1、積分變換的應(yīng) 積分變換. Laplace Laplace Laplace 變換常用于求解含時(shí)間的偏微分方程定解問(wèn)題. t 無(wú)關(guān)的偏微分方程, 變換后微分變量的個(gè)數(shù)比原來(lái)減少一. 一般說(shuō)來(lái), 后者比較容易求解. 當(dāng)然, 這樣求得的是定解的像函數(shù), 還必須反演, 才能得到le 用 Laplace 變換法2= 0 x u= = u=Esin= 積分變換的應(yīng) 積分變換. Laplace Laplace Laplace 變換常用于求解含時(shí)間的偏微分方程定解問(wèn)題. t 無(wú)關(guān)的偏微分方程, 變換后微分變量的個(gè)數(shù)比原來(lái)減少一. 一般說(shuō)來(lái), 后者比較容易求解. 當(dāng)然, 這樣求得的是定解的像函數(shù), 還必須反演,

2、才能得到le 用 Laplace 變換法2= 0 x u= = u=Esin= 1. Laplace Lu(x,t)=U(x,于2L=p U(x,d2U(x,L=這里(3) 時(shí), 已經(jīng)利用了初始條件. 2a2d U(x,2p U(x,p)=U(x,= = p2+). U(x,p)=C1+C2 a由邊C2C =1p(p2+2)cosha所p(p2 +U(x,p)a2. 1Laplace Z1eau(x,t)p(p2+2) cosh a被積函數(shù)有可數(shù)個(gè)l1k(k= 1,2,3,仍Xju(x,t)p(p2 +ap =, Ea sinEasin eit aa u(x,t)=0aaLaplace Z1e

3、au(x,t)p(p2+2) cosh a被積函數(shù)有可數(shù)個(gè)l1k(k= 1,2,3,仍Xju(x,t)p(p2 +ap =, Ea sinEasin eit aa u(x,t)=0aaaa + i )kai eki kk)Ea u(x,t) = a sina2Ea2 ak+l k以上例題取自教科書(shū)的例題14.4, 具有非齊次的邊界條件. 可以采用分離變量法求解齊次化. Laplace 變換法, 無(wú)需先將邊界條件齊次化; 也不像分離變量法那樣由初始條件定系數(shù), 因?yàn)槌跏紬l件已通過(guò) Laplace 變換進(jìn)入 U(x, p) 的方程.le 桿的熱傳u xx u2= Solution , 實(shí)際上的抽象

4、: f(xt) t x (通過(guò)化學(xué)反應(yīng), 電流, 等等). 物理上, 響只應(yīng)發(fā)生在有限的空間內(nèi), f(xt) f(,t) = 2, . , u Laplace變換. Lu(x,t)=U(x,Lf(x,t)=F(x,定解pU(x,p) 邊界U(,p) = . rrpx) +C2exp( pkk非齊次方程的解則設(shè)為rrppU(x,p)=C1(x)kx)+C2(x), . , u Laplace變換. Lu(x,t)=U(x,Lf(x,t)=F(x,定解pU(x,p) 邊界U(,p) = . rrpx) +C2exp( pkk非齊次方程的解則設(shè)為rrppU(x,p)=C1(x)kx)+C2(x)k并

5、rrppx) = 0)+C x)12kk則rrpp dx) + C2(x)rrpexp( pC10)+C x2kkrprpkx) + C2(x)p代入非齊次方程, 并注意到exp( x) 為相應(yīng)齊次方程的解, krp C0krp + C0 x) = F(x,2k(18聯(lián)立求解rp1C0(x)=r1k2 1pC0(x)2k2 3所rpZ xC1(x) = x0)dx2 krZ xx0)dxC2(x)2 (16), rpZ12 prxp1C2(x) x0)dx2 k最后rpZ1U(x,p)所rpZ xC1(x) = x0)dx2 krZ xx0)dxC2(x)2 (16), rpZ12 prxp1

6、C2(x) x0)dx2 k最后rpZ1U(x,p)k(x x0)dx2 pZrxp (x0 x)dx+k2 p rpZ = |x 2 kLaplace pt再由卷積定理ZZ0t f(x0,4(tt =20le Laplace 弦的2 x= u x= = Solution Laplace Lu(x,t)=U(x, 2d2U(x,2p U(x,p)p(x) (x)= 4邊界U(,p)=方程為非齊次方程仍用常數(shù)變易法U(x,p) = C1(x)exp(px) + C2(x) exp(aa并pp x)=C 0(x)exp( x)+0 x()12aapp 0exp( )+x(12a= p(x)+于p

7、邊界U(,p)=方程為非齊次方程仍用常數(shù)變易法U(x,p) = C1(x)exp(px) + C2(x) exp(aa并pp x)=C 0(x)exp( x)+0 x()12aapp 0exp( )+x(12a= p(x)+于p 0) = x) exp( C xx)()1ap )(x)0Cx)2得ZxpC1(x) = 0axp ax x00()Zxp 1 C2(x)(x0)exp( x0)dxa Zxp +再考慮到邊界條件Zpp (x)exp(ax 0+ Zp(x0 )exp( apC2(x)2a x +5所Zp(x0 )exp (xU(x,p)ap (x0)exp (x+ (x0)exp (

8、x0 x)dx+apx+(x0)exp (x0 x所Zp(x0 )exp (xU(x,p)ap (x0)exp (x+ (x0)exp (x0 x)dx+apx+(x0)exp (x0 x)dxa Zp1(x0)+ (x0) exp |x =pa再進(jìn)1pL= 利用p|x x0a1pexpa|xx0=(t)于Z(x0)exp |x 1LpZ|xx0| (t)(x0)dx= =另外, Lf0(t)=pF(p)f得Z t L2Z1pp(x0)exp |x a最后Zu(x,t)= 1(x+at)+(xat)+ (x0)dx Fourier 變Fourier 變換可對(duì)空間變量進(jìn)行變換6對(duì)于一區(qū)間(,)

9、上的函數(shù)f(x), 如果在任意有限區(qū)間上只有有限個(gè)極大極小和有限個(gè)第一|f(x)|dx收斂, 則函數(shù)f(x) 的Fourier 變換存在ZFf(x)F(k)= 對(duì)于一區(qū)間(,) 上的函數(shù)f(x), 如果在任意有限區(qū)間上只有有限個(gè)極大極小和有限個(gè)第一|f(x)|dx收斂, 則函數(shù)f(x) 的Fourier 變換存在ZFf(x)F(k)= (反演) ZF1F(k)f(x)= Fourier 變換和逆變換的形式與高等數(shù)學(xué)中的形式略有不同, 上述形式更加對(duì)稱, 常在物理學(xué)中采用.下面列出 Fourier 變換的性質(zhì):1. 有界性 F(k) () lim F(k)=c1, c2 為常數(shù), 2. 線性性質(zhì)

10、Fc1f(x)+c2g(x)=c1F(k)+3. 延遲性質(zhì)F f(xx0) =eikx0F4. 頻移性質(zhì)F eik0 xf=F(k+Zf(n(xdx收斂, 若5. 微商性質(zhì)nof(n)(x) =(ik)nFF6. 積分性質(zhì)Zf(x0= 1 FF7. 卷積定理Z f(x0 g(x = FL)Fourier 19.2 le Fourier 桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題= f(x, x x 2ut=0 = u(xt) Fourier ZU(k,t)= 7并ZF(k,t)= Fourier 變換后, +k2U(k,t) =F(k,t=0= 用常數(shù)變易法求解這個(gè)一階常微分方程的初值問(wèn)題就得ZtU(k,t)=2k 0首

11、先Z2 ek teikxZ#t 2 k并ZF(k,t)= Fourier 變換后, +k2U(k,t) =F(k,t=0= 用常數(shù)變易法求解這個(gè)一階常微分方程的初值問(wèn)題就得ZtU(k,t)=2k 0首先Z2 ek teikxZ#t 2 kexp Z = k2t 1=Fourier 變換的卷積公式, )d tZZ(x p4(t2(t=0Z Z(x t= 4(t2 0Laplace 變換得到的解的形式完全一樣le Fourier 變2 x= u x= = u(xt) Fourier Z U(k,t) = 并Z (k,t) = (x,t)eikx (x,8Fourier 變換后, 2 +a k U(

12、k,t)=U(k,= = 這是一個(gè)二階齊次常微分方程的初值問(wèn)題解之即U(k,t)= (k)coskat+(k)sin Fourier 變換的反演公式, Zsinkat Fourier 變換后, 2 +a k U(k,t)=U(k,= = 這是一個(gè)二階齊次常微分方程的初值問(wèn)題解之即U(k,t)= (k)coskat+(k)sin Fourier 變換的反演公式, Zsinkat u(x,t)=(k)coskat+ 2 eikx 注意Z ih(k) 1 =2+1= (x+at)+(x2Zsinkat 2 ZZt = coskad Z 0Z (k)coskaeikxdk =0Zt= 2=最后得到的解

13、式與上節(jié)結(jié)果完u(x,t) = 1 (x+at)+(x2 + ZF-L 混和變換 區(qū)間x-t兩變量的定解問(wèn)題, 若施行兩次變換x Fourier t Laplace 變換, 往往更為簡(jiǎn)便;例 19.2 為例. 以9le F-L= f(x, x x 2ut=0 = 1. Fourier Laplace Fu(x,t)=UF(k,L le F-L= f(x, x x 2ut=0 = 1. Fourier Laplace Fu(x,t)=UF(k,L UF(k,t) =UFL(k,L FF(k,t) = FFL(k,Fourier 變換后, + k2UF(k,t)= FF(k,t=0= 于是, La

14、place 變換后, pUFL(k,p)+k2UFL(k,p)= FFL(k,其解UFL(k,p) = FFL(k,p)p+Laplace Fourier L1UFL(k,p)= UF(k,L1FFL(k,p) = FF(k,= Lp + Laplace 變換的卷積定理, Zt(k,)ek2(tU (k,t)FFF0因Z2 teikxdk=exp Fourier 變換的卷積公式, tZZp=2(t 0(x d 4(tZZt= 2 (x t4(t解的形式仍然不變關(guān)于可以把積分寫(xiě)ZbF(k)aK(kx) 是積分變換的核Laplace變換:關(guān)于可以把積分寫(xiě)ZbF(k)aK(kx) 是積分變換的核La

15、place變換:K(kxekx Fourier變換: K(kxeikx正弦變換: K(kxsinkx余弦變換: K(kx) = cosel 變換: K(kxHMellin 變換: K(kx例如, 對(duì)于偏微分方程應(yīng)當(dāng)選用一種適合的積分變換L1(x)+L2(y)u(x,y)=f(x,L1(x2y) x y的微分算符. L1(x) x 的實(shí)函數(shù), u(x, ZbK(k,x)u(x,y)dx=U(k,a之下，方程變?yōu)閆ZbbK(k,x)f(x,y)dx K(k,x) L1(x)u(x,y) aaZb+ 2K(k,x)u(x,a分部積分后Z M1(x)K(k,x) u(x,y)dx+2y(k,y)= F

16、(k,aM1(x) L1(x) 的伴算符. 為了保證方程(76)U(ky) 的微分方程, M1(x)K(k,x) = K(k,即 M1(x)K(kx) 仍然回到 K(kx 這就限定了所能選擇的變換核 K(kx 例如, 在柱坐標(biāo)系中求, el變換el Z 0Z u(r)0反演el 變換與 Fourier Fourier Z fF(p)2 F變換到極坐標(biāo)系Z f(r,)eiprel 變換與 Fourier Fourier Z fF(p)2 F變換到極坐標(biāo)系Z f(r,)eipr00Z F(p,)e+ipr)ddf(r,)00Fourier f(r,)其Z fn(r)2 F(p,)endFn(p)

17、0而eipr cos() 得Zn0和Zfn(r) = 0el 變換的例子le 19.7 (應(yīng)用積分變換求解帶電導(dǎo)體圓盤(pán)的靜電勢(shì) 1 r += 0 r u r=0有界ur 設(shè)f(x)= x(a2x2)(ael變換J(kx) Zax2)JF(k)0k2設(shè)f(x)= x(a2x2)(ael變換J(kx) Zax2)JF(k)0k2=m!(+m+Za2+2m+1 2 (a x ) x0B函數(shù)計(jì)算, k2F(k)2m!(+m+2+1k1 + 求反演! Z0f(x)F(k)JZ=2a+1(+J(xk)J+1kk01xbkt, Zt1+J0b(a2 2(a=21 Solution el 變換, Z u(r,

18、0容易證明, 在邊界條件(78b)之下Z 1 J0(pr)rdr=pU(p,rr0所以, 方程(78a)和邊界條件(78b)d2U(p, 2p U(p,z)= 同樣, 邊界條件(78e) 解之U(p,z)z是, z = 0 上的邊界條件(78c)和(78d)el 變換, 的是0 r a 時(shí)的, 式的Zu(r,z)pz00A(p). 為此, 將上式代入邊界條件(78c)和(78d), Z解之U(p,z)z是, z = 0 上的邊界條件(78c)和(78d)el 變換, 的是0 r a 時(shí)的, 式的Zu(r,z)pz00A(p). 為此, 將上式代入邊界條件(78c)和(78d), Z Z0A(p)J (pr)2 dp=r 00函數(shù)的