1、極值點偏移問題講義一、極值點偏移的含義眾所周知，函數f(x)滿足定義域內任意自變量x都有f(x)=f(2m-x)，則函數f(x)關于直線x二m對稱；可以理解為函數f(x)在對稱軸兩側，函數值變化快慢相同，且若f(x)為單峰函數，則x二m必為f(x)的極值點.如二次函數f(x)的頂點就是極值點x0，若f(x)=c的兩根的中點為x+xx+x122，則剛好有122二x0，即極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移.若相等變為不等，則為極值點偏移：若單峰函數/(x)的極值點為m，且函數/(x)滿足定義域內x二m左側的任意自變量x都有/(x)/(2m-x)或/(x)/(2m-x)，則函數/(x)極值點

2、m左右側變化快慢不同故單峰函數/(x)定義域內任意不同的實數，x2滿足f(xi)=f(x2)，則x+xx+xx+xN2與極值點m必有確定的大小關系：若m-22則稱為極值點右偏.如函數g(x)-e?的極值點x0二1剛好在方程g(x)=c的兩根中點寧的左邊，我們稱之為極值點左偏.二、極值點偏移問題的一般題設形式：若函數f(X)存在兩個零點片，X2且X1豐X2，求證：X1+X22X0(X0為函數f(X)的極值點);若函數/(X)中存在X1,X2且X1豐X2滿足f(X)=f(X2)，求證：X1+X22X0(X0為函數f(x)的極值點)；若函數f(x)存在兩個零點xi,x2且X1豐x2，令X0=S；3，

3、求證：廣(X0)0；若函數f(X)中存在Xi,x2且X1豐x2滿足f(Xi)=f(x2)，令X0=I3，求證：廣(X0)0.二、運用判定定理判定極值點偏移的方法1、方法概述：(1)求出函數f(x)的極值點x0；(2)構造一元差函數F(x)二/(x0+x)-/(x0-x)；(3)確定函數F(x)的單調性；(4)結合F(0)=0，判斷F(x)的符號，從而確定f(x0+x)、f(x0-x)的大小關系.口訣：極值偏離對稱軸，構造函數覓行蹤；四個步驟環相扣，兩次單調緊跟隨.2、抽化模型答題模板：若已知函數f(x)滿足f(X1)=f(x2)，x0為函數f(x)的極值點，求證：X1+x2F（Xo）二f（X）

4、-f（X）二0，從而得到：XXo時，f（%+X）f（%一X）.（4）不妨設x1x0 x0時，f(x0+x)f(x0-x)且片x0fX0(X2X0)二f(2X0X2)，又因為X1X0，2x0 x2x0且f（x）在（g，x0）上單調遞減，從而得到x2x0 x2，從而x+x22x0得證.x+xx+xx+x（5）若要證明f（02）0，還需進一步討論p2與x0的大小，得出p2所在的單調區間，從而得出該處函數導數值的正負，從而結論得證.此處只需繼續證明：因為x1+x22x0，故遇竺x0，由于f（x）在（一。x0）上單調遞減,說明】1）此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導比較復雜，計算時須細心；2）此類

5、題目若試題難度較低，會分解為三問，前兩問分別求f（x）的單調性、極值點，證明f（x0+x）與f（x）（或f（x）與f（2“x）的大小關系；若試題難度較大，則直接給出形如xi+x22x0或f（%；X2）0的結論，讓你給予證明，此時自己應主動把該小問分解為三問逐步解題.題型二利用對數平均不等式(a豐b),兩個正數a和b的對數平均定義：L(a,b)=1InaInba(a=b).abL(a，b)a2b(此式記為對數平均不等式)取等條件：當且僅當a=b時，等號成立.只證：當a豐b時，鮎abL(a，b)b.證明如下：(I)先證：abL(a,b)ab,a不等式lnalnblnabbbbo2lnx1)axb構造函數f(x)=2lnx(x-丄),(x1)，則f(x)=-1=(1-)2xxx2x因為x1時，f(x)0，所以函數f(x)在(1,+s)上單調遞減,故/(x)/=，從而不等式成立;a+b(II)再證：L(a,b)olnbolnx(其中x=1)a+bb(a+1)(x+1)Vbb(x1)22(x1)14構造函數g(x)=lnx寸(x1)，則g(x2廠GT正-x(x+1)2-