壁敷設的彎管如圖所示，彎管轉角為90，起始斷面1-1與終止斷面2-2間的軸線長度L為3.14m，兩斷面中心高差z為2m，已知1-1斷面中心處動水壓強P1為117.6

19、kN/m2，兩斷面之間的水頭損失為hw為0.1m，已知管徑d為0.2m，試求當管中流量Q為0.06m3/s時，水流對彎管的作用力。z1122d第46頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四習題2. 水 由 水 箱 經 一 噴 口 無 損 失 地 水 平 射 出， 沖 擊 在 一 塊 鉛 直 平 板 上， 平 板 封 蓋 著 另 一 油 箱 的 短 管 出 口。 兩 個 出 口 的 中 心 線 重 合， 其 液 位 高 分 別 為 h1 和h2， 且h1=1.6m ， 兩 出 口 直 徑 分 別 為d1=25mm,d2=50mm， 當 油 液 的 相 對 密 度 為0.85 時

20、， 不 使 油 液 泄 漏 的 高 度 h2應 是 多 大（ 平 板 重 量 不 計）？第47頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四能量方程在流速和流量測量中的應用1. 畢托管流速測量2. 文丘里流量計第48頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四1. 流速測量畢托管 為校正系數，測量儀器儀表一般都要定期的標定。一般在計算時可取為1。如果用畢托管測量氣體的速度，屬于被測介質與測量介質不同的情況。可以用下面的公式進行計算：其中： 為差壓計所用液體的容重； 為流動氣體本身的容重。 第49頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四2. 文丘里流量

21、計取1-1，2-2斷面，先不計水頭損失，然后我們再作修正，a1=a21。由連續性方程： 第50頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四標準的文丘里流量計 0.950.98。 流量系數： 第51頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四4 小結伯努利方程（能量）動量方程連續方程，伯努利方程和動量方程在實際問題求解中的應用習題： 4.16， 4.19第52頁，共58頁，2022年，5月20日，10點59分，星期四方程應用條件 方程意義 待求問題 備 注 能量方程 恒定、不可壓縮流體；質量力只有重力；計算斷面為漸變流斷面 反映了液流中機械能和其他形式的能（主要是代表能量損失的熱能）間的守恒與轉化關系 動水壓強（或動水壓力）、斷面平均流速、