1、第五章有旋運動和無旋運動第五章 有旋運動和無旋運動5.1 有旋運動5.2 旋渦的誘導速度5.3 卡門渦街5.4 有勢流動5.5 理想不可壓流體恒定平面勢流5.6 流網的特征及其繪制5.7 基本的平面勢流5.8 勢流疊加原理5.1 有旋流動 旋渦（vortex,有旋流動）在自然界普遍存在 旋渦（有旋流動）的產生和變化對流體運動有重要的影響空中看鳴門海峽空中看鳴門海峽衛星云圖：氣旋北半球南半球一. 渦量、渦線、渦管、渦通量 渦量渦量用來描述流體微團的旋轉運動。渦量的定義為：渦量的方向：微團的瞬時轉動軸渦量場：(x,y,z,t)-速度場的旋度渦量是點的坐標和時間的函數。它在直角坐標系中的投影為： 在

2、流場的全部或部分存在角速度的場，稱為渦量場。如同在速度場中引入了流線、流管、流束和流量一樣。在渦量場中同樣也引入渦線、渦管、渦束和旋渦強度的概念。 與流場中的速度場相對應一. 渦量、渦線、渦管、渦通量 渦線渦線：一條在有渦運動中反映瞬時旋轉角速度方向的曲線，即在某同一時刻，處于渦線上的所有各點的流體質點的角轉速方向都與該點的切線方向重合。渦線方程：與速度場中的流線相對應一. 渦量、渦線、渦管、渦通量 渦管渦管：在渦量場中任取一不是渦線的封閉曲線，在同一時刻過該曲線每一點的渦線形成的管狀曲面稱作渦管渦束：截面無限小的渦管稱為微元渦管。渦管中充滿著的作旋轉運動的流體稱為渦束，微元渦管中的渦束稱為微

3、元渦束或渦絲。與流場中的流管相對應一. 渦量、渦線、渦管、渦通量 渦通量和渦管強度渦通量：在流場中取某曲面A，則渦量的面積分稱為渦通量。渦管強度：通過渦管任一截面的渦通量稱為該渦管的渦管強度。對應流量n該平面的法向量二. 速度環量和斯托克斯定理 速度環量速度環量：流場中流速沿任一封閉曲線L的線積分 速度環量是一代數量，它的正負與速度的方向和線積分的繞行方向有關。對非定常流動，速度環量是一個瞬時的概念，應根據同一瞬時曲線上各點的速度計算，積分時t為參變量。 速度環量是標量，有正負號，規定沿曲線逆時針繞行的方向為正方向，沿曲線順時針繞行的方向為負方向。速度環量是旋渦強度的量度，通常用來描述旋渦場。

4、 二. 速度環量和斯托克斯定理 斯托克斯定理：聯系速度環量和渦通量單連通域內容：沿包圍單連通面域的有限封閉曲線的速度環量 等于通過此單連通域的渦通量。斯托克斯定理將線積分和面積分聯系起來；即將速度環量和旋渦強度（渦通量）聯系起來二. 速度環量和斯托克斯定理 斯托克斯定理：雙連通域LC二. 速度環量和斯托克斯定理 斯托克斯定理：雙連通域LCBE 處理：雙連通域轉化為單連通域二. 速度環量和斯托克斯定理 孤立渦管情況ILAC說明：沿渦管外任一圍繞渦管的封閉曲線的速度環量等于該孤立渦管的渦管強度；推廣到有多個孤立渦管的情況；三. 旋渦隨空間的變化規律 渦管強度守恒定理：同一時刻、同一渦管上任一截面的

5、渦通量是相同的，即渦管強度保持不變。證明：于某時刻，任取渦管如圖截面A1、A2和側面A3（渦面）組成封閉曲面A，其體積為VA1A2A3n1n2n3三. 旋渦隨空間的變化規律 渦管強度守恒定理：A1A2A3n1n2n3將A1的外法線n1改為內法線n1 ，使其與n2方向一致，則三. 旋渦隨空間的變化規律 渦管強度守恒定理：元渦管，截面的法線方向與渦矢量方向一致，并認為為常數，則結論：渦管截面不可能收縮為零，即渦管不能在流體中終止或開始。渦管的存在形式：（1）本身封閉；（2）兩端位于邊界或無窮遠。四. 旋渦隨時間的變化規律 速度環量的時間變化率xyzoLL證明過程略四. 旋渦隨時間的變化規律 開爾文

6、速度速度環量定理定理：理想、正壓流體在有勢的質量力作用下，沿任何封閉流體周線的速度環量不隨時間變化：證明：00理想流體粘度為0，故N-S方程可以寫成此種形式由于質量力以及是流體正壓，故二者環量為0四. 旋渦隨時間的變化規律 開爾文速度速度環量定理定理：理想、正壓流體在有勢的質量力作用下，沿任何封閉流體周線的速度環量（渦通量、渦管強度）不隨時間變化： 說明： 1. 影響速度環量隨時間變化的三個因素為：質量力是否有勢、流體是否正壓、流體是否具有粘性； 2. 旋渦不生不滅定理； 3. 渦管及渦管強度保持性定理無粘、正壓、體力有勢的情況下，某時刻組成渦管的流體質點將永遠組成渦管，且渦管強度在運動過程中

7、保持不變。5.2 旋渦的誘導速度 上節討論旋渦本身隨時間和空間的變化規律 本節討論旋渦對周圍流場的影響 誘導速度：指孤立的旋渦帶動周圍不可壓流體運動的速度 產生原因：是由于流體的粘性引起的； 理想流體：不會帶動周圍的流體一起運動；旋渦區流場 實際流體：粘性保證了速度分布的連續性；一. 曲線渦的誘導速度畢奧薩伐公式 曲線渦滿足：dLONAr則微元段dL對A點的誘導速度為：畢奧薩伐公式則整個曲線渦對A點的誘導速度為：一. 曲線渦的誘導速度畢奧薩伐公式 曲線渦dLONAr 速度大小 速度方向按照右手螺旋法則確定每個微元段的誘導速度的方向 說明曲線渦對本身有誘導速度，故其本身在運動過程中會不斷改變形狀

8、。二. 單個直線渦的誘導速度ABMRdlrd 直線渦的誘導速度為： 誘導速度的方向： 垂直紙面向外二. 單個直線渦的誘導速度 直線渦的誘導速度為：ABMRdlrd 特例1半無限長直線渦（1=0, 2=/2）： 特例2無限長直線渦（1=0, 2=）：二. 單個直線渦的誘導速度 無限長直線渦-平面點渦一根無限長直渦線，在與其垂直的平面內誘導的流場為平面流動，因此可以簡化為平面點渦。yx二. 單個直線渦的誘導速度 平面點渦的誘導速度yxr 說明：（1）平面點渦的誘導速度對本身不起作用；（2）誘導速度場是無旋的；（3）包圍點渦的速度環量為；（4）不包圍點渦的速度環量為0；三. 一組直線渦的誘導速度 渦

9、系的誘導速度：（1）渦系決定的誘導速度場是每個渦誘導速度場的代數和；（2）每個渦的運動速度等于其它渦對該渦的誘導速度代數和；yxM(x,y)則：則n個直線渦在M點的誘導速度：注意：旋轉方向以逆時針為正三. 一組直線渦的誘導速度 思考？某個渦的運動速度？yx答案：每個渦的運動速度等于 其它渦對該渦的誘導速度代數和；yxM(x,y)n個點渦對某點M(x,y)的誘導速度n-1個點渦對某點渦的誘導速度三. 一組直線渦的誘導速度 思考？某個渦的運動速度？yx答案：每個渦的運動速度等于 其它渦對該渦的誘導速度代數和；n-1個點渦對某點渦的誘導速度三. 一組直線渦的誘導速度 補充知識渦對(n2)熱帶雙臺風速

10、度：yx2個點渦渦對跡線：慣性中心：三. 一組直線渦的誘導速度 補充知識渦對(n2)熱帶雙臺風yx2個點渦渦對跡線：慣性中心：三. 一組直線渦的誘導速度 補充知識渦對(n2)熱帶雙臺風藤原效應如果兩個颱風靠近時，它們將繞著相連的軸線成環狀相互作反時鐘方向旋轉，旋轉中心的位置，由兩個颱風的相對質量及颱風環流之 強度來決定。旋轉時通常較小的一個走得快些，較大的一個走得慢些 ，有時亦可能合而為一，日本氣象學家藤原先生最早研究此種雙颱風旋轉現象，故稱此現象為藤原效應。三. 一組直線渦的誘導速度 補充知識渦對(n2)熱帶雙臺風雙臺風效應是指兩個臺風靠近時，它們將繞著相連的軸線成環狀，且互相作逆時針方向旋

11、轉，旋轉中心與位置依兩個臺風相對質量及臺風環流之強度而定。由于“寶霞”和“桑美”相距僅1000公里左右，專家認為這兩個臺風可能形成“雙臺風”效應。 四. 自由渦、強迫渦及其組合渦yx 實際旋渦（圓柱渦）必須考慮內部結構（1）假設圓柱渦內部如同剛體以角速度繞圓心轉動；內部速度：內部運動為有旋運動強迫渦：（2）圓柱渦的外部為圓柱渦的誘導速度場；外部速度場；外部運動為無旋運動自由渦；（3）蘭肯組合渦強迫渦自由渦；四. 自由渦、強迫渦及其組合渦 蘭肯組合渦的速度場內部速度與r成正比：外部速度與r成反比；四. 自由渦、強迫渦及其組合渦 蘭肯組合渦的壓強場（1）旋渦外部：外部流動定常且無旋，故可用歐拉積分

12、式確定速度和壓力的關系。略去質量力有四. 自由渦、強迫渦及其組合渦 蘭肯組合渦的壓強場（2）旋渦內部：內部流動有旋5.3 卡門渦街繞流問題：隨著雷諾數的增大邊界層首先出現分離，分離點并不斷的前移，當雷諾數大到一定程度時，會形成兩列幾乎穩定的、非對稱性的、交替脫落的、旋轉方向相反的旋渦，并隨主流向下游運動，這就是卡門渦街。5.3 卡門渦街塔科馬大橋 事故：1940年美國西海岸華盛頓州建成了一座當時位居世界第三的Tacoma大橋，大橋中央跨距為853米，為懸索橋結構，設計可以抗60m/s的大風，但不幸的是大橋剛建成個月就在19m/s的風吹拂下整體塌毀。 原因：Tacoma大橋遭風塌毀的原因就是氣流

13、與大橋的共振所引起的。當風吹過大橋時，氣流會在大橋的背風面產生旋渦，而在19m/s風速時旋渦脫落的頻率與懸索上橋板的固有頻率剛好一致，從而產生了強烈的共振。因此盡管橋塌毀的這天的風并不是很大，但卻吹垮了整座大橋。 5.4 有勢流動一. 速度勢函數 無旋運動存在速度勢函數對于無旋流場，處處滿足：u0，由矢量分析知，任一標量函數梯度的旋度恒為零，所以速度一定是某個標量函數(x,y,z,t)的梯度，即流場的速度等于勢函數的梯度。因此，稱為速度勢函數，簡稱速度勢；稱無旋流動為有勢流動，簡稱勢流。為拉普拉斯算子， =（ ）1. u（外積）為向量u的旋度（矢量）2.u為函數u的梯度（矢量)3. u（內積）

14、為向量u的散度(標量）一. 速度勢函數 速度勢函數的性質（1）速度勢函數 加減一個常數，不影響流速場；一. 速度勢函數 速度勢函數的性質（2）為常數的曲面為等勢面，其法線方向與速度矢量重合，即等勢面與速度矢量垂直；dsu一. 速度勢函數 速度勢函數的性質（3）單連域內任兩點A,B的速度勢之差等于沿兩點間任意連線的速度環量；（4）不可壓縮流體的速度勢函數滿足拉普拉斯方程；二. 不可壓縮流體的流函數 不可壓縮流體存在流函數不可壓縮流體連續方程：為流函數。二. 不可壓縮流體的流函數 說明 不可壓縮流體必然存在流函數。 流函數和流速的關系：不可壓縮流體的連續性方程為 再有全微分方程的條件 二. 不可壓

15、縮流體的流函數 流函數的性質（1）流函數加減一個常數，不影響流速場；二. 不可壓縮流體的流函數 流函數的性質（2）等流函數線為流線；流函數和流速的關系：二. 不可壓縮流體的流函數 流函數的性質（3）任意兩條流線之間的單寬流量等于這兩條流線上流函數差；xyoABdsnu則通過ds的單寬流量dq為dsdydxncos sin 其中：于是：二. 不可壓縮流體的流函數 流函數的性質（4）在有勢流動中，流函數滿足拉普拉斯方程，是調和函數；流函數和流速的關系：速度和速度勢函數關系速度和流函數關系 共軛函數滿足柯西黎曼條件的兩個函數稱為共軛函數。在恒定平面勢流中，流函數和勢函數為共軛函數三. 復勢、復速度

16、柯西黎曼條件柯西黎曼條件三. 復勢、復速度 勢函數和流函數的關系（1）等勢線與等流函數線處處正交 等流線：斜率：等勢線：斜率：斜率之積：三. 復勢、復速度 勢函數和流函數的關系（2）共軛調和函數（勢函數和流函數）可以組成復勢復勢W(z): 實部代表勢函數，虛部代表流函數說明: 任何一個不可壓縮平面勢流必然具有一個確定的復勢； 一個確定的復勢則代表一個不可壓縮平面勢流；流函數速度勢函數三. 復勢、復速度 勢函數和流函數的關系（2）共軛調和函數（勢函數和流函數）可以組成復勢復速度: 速度矢量的復數表示: 速度矢量和復速度: 三. 復勢、復速度 復勢的主要性質（1）復勢W(z)可以相差一個常數，不影響流速場；（2）復速度沿封閉曲線C的積分，其實部為沿封閉曲線的 速度環量，虛部為通過曲線C的流量；例1:有一個速度大小為v(定值)，沿x軸方向的均勻流動，求它的速度勢函數。解： 首先判斷流動是否有勢流動無旋，為有勢流動。由 得到 求勢函數和流函數，首先要看是否存在的條件例2:平面不可壓縮流體速度勢函數 ，a 0）：流體從一點均勻地流向