1、數量關系主要測查報考者理解、把握事物間量化關系和解決數量關系問題數量關系主要測查報考者理解、把握事物間量化關系和解決數量關系問題算的基礎知識、常見題型以及數學思維應第一數算基礎知運算與速算數算中對于速算和運算是考生需要掌握的基本技能和技巧之一。學會抓住題目中數的征，通過對數的分解、合并、轉化形式，依據小學階段掌握的四則運算的定律、性質、法則或利解決，提高解題的效率的（一）交換律、結合律與分配律的交換律與結合律：若干項進行加減乘除運算過程中，觀察局部數據的計算的簡便性，通過整計算的順序進行組合運2512.50.4250.412.51012.5分配律：對于表達式中直接或間接出現的公共因子進行提取組

2、合運算，基本表達式分種如下所示2（1）abacab（2）abc若cxyabx y ax例如47.825847.8242 47.82 (58 42) 47.82100 4836.72453.42473.4-2453.424（73.4-53.4）（二）湊整或裂項湊整：將運算過程中出現的與整10 整100或整1000倍數等等比較接近的數值進行調整組合例如7297 721003) 721007237200 216拆分：將給定數字拆分成便于運算的不同部分進行重新組合運125256632（1252548）66（1258）（254）6613424(304)(20 4)3020 4 20 4 30 4 4（3

3、424(304)(20 4)3020 4 20 4 30 4 4（三）完全平方、平方和差、立方和差ab2 a2 2abb2ab2 a2 2abba2b2ab2 2ab； a2 b2 aba立方差與立方a3 b3 aba2 abb2； a3 b3 aba2 abb2這部分知識在算中主要考查表達式的轉換變型代入，要求考生對上述三種形式的整及局部特點要有基本印像，在實際使用過程中根據部分的相似性進行變型替代轉換例如（1）ab8，ab20，且ab，則a b 分析：（ab）2 ab)2 4ab6480144，因此（2）a2a10，則a3 1a31a3 12a1a2 a12022（3）自然數乘1999，末

4、尾6位數都是9，是哪個數分析：根據平方差公式a1a1 a2 1，其中有一個因子a-11999，且假設a 末尾是三個零出 a=2000，進一步得知另一個因子 a+1=2001（四）數字局部特征與倍點或結果的所含因子特征決。所謂局部特征一般是指尾數特征特征、數量級特征小數位數、以及分子分母特征等進行判82015其結果的尾數是（這部分數列知識需要考生積累 1-9 的 N 次方的尾數變化規律，總結周期特點。這里先介紹1-9N（1，5，6）的 N 次方：其尾數恒定不變，分別均為 1，5，6（2，3，7，8）的 N 次方：尾數變化規律分別是（2，4，8，6（3，9，7，1（7、 9、3、1）（8、4、2、

5、6）。尾數變化周期量為 4。即可進一步得出，當 N 的不同取值只要相差 4 的倍數，其結果的尾數均相同。（4，9）的 N 次方：尾數變化規律分別是（46（91）。尾數變化周期量為 2222015 的尾數與23的尾數相等均為8，同理82015 的尾數與83 的尾數相等均為2，故而此題案22015 的尾數與23的尾數相等均為8，同理82015 的尾數與83 的尾數相等均為2，故而此題案為 042. 1133825593的值為B3的倍數A即為3的倍數；若不3 的倍數，則數字之和除以3A3的余數相同是 2，那么只需觀察中間位置上的數字與余數2的和能被3整除即可。四個選項中間位置上的數字分別為3、7、6

6、、5. 只有7+2是3 的倍數，故而選B。43. 7643281976442818是A方法一：可以利用上面的四則混合運算的拆分法=（76432819）- =7643-=）方法二：利用選項的尾數不同可以直接計算尾數為 39-48，尾數為 7-2=5，即可判斷。7（b+5a）的值為D已知根據可求出 b=-1005，表達式|2b+10a|-（b+5a）=-2b-10a-b-5a=-3b-a是個位數，最大不超9，從整體角度看，所求表達式的影響有限。若忽略 15a，為-3-1005=3015，15a 的取值范圍在 151159 之間，因此可以看只能D20141.5 2013例題 45. 3 的值為（ 2

7、0142 201314132334C.D.D333此題分母比較簡單為平方差形式的考查，計算出分母為 1；分子為 2014 201324因為 2014 與 2013 非常接近，可以試著看作相同的因子，那么其最為20143320003 1500A44（五）分數計算的本講知識點屬于比較流行算題型內容，以下將分為三個方面系統學習和掌握這些?？剂秧棧菏怯嬎阒行枰l現規律33此題分母比較簡單為平方差形式的考查，計算出分母為 1；分子為 2014 201324因為 2014 與 2013 非常接近，可以試著看作相同的因子，那么其最為20143320003 1500A44（五）分數計算的本講知識點屬于比較流行

8、算題型內容，以下將分為三個方面系統學習和掌握這些?？剂秧棧菏怯嬎阒行枰l現規律、利用公式的過程，裂項與通項歸納是密不可分的求考生掌握裂項技巧及尋找通項進行解題的能1對于分母可以寫作兩個因數乘積的分數形式的，這把較小的數面a111 1ab111 (1 abb)baba ab 1 a裂差型裂項的三大關鍵特分子全部相同，最簡單形式為都是1復雜形式可為都是a(a任意自然數)的，但是只要將 a 提取出來即可轉化為分子都是 1 的運算。分母上均為幾個自然數的乘積形式，并且滿足相鄰 2 個分母上的因數“首尾相接分母上幾個因數間的差是一個定值6666196971713號分析】：參C 6 97111 1 117

9、131 1 1 11 1 1 1 4111112n1 5 7 9 22221412D.無法【天1分析】：參A 32 52 72 92 1 313515717111112n1 5 7 9 22221412D.無法【天1分析】：參A 32 52 72 92 1 3135157172n112n 1 1 (2n2)2n246811 1 1 1 1 111 12 2n2n 11 12 411隨著n趨向于無窮大趨向于接近0，則結果就接近 4 雜算式，用字母表示后化簡為常見的一般形式11 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 5 66 516151412【天1分析】：參A111x

10、假設選項括號中公有的551xx 11x 11xx 11x 1661xx11x1xx1 6611x16 666數字特征應數字特征需要考生通過做題歸納總結，慢慢積累的，在奧數競賽中經常會有此類型的考查因此，在這個部結的考點做一些簡單梳數字特征應數字特征需要考生通過做題歸納總結，慢慢積累的，在奧數競賽中經常會有此類型的考查因此，在這個部結的考點做一些簡單梳0 最常見的數字，是一個占位符，算不得一個個位數，因此最小的個位數實則是 而非零。零乘以任何數都為零，反過來可以這樣認為零可以包含任意自然數做為因子。零不除數或者分母，否則無意義，同樣零也不能同時做指數和底數，即是沒有意義的。零是的自然數，這一點大

11、家務必要糾正過來，因為在早期教上的是認為零是不是自然數1 是最小的個位數也是最小的奇數，且 1 也是所有非零自然數的最小約數；1 既不是合 值的范圍就在01之間01在使用過程中的特點： “代入法”中采用率最高數過這些代入的特殊數值對結果進行簡單口算。而代入法通常所選擇的數值當中-201 x2014 y2014）A.-B可以先考慮令復雜的等式兩邊0，則可令x 1y 0 時就可以滿足要求，則x2014 y2014 12014 02014 150.已知xy1，則x3 3xy y3 根據已知條件 A可以假設 x1，y0 代入。這樣要求計算的表達式就為 51.abca b1 c2a2 b2 c2 A7此

12、題根據所表現的特點應該選擇特值代入法，如何選擇特殊值呢，看要能完整開又滿足表達式的?？闪钊齻€根號部分等于01，在這判斷用1準確a1，b2，b此題根據所表現的特點應該選擇特值代入法，如何選擇特殊值呢，看要能完整開又滿足表達式的。可令三個根號部分等于01，在這判斷用1準確a1，b2，b2 c2 12 22 32 14a2 是最小的質數，在質數2是一個特例，只有2一的偶數質數，2的次方也應用的側重點3 是質數，3 在公考過程中通整除特性。即能被3整除的數必須具備各個數字之例題52. 7同的質數，它們的和是58，其中最小的質數是多少號分析】：參D7 個質數的和為 58，通常質數都是奇數，偶數個奇數相加

13、結果為偶數，奇數個奇數相加為數。則個題目是7 個質數，按照常理質數。故而最小的質數即為 2.531300300然的多米諾骨牌排成一排，1 開始按照這樣的則：拿掉每排奇數位置上的多米諾骨牌，留下偶數位置上的。進行一次操作后，在從頭開始按照這樣的規則拿，直到剩下最后一張，請問最后一張是多D每輪都拿掉奇數位置上的骨牌，則剩下的骨每一輪都會除2，直到變成奇數被拿走那什么樣數字才能保留到最后呢？顯然是2因子最多數。最大將“堅持 545676生數量都是質數。后來由于學生人數減少，培訓中心只保留了 4 名鋼琴教師和 3 名拉丁舞教師但每名教師所帶的學生數量不變，那么目前培訓中下學員多少D假設每名鋼琴老師所帶

14、學生為x人，每名拉丁舞老師所帶學生為y人，則有表達式如下所示： 5x6y76xy5xx是一個偶數質2y 11。則4x 3y 4 2 311 41例題 某公司的 6 名員工一起去用餐，他們各了三種不同食品中的一種，且每只8他們中最多有幾人買了水C人數為a，他們中最多有幾人買了水C人數為a，3的倍數。選項中只有C5 是質數，也代表著一半的意思，這是因通常把整十整百看作是一個整體，而 10 數的自然數的特征就是必含 5 這個因子。含有 5 的因子個數與偶數因子搭配就決定了 0 的數量，542020里面只含有一個5，所以他10； 254100，25220例題56. 1234.698699700末尾只有

15、( )個零號分析】：參B這么簡單，事實需要注意的是有些5數所含5不止1個的7005 140 700 25 28700 125 5700 625 1，除法只取整數部分。這四因此最就是 140+28+5+1174 個蘋果，共用了十多個盒子剛好裝完。問兩種包裝盒相差多少）A.B.C.D.D假設大包裝盒有 a 個，小包裝盒有 b 個，那么可表達式：12a+5b=99，因為 99 是奇數9為2，7，根據題目條件，a+b10 個，因此，只有 a=2 滿足，b=15，為 15-9 是最大的個位數，很多數理性質跟9都有一些關聯性。下就來說說9點（1）能被 9 整除的數繼承了能被 3 整除的特征，判斷方法就是看

16、被為2，7，根據題目條件，a+b10 個，因此，只有 a=2 滿足，b=15，為 15-9 是最大的個位數，很多數理性質跟9都有一些關聯性。下就來說說9點（1）能被 9 整除的數繼承了能被 3 整除的特征，判斷方法就是看被除數各個位置上數值918231+8+2+314149149（2）任意一個兩位數 其和它自己的顛倒數差值均為9 27， 8118（81）963（3）9 做為個位數最大的因子 在乘積上往往會產生進位。如果不要求進位只有一種可9乘的數必須只能101如要一個兩位數9 之后還是兩位數，則這個兩位數的尾數只58. 一個四位數“”分別能被16、119除盡，且被這三個數除盡時所得1676，問

17、四位數“”中四個數字的和是多少（ A此四位數既然能被 9 整除，那么就說明這個四位數的各個位置上的數值之和也是 9 的倍數就應該選9的倍數18因一個正常普通家庭中的是和今年幾的差距除以4，知去的顛倒過來剛好就是今，則請D.6A.9B.8C.7C假今年a 歲。 那么和今的差值是 9n。 則9n+14a，那么們可以利用9n+14的倍數9n+1=8n+（n+1，這就要n+14的倍n的最小值為3，當n3時，a7，故而可是Cn7和生了兒子，有違正常家庭條件的描述60. 一個三位數的被除數除以9，商仍然還是一個三位數，且商與余數的和為118，被除數和余數之和是多少C商+余數118，商=118-余數。余數是

18、小于除數9即最大也只能是8，因此商最小是8110。又因為10009=111.1，所以商只能為110111如果商為 111，則余數為 118-111=7，則被除數=1119+71000，不是三位數不符合題目1101109+8998. 因此溫馨提示：常見數值整除判斷的方能被3 整除的數，是所有位置上數字之和能被3（二）質數與因式質數的本質要通過定義來看，一個自然數只能被 1 和自身整除，也就是說這個數只含有 （二）質數與因式質數的本質要通過定義來看，一個自然數只能被 1 和自身整除，也就是說這個數只含有 和自身這 2 個約數。因此在質數問題上，排除 1 和自身可以抓住它的相對不可分解性來揮。當然最

19、小的質數是 也在上面談到了應用。這里就來談談質數的相對不可分解性例題 四位數的四個位置上的數值乘積為質數，則滿足這樣條件的四位數有多少D假設這個四位數用abcd 表示，則有a b c d =質數，質數的特點就是不可分解性，因和質數本身。因此可知所含的四個數字2種數值中含有31和一個質1（2，3，5，7）16312四位數，主要取決于2的位置 2有四個位置可以選擇，即四種，同理四個質數即4416種例題62. 張大伯賣白菜，開始定價是每千克 5 角錢，一點都賣不出去，后來每千克降低幾分錢，全部白菜一共賣22.26元，則每千克降低了幾分錢A此題新的單價和數量都不清楚，唯一知曉的是總收入是 22.26

20、元可以抓住的就是 進行分解，從中了解關于數量和新的單價的信息。22.26237530.01的，且介于40-50之間，從因子組合關系上看，只能是237=42，即推斷出白菜每千克降價4的數，末尾兩位數能4整除，則這個數就4整除能被 5整除的數，尾數是 0 或者5的數；能被 9整除的能被 6 整除的數，同時滿足能被 2 和3 整除的數，就能被 6 7277除。數字大可以繼續按照同樣的方法繼續循環操作試驗。如：168，16820，07整除，所1687；392： 392235，3573927能被8整除的數，末尾三位數能8整除的數89的數，各個位置上數字之9的數，就能被9整除能被 11 整除的數奇數位置上

21、的數字之和與偶數位置上的數字之和差值是 11 的倍數即能倍 11197451+7+5139+4130，即說明 19745 能被 11 整除。周長、面積與體小學、初中所學各種平面幾何幾何均有相應的周長、面積與體小學、初中所學各種平面幾何幾何均有相應的關于周長、（表）面積和體積的計算議考生要把相關知識加以整合、綜合運用。通過變動圖形位置，或對圖形進行適當分割、拼補化，從而找到最佳解決問題的方法（一）線和1線段：線段有兩個端點，它是直線的一部分；長度有限；兩點的連線中，線段為最垂線,相交的點叫做垂足。從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的距2909090180的角叫做鈍角平角：角的兩邊

22、成一條直線，這時所組成的角叫做平角。平角 180。角：角的一邊旋轉一周，與另一邊重合是360（二）平面圖長方寬）；面積 S=長寬。正方特征：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形。4條對稱軸。計算公L=4邊長；面S=邊長邊長 。三角 面底邊積計算公式為。2個銳角各為 45）按邊分（不等邊三角形：三條邊長度不相等。等腰三角形：有兩條邊長度相等；兩個底等；有一條對稱軸。等邊三角形：三條邊長度都相等；三個內角都是 60 度；有三條對4、平行四邊4、平行四邊。 計5、梯特征：只有一組對邊平行的四邊形。中位線等于上下底和的一半。等腰梯形有一條對稱軸公式：面積 S=（底）高6、ord徑，所有的直徑都相等。同

23、一個圓里，直徑等于兩個半徑的長度，即d=r。圓的大小由半徑決圓的周長：圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。把圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。用字表示圓的面積：圓所占平面的大小叫做圓的面積計算公式：直徑 d=2r；周長 L=d=2r；面積 S=7、扇扇形的認識：一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形AB之間的部分叫做弧，讀作“弧 AB”。頂點在圓心的角叫做圓心角。在同一個圓中，扇形的大小與這計算公式：面積S=nr/360 （n為圓心角的度數4、環特征：由兩個半徑不相等的同心圓相減而成，有無數條對稱軸計算公式：環面積S=(R-（三圖1、長（有時有兩個相對的面是正方形12條棱相486計算公式

24、：表面積 S=2(長寬+長高+寬高)；體積 V=底面積（長寬）2、正特征：六個面都是正方形；六個面的面積相等；12棱，棱長都相等；有8點；正方S=6單個面面積=6v3、圓計算公式S3、圓計算公式S圓周長高；SS側+S底面積2； V=底面積4、圓錐的高。把圓錐的側面展開得到一個扇形底面積 計算公式：體積35、球認識：球的表面是一個曲面，這個曲面叫做球面。球和圓類似，也有一個球心，用O 表示。從球心到球面上任意一點的線段叫做球的r條半徑都相等。通過球心并且兩端都d=2r3計算公式：直徑 d=2r，球體表面積計算公式：S4r 6、正四面如圖下圖所示：正四面體是有四個面，且四個面是全等的等邊三角形。它

25、有 4 個面，6 條棱關于正四面體的相關公式：當正四面體的棱長為 a 時，一些數據如下6（1）高，中心把高分為1:3兩部分3（2）表面積： 3a2a（3）體積（四）平面幾何相關幾何知識中有一些總結的定理的應用中是非常重要的，因此需要考生了解熟悉這些理并做到靈活應用。下面介紹的就是相關的一些幾何定理知1.2. 全等三角形的對應邊、對應角相邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個2. 全等三角形的對應邊、對應角相邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全邊邊邊公理：有三邊對應相等的兩個三角形全斜邊、直角邊公理：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形 多邊形內角和定理：N 邊形的內

26、角的和等于(N-2)180；任意多邊的外角和都等于 360（。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一相似三角形判定定理：三角相等或三邊對應比例相等； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角相似(SAS)性質定理 相似三角形面積的比等于相似比的平8. 圓是以圓心為對稱中心的中心對稱定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相推論：以直徑為一條邊，和圓上任意一的三角形是直角三角例題 一個正八面體的邊長增加了 20%，則這個正八面體的表面積將增加多少C正圖形的表面積之比與邊長的平方成正比，體積與邊長的立方成正比。因此這個正八表面積變化前后之比為12 1 20%2 1:1.44，因此表

27、面積增加4464. 在一只底面半徑是20cm柱形小桶里，有一半徑為10cm柱形鋼材浸沒水中，當鋼材從桶中取出后，桶里的水下降3cm。求這段鋼材的長度C水位下降的 3cm 的水產生的體積即鋼材體積，因此根據底部面積之比=半徑平方之比得出小桶底部面積：鋼材底部面積20102 41,在體積相等的情況下，高度成反比即1：4，因34=12cm。如下圖ABCDE/ BC ，BOCO分別是ABC和ACB的角平線。已知 AB=25.4cm，BC=24.5cm，AC=20cm。則ADE 的周長是A.45.4B.45.1C.44.8D.44.5ABO 是ABC的角平分A.45.4B.45.1C.44.8D.44.

28、5ABO 是ABC的角平分線，則DBO OBC ，又DE/BC，得OBC BOD ，因此因此的周長=AD+AE+DE=AD+AE+(OD+OE)=(AD+BD)+(AE+CE)=AB+AC=25.4+20=45.4cm例題66.正八面體的體積為多少立方厘米?（A.B. C.D.22C1高S 這個切面=正八面體可以分割成上下2個相同的椎體，椎體的體積計算公式底底313186為差異性101棵樹，那么來的就是有 2001020 個間隔，但是，也就差異性101棵樹，那么來的就是有 2001020 個間隔，但是，也就21 個端點，也就是相當于栽樹21棵。而環形植樹，則有一個首尾端點重環形植樹比直線植樹少

29、了一個端點。那么其端點數目與間隔數目相間隔問題是用題中的典型問題。主要有兩種基本類型：無封閉問題和有封閉問題。有以下幾種重若題目中要求考慮兩端，那么端點數比段數多 1若題目中要求只考慮一端，那么段點數與段數相等若題目中要求兩端都不考慮，那么端點數=段數-1間隔問題的 2 大形式：環形間隔與線性間隔線性間線性排67. 兩棵柳165米，中間原本沒有任何樹，現在這兩棵樹中間等32樹1樹到第20樹間的距D前都不B例題 一塊三角地帶，在每個邊上植樹，三個邊分別長 156m、146m、234m，樹與樹之距離為 6m，三個角上必須栽一棵樹，共需多少樹A.93B.95C.96D.99間隔問C本題考查的是在封閉

30、的路線上植樹問題。環形封閉植樹問題其植樹的數目是跟著端點走的而端點跟間隔數目相等。C本題考查的是在封閉的路線上植樹問題。環形封閉植樹問題其植樹的數目是跟著端點走的而端點跟間隔數目相等。因此，棵數路線周長株距。即(156146234)696 棵69. 在一條公路的兩遍植樹，每隔3米種一棵樹，從公路的東頭種到西苗，如果改為每隔 2.5 米種一棵，還缺樹苗 115 棵，則這條公路長多少米5C3米和2.5米這兩種間距標準的公倍數是15，即15米按3比按2.5的少 1 棵，總共是少了 115+5120 棵(因為兩種植樹形式的對比，所以差值是不考慮+1 或-1 的70. 人上樓，邊走邊數臺階。從一樓走到四

31、樓，共走了54級臺階。如果每層樓之的臺階數相同，他一直要走到八樓，問他從一樓到八樓一共要走多少級臺階）從一樓走到四樓一共走了 A個間隔，所以每層樓之間的臺階數為 543=18 級，現在要走到樓則需要走8-1=7個間隔，因為187=126級 A.30B.33C.36D.39C大鐘6時敲6 下，用時15 秒，65 個間隔，每個間隔時長為155=3 秒，則敲1211113=3372. 在一條公路的兩遍植樹，每隔3米種一棵樹，從公路的東頭種到西苗，如果改為每隔 2.5 米種一棵，還缺樹苗 115 棵，則這條公路長多少米5C3米和2.5米這兩種間距標準的公倍數是15，即15米按3比按2.5的少 1 棵，

32、總共是少了 115+5120 棵(因為兩種植樹形式的對比，所以差值是不考慮+1 或-1 的差數列與等比數這部分內容比較繁多主要圍繞近幾年?？嫉膸追N類型做相關專題分析。在分析專題變的應用（一）等差數列續兩個項之間差值恒差數列與等比數這部分內容比較繁多主要圍繞近幾年?？嫉膸追N類型做相關專題分析。在分析專題變的應用（一）等差數列續兩個項之間差值恒定的一組序列。通常描述一個等差數列有四個變首項、末項、公差、項數。假設一個等差數列為an = a1 a2 a3 , an ，公差為d，平數為 A，他們之間關系為d an an1 xd an anx anx an am am.an a1 (n1)d ay (x

33、 y) a1 .A ；2(a1 an n An.S S4n2.當項數 n 為奇數的時候，平均數 A=中間項，也就是說數列和=中間項另外，等差數列中連續自然數然數序列或者等差序列來求解極限問題當中應用也相當廣泛。通常稍微難一點的題目會利下面就來下關于等差數列的具體應用73.ana3 a7 a10 和是多少a11a4 413C題干中給出的關于等差數列的 2 組關系，在上述總結時就提到了等差數列的差值相對性，a3a10 a4 a11 4下標數值來看，1141012 ，利用等差數列求和公式=中項項數=1312156A7要）一部30集電視連續劇，如果要求每天安的集數互不相等，B8C9D10A要天數最多，

34、則就必須要求每盡可能的少，那么就從 1 開始，且各不相同， A要天數最多，則就必須要求每盡可能的少，那么就從 1 開始，且各不相同， 2例題某成衣廠對9名縫紉工進行技術評比，9名工人的得分一給好成等差數列，9人的均得分是86分，前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少）A.B.C.D.B利用等差數列中項快速解決。9項數據a5 =平均數=86分，前5名工人的得分中a =4605=92分，前7名工人的中項a 剛好也是a 和a 的中項，因此 a3 a5 89，3442前7 名工人得分總和=中項項數=897=623 分序給學第256 名同學是多少AK11個班級DA班級15人，K班

35、的人數15（11-1）125 人數是 (15+25)112=220，則看L班是25-2=23人。排完L班級輪到M級下256-220-23=13人，M13（二）關于等差就有等比數列，通常等比數列在當中沒有等差數列來的復雜。們只需了解且會應用等比數列的幾個固定公式即 間的關系如1 an a1 2 Sn a1q例題 先分多次用等量清水去沖洗一件衣服，每次均可沖洗掉上次所殘留污垢的四三，則至少需要多少次才可使得最終殘留的污垢不超過初始污垢等的，因此對于N的判斷估算，可以利用等差數列和的2倍開方。 如上述題中N的估算就可以是： B311，14411% ；即當n4時即小于1%478. 一個細胞1小3 個，

36、9 個小時可以把一個容器裝滿。請問要的細胞裝到容器的九分之一，需B311，14411% ；即當n4時即小于1%478. 一個細胞1小3 個，9 個小時可以把一個容器裝滿。請問要的細胞裝到容器的九分之一，需要多少小時A5小B6 小C7D8 小，一個細胞每小3下來的做在下一個小時繼續也參,故而的等比數列， 起始項為1，末項為139 ，也就是整個容器的容量題就是一個關于公比為 1則容器容量的幾分之一為 39 3779（三） 連續自然數的極限值探關于連續自然數這樣一種最簡單的等差數列形式，在型。具體的應用特性通過一組試題來介中是非常常見的一種79. 現有21朵鮮花分給5人，若每個人分得的鮮花數各不相同

37、，則分得鮮花最多的至少分得（ ）A要問最多的人至少分得多少花，則就是說我要讓其他人在滿足條件的情況下盡可能分得多但因為條件必須要求各不相這了連續自然數。215=41，因此這樣一2，3，4，5，6 ，有1，這個余數要分給某一個人必須保證相加之后的結果不會出現重復因此余數只能分給最大值。即 7了注：不管最后余數是多少。如果要求最大值至少是多少。其數列最大值只增1。原因是余數可以平均分配。將前 n 個人分別增加 1。如：2，3，4，5，6 這續自然數，現在3，780. 五人的體重之和是423斤，他們的體重都是整數，并且各不相同。則體重最輕人，最重可能重（ A80 B82C84 D86B此題和上面一題

38、基本相似，只不過這里問的是最輕的人最重是多少。相當于問最小值最大少。那同樣也就是盡量給其他人分配少一點，這樣剩余就最多。因此所有的其他數值均向小值靠攏。連續自然數。4235=843，因此該自然數序列為 82，83，84，85，86.對在上面分析中已經強調過只能給最大值分配，而對最小值是無影響的，所以注：不管最后余數是多少。如果要求最少值最多是多少，其余數可以注：不管最后余數是多少。如果要求最少值最多是多少，其余數可以不管81100個人參加7個活動，每人只能參加一個活動，并且每個活動的參加人數都樣，那么參加人數第四多的活動最多有多A例題 106，提問基本相同，通常只有當最小值才會問最大是多少，最

39、大值會問最少是多少第四多活動置于一個最小值情境下（如前四名的時候。后面 3 名盡可能少就為 1， 人，前四名之和為 10012394 人。這樣基到這里 差不多看出一些特點了。這類問題通常結合了項的值必須是整數且均不相同的 要求，另2提問方式：最小值最多是多少，最大值最小是多少。 要能夠就具體題分析公約數與公倍數的應數。這些公倍數中最小的那個稱為這些正整數的最小公倍數。如 10 和 知道同時滿足這 2,其中 公約數公約數與公倍數的應數。這些公倍數中最小的那個稱為這些正整數的最小公倍數。如 10 和 知道同時滿足這 2,其中 公約數與公倍數相反，就是既是A數同時也是B的約數的數，1215的公約數有

40、1、 3，最大公約數就是 3。再舉個例子，30 和 40，它們的公約數有 1，2，5，10，最大公約數是10假設某一個數通過因式分解如下列表達式x a2 因子、b 3 因子、c 5 因子，這些因子進行的各種乘積組合即為這個數的約數，組合有多少種，其約數就有多少個。因此關于2 因子可以有a+1 種取法（0 個，1 個，2 個.a 個），3b+15c+1a 1b 1c 1，如72 23 32 ，約數的個數就是(3+1)(2+1)=12個9就是2+1 ，或者64 26 ，其約數個6+1=7。這就說明平方數的約數都是奇數個，而非方數的約數個數都是偶數個。換個思考方式也能幫理解。Mab，ab均是M數18

41、2. A、B恰含有質因數35，它們的最大公約數是75，已知A數有12個 A75=352AB只含35，B數為101025, 則可以反推出質因子的指數分別是14， 現在同部分要求3只能1個，5要有2B 3154 1875。同理，A的約數個4=26，所以對應的質因子指數分別是（2，3）或（1，5，結B的情況，很顯然A所包5因子數量為2個，因此A=3352 675，求和就是255083. 360630然數中有奇數個約數的數有（）個D此題根據上述總結可知只有平方數含奇數個約數，就是要觀察360630. 因此是 84. 一間教室，共有100 盞燈。有一個人，先將這一百盞滅著的燈貼上序號此題根據上述總結可知

42、只有平方數含奇數個約數，就是要觀察360630. 因此是 84. 一間教室，共有100 盞燈。有一個人，先將這一百盞滅著的燈貼上序號1 貼100，第一輪，他按下所有貼有1 的倍數序號燈的開關，第二輪，他又按下了所有貼有2 的倍此題從提問來看，要知B下多少盞燈亮著，就需要知道這盞燈被開關了幾次。最初是著的，如果要最終亮著，則只要是經過奇數次開關就會亮著。而題目要求是只有其自身的約數能碰它（燈因此也就是說看燈為平方數的才是奇數個約數。即只要為平方數都會被碰了奇數次 即最終都亮著，1100的平方數的重要方向，除了基本的數理關系（類似于剩余定理以外有助同時也代公倍數看作一個整體，可化解“1”的作“1”

43、這種容易出現分數不利于計算的尷尬85.97，52，43A5B6C7D4A此類題目通常少個 180 的倍數即可。m=5b+2=5(b-1)+7,m=4(c-1)+7, 這樣就可以看出這個86. 甲、乙、丙、丁四個人館借書，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一四個人館相遇是幾月幾號A.1014B.1018C.1114D.1118C注意題目表述特點：每“隔”多少天。那么也就是說周期為“隔”的天數+1，比如每隔天去1616118，和3061218和301830天1611含7810。1118日小。故而C87. 用長20厘米12厘米4厘米的長方體，堆成一個正方體，至少需要多塊這樣的長方體C公倍數為 60，故

44、而棱長為 60。因此所需長方體數量為（606060）（20124）=225 塊平均數問求平均產量、平均速度、平均成績等這一系列問題，日常生活中經常會遇。平均數問求平均產量、平均速度、平均成績等這一系列問題，日常生活中經常會遇。總數量和總份數=平均平均數總份數=總數量總數量和平均數=總份平均數AB 兩數的和是41，BC 兩數的和是56，AC 兩數的和是47，求A、B、C B此題的ABC56=B+C，47=A+C，這三個數的總和=2（A+B+C）=41+56+47=144，因此 A、B、C 三個數的總量1442=72，因此平均值為 甲乙丙三人共同進貨回來，在平均分配的時候，甲比丙多了 3 噸，丙比

45、乙少了 A.4000B.8000C.16000D.12000D如果把甲乙比丙多出來的部分都放到一邊，那么甲乙丙三人的量就想等了，多出來的部分共3+3=6噸，則6噸要平分，每人2噸，實際上甲乙相對只是比平均數多1噸，因此們支付的費用是多出來的1噸的費用，故就是 12000 90. 一個人上山每小時行4下山原路返回每小時6千米，求他上下山的平均度A.4千米/小C.4.8千米/小B.4.5千米/小D.5千米/小D根據總路程總時間=平均速度，得為 122（3+2）=4.8 千米/小時簡單行程問簡單行程問題（雙車、雙人相對運動狀態）和行船問題解決行程問題，首要條件需要掌握數量之間的等量關系。行程問題的相

46、關數量關系表達式是（1）基本公路程時間=速度路程速度=時間路程速度時間（2）相遇問追及問（流水問逆水速度船速水行程問題解題思路（1） 學會用線段圖進行輔助分析，使得抽象的條件和問題能夠形象地展示利用題目中涉及的等量關系，準確合理地應用方程的有關知識，靈活解答相關題運用相對概念理解行程問題中在后一個量不變的情況下，其他量之間的相對關系，簡稱例關系早上從家步行去公司上班，如果每分鐘行 80 米，步行100米，就早到公A.4000C.9206分鐘家離公司有多遠B.4800D.3600A方法一: 利用解方程解題。假設標準時間為 T 分鐘，以路程建立等式關系。80(T+4)=100(T-6)，解出 T=

47、46 分鐘S=80（46+4）=4000 米方法二：利用對比關系解大家都建立在標準時間下，則 80 米的速度還差 804=320 米，100 米的速度多走了 故6=600 米，因此假設標準時間為 T 分鐘，以路程建立等式關系。80(T+4)=100(T-6)，解出 T=46 分鐘S=80（46+4）=4000 米方法二：利用對比關系解大家都建立在標準時間下，則 80 米的速度還差 804=320 米，100 米的速度多走了 故6=600 米，因此兩者在相同的時間下后者比前者多走了 320+600=920 米。因此根據路程差=速度差時間，則標準時間=920（100-80）=46 分鐘，路程長度=

48、80（46+4）=4000 米。方法三：比例法解題（前者所需時間）T1（后者所需時間）T2100：805：4。時間相差5-=146=080510=50分鐘，則路程=8050=4000 米91. 火車通過秒。火車的長度是多少米A這類題目需要注意的是火車行使的路程的特殊性，火車通過隧道是指從火車頭進入隧道到尾巴離開隧道，這段時間火車行使的路程長度=隧道長度+火車自身長度方法一：假設火車原始速度V，以時間關系建立表達式20V-560=301.2V-1200，解出 V=40 米/秒，因此火車長度=2040-560=240 米方法二：假設火車長度L，以速度關系建立表達式560L1.21200L，解L=2

49、40 米快速計算：只有 L 滿足 3 的倍數等號右側表達式才能被 30 除盡，選項中只有 B 選項滿足例題 小公共汽車去某地，當行至一半路程時，他把座位讓給一位老人后一直站離終點還有 3 千米時，他又坐下。在這次乘車過程中，他站的路程是坐的路程的三分之一，則A.8千B.12千C.9千D.14千B小的路程：小 坐著的路程全程可以看作1+3=4 份，小 坐著的路程占全311半部分坐了3千米的路程占全程的 的 ，其中前半部分坐了全程的 442乙車單獨清掃需要 9 小時，兩車同時從東、西城相向開出，相遇時甲車比乙車多清掃 15 千米。A.60千B.75千C.90千D.135 千方法一B甲車單獨清掃需要

50、6小時，乙車單獨清掃需要9時，根據這個條件可知：如果同時從兩完成清掃則需要1甲車單獨清掃需要6小時，乙車單獨清掃需要9時，根據這個條件可知：如果同時從兩完成清掃則需要1 1 1 3.6 小時。根據速度差相遇時間=路程差出9SS3.615S=759方法二根據“甲車單獨清掃需要6小時，乙車單獨清掃需要9小時”，這是建立在相同路程下，間之比與速度成反比，因此V甲 V乙=9：6=3：2“兩車同時從東、西城相向開出，相遇時甲車比乙車多清掃 15 千米”，這是建立在相同下，路程之比與速度成正比，因此路程比=3：2，差 3-2=1 個比例點對應絕對值 15 千米，故而3+2=5515=75例題94. 如圖,

51、在長方形的跑道上，甲乙兩人分別從AC處同時出發，均按順時針方沿跑道勻速奔跑，已知甲的速度為5秒，且甲第一次追上乙時，甲恰好跑了 5圈回A 處，A.B.C.D.B甲乙之間的關系是追及行程問題，追及距離=AB+BC=20+12=32 米，根據追及問題是建立在相同的時間下兩個人之間的距離差值比較。甲的路程為 5（20+12）2=320 米，所用時間為 320不用絕對數值考慮，把長+寬看作一，那么甲走了5就5周長10，乙的路程比甲剛好少一，即 9 個。因此，根據相同時間下，速度之比=路程之比，VV=10：9， 因為V=5米/秒，即可求解出V=4.595. 甲、乙、丙三人跑步比賽，從跑道起點出發，跑了2

52、0分鐘，甲超過乙一圈，又了 10 分鐘，甲超過丙一圈，問再過多長時間，丙超過乙一A.30B.40C.50D.60A這道題目是三者的追及問題，由于題目沒有周長，沒有速度，只有追及時間的信息，因此們可以進行充分的假設。假設跑道周長米（1）V -V 30015；（2這道題目是三者的追及問題，由于題目沒有周長，沒有速度，只有追及時間的信息，因此們可以進行充分的假設。假設跑道周長米（1）V -V 30015；（2） -20要求丙超過乙的時間（追及問題），追及時間T ，而（2）V - （1）-V -=15-10=5，因此丙從開始出發到第一次超過乙所需時間60 分鐘，也就是V丙-V還需再過60-20-10=

53、30鐘96.小船順流而下航行36公里到達目的地。已知小船返回時多用了1小時30船在靜水中速度為 10 公里/時，問水流速度是多D用最基本的解方程。根據時間建立表達式，假設水流速度a 公里/小時。即有表達式1.5 ，進而用代入方式進行檢驗選項，只有 選項使表達式成立101097.一只裝有動力槳的船，其單靠人工劃船順流而下的速度是水3倍?，F該船靠人工開足動力漿行駛的速度是人工劃船速度的多少B此題沒有絕對值數據，只有相對關系數據，因可以假設水速1，V水流 31 3，V人工 2；路程相同情況下，順流速度與逆水速度之比是各自所V間的反比。因此可以得出V =逆水行使所需時間：順水行使所需5，代入數據可解出

54、V動力漿 6 ，因此得為V動力漿:V人工 6231B統籌學是一門數學學科，但它在許多的領域都在使用，在生活中有很多事情要去做時，科統籌學是一門數學學科，但它在許多的領域都在使用，在生活中有很多事情要去做時，科學數學、用數學最好的思維鍛煉題掌握的。這些來源于生活實，正是啟由于統籌原理與優化題目比較貼近于生活實際，并不像其他數學題目那樣有比較明確的式、定律可遵循。本段內容將通過大量題目來展學習（一）合理安排時例題 烙餅需要烙它的正，如果烙熟一塊餅的正，各用去 3 分鐘，那么一次可容下2塊餅的鍋來烙21塊餅，至少需要多少分鐘A.B.C.D.B先將兩塊餅同時放人鍋內一起烙，3 分鐘后兩塊餅都熟了一面，

55、這時取出一塊，第二塊翻個身，再放人第三塊，又烙了 3 分鐘，第二塊已烙熟取出，第三塊翻個身，再將第一塊放入烙另面，再烙3內的兩塊餅均已烙熟這樣烙3塊餅，用9分鐘21塊餅，至少2139 63(分鐘)。99.時間分別為 12，17，8，18，23，30，14 分鐘每輛電車每停開一分鐘經濟損失為 11 元現在由 3 名工人效率相等的維修電車，各自獨立工作。要使經濟損失減少到最小程度，最少損失多少錢C找到了這個題目的關鍵“時間消耗最即181111991工人及維修維修車輛所需時等待時總時合計時統籌優化原 秒，E需要125只有一只燈，而橋一次最多能過2個人，請問五個人全部過橋至 秒，E需要125只有一只燈

56、，而橋一次最多能過2個人，請問五個人全部過橋至B222題。因為時間取決于最慢的人，因此安排原則就是把最慢的 2 個人放在一塊兒。還有關于燈的題送燈，那就只能是速度快的人送燈了。 相關條件都準備好了。那來分例題 下圖是一張道路示意圖，每的數字表走這段路所需要的時間：分從 A到 B最快要幾分鐘B采用分段分析法，將道路圖逐步簡（1）O用時為 17 分鐘因此綜合比較ACODB 走最快，用 16分鐘（二）合理安排地例題102. 在街道上有、F六棟居民樓，現在設立一站，要想使居到達車站的距離之和最短，車站應該設在何處AABBEFCCDDDE未過橋對已過橋對過橋對象/送燈對耗總時A、B、C、D、無A、3+1=44C、D、BD、12+3=1519C/A、D、A、6+1=726A、C、D、A、329C找最中間的那棟樓，可這時最中間的樓有兩個，這該怎么辦呢？其實經過研究發現，建