1、測(cè)量誤差基本知識(shí)第1頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)25分，星期四 7.1 測(cè)量誤差的來(lái)源及其分類 1.測(cè)量誤差的來(lái)源 （1）使用的測(cè)量?jī)x器構(gòu)造不十分完善。 （2）觀測(cè)者感覺(jué)器官的鑒別能力有一定的局限性，所以在儀器的安置、照準(zhǔn)、讀數(shù)等方面都會(huì)產(chǎn)生誤差。 （3）觀測(cè)時(shí)所處的外界條件發(fā)生變化，例如，溫度高低、濕度大小、風(fēng)力強(qiáng)弱以及大氣折光的影響等方面都會(huì)產(chǎn)生誤差。 這三方面因素綜合起來(lái)，稱為觀測(cè)條件。顯然，觀測(cè)條件的好壞與觀測(cè)成果的質(zhì)量密切相關(guān)。第2頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)25分，星期四2. 測(cè)量誤差的分類211系統(tǒng)誤差在相同的觀測(cè)條件下作一系列的觀測(cè)，如果誤差在大

2、小、符號(hào)上表現(xiàn)出一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因很多，主要是由于使用的儀器不夠完善及外界條件所引起的。具有累積性。消除系統(tǒng)誤差的影響，可以采用改正的方法，212偶然誤差在相同的觀測(cè)條件下作一系列的觀測(cè)，如果誤差在大小和符號(hào)上都表現(xiàn)出偶然性，即誤差的大小不等，符號(hào)不同，這種誤差稱為偶然誤差。偶然誤差是由于人的感覺(jué)器官和儀器的性能受到一定的限制，以及觀測(cè)時(shí)受到外界條件的影響等原因所造成。例如，水準(zhǔn)測(cè)量估讀毫米時(shí)，每次估讀也不絕對(duì)相同，其影響可大可小，純屬偶然性，但在相同條件下重復(fù)觀測(cè)某一量，出現(xiàn)的大量偶然誤差卻具有一定的規(guī)律性。第3頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，12

3、點(diǎn)25分，星期四 7.2 偶然誤差的特性 在相同的觀測(cè)條件下，獨(dú)立地觀測(cè)了217個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角，每個(gè)三角形內(nèi)角之和應(yīng)等于它的真值，由于觀測(cè)值存在誤差而往往不相等。三角形內(nèi)角和的真誤差應(yīng)為： i=(L1+L2+L3)i -180 (i=1、n) 出現(xiàn)在某區(qū)間內(nèi)誤差的個(gè)數(shù)稱為頻數(shù)，用表示，頻數(shù)除以誤差的總個(gè)數(shù)n得n，稱誤差在該區(qū)間的頻率。統(tǒng)計(jì)結(jié)果列于表7，此表稱為頻率分布表。第4頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)25分，星期四誤差區(qū)間d（3） + - K K/n K K/n0336699121215151818212124242727以上3021151412852100.1380.

4、0970. 0690. 0650. 0550. 0370. 0230. 0090. 00502920181610862000. 1340. 0920. 0830. 0730. 0460. 0370. 0280. 009001080.4981090.502表7-1第5頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)25分，星期四 從表71中可以看出：小誤差出現(xiàn)的百分比較大誤差出現(xiàn)的百分比為大；絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的百分比相仿；絕對(duì)值最大的誤差不超過(guò)某一個(gè)定值在其它測(cè)量結(jié)果中也顯示出上述同樣的規(guī)律。可以總結(jié)出偶然誤差具有如下的規(guī)律性： （1）在一定條件下的有限觀測(cè)值中，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定

5、的限度。 （2）絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的可能性大。 （3）絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等，或者說(shuō)，它們出現(xiàn)的概率相等。 （4）當(dāng) 觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零，即 式中 為誤差總 和的符號(hào)，換言之，偶然誤差的理論平均值為零。 特性一說(shuō)明誤差出現(xiàn)的范圍，即誤差的有限性；特性二說(shuō)明誤差呈單峰性，或稱小誤差的密集性；特性三說(shuō)明誤差方向的規(guī)律，稱為對(duì)稱性；特性四是由特性三導(dǎo)出的，它說(shuō)明該列誤差的抵償性。第6頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)25分，星期四 為了充分反映誤差分布的情況，除去上述用表格的形式(稱誤差分布表)，還可以用直觀的圖形來(lái)表

6、示。 在圖71中以橫坐標(biāo)表示誤差的大小，縱坐標(biāo)表示各區(qū)間誤差出現(xiàn)的相對(duì)個(gè)數(shù)除以區(qū)間的間隔值(本例是3)。這樣，每一誤差區(qū)間上方的長(zhǎng)方形面積，就代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的相對(duì)個(gè)數(shù)。 圖71第7頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)25分，星期四 如果繼續(xù)觀測(cè)更多的三角形，即增加誤差的個(gè)數(shù)，當(dāng) 時(shí)，各誤差出現(xiàn)的頻率也就趨近于一個(gè)完全確定的值，這個(gè)數(shù)值就誤差出現(xiàn)在各區(qū)間的概率。如圖72所示圖7-1中各長(zhǎng)方條頂邊所形成的折線將成為一條光滑的連續(xù)曲線，如圖7-2所示。這條曲線稱為誤差分布曲線，也稱正態(tài)分布曲線。曲線上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)y均為橫坐標(biāo)的函數(shù)，其函數(shù)形式為：式中e為自然對(duì)數(shù)的底（e）；為觀測(cè)值的

7、標(biāo)準(zhǔn)差（將在下節(jié)討論），其平方稱為方差圖72第8頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)25分，星期四 7.3 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)1中誤差中誤差即為觀測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差上式求值要求觀測(cè)數(shù)n趨近無(wú)窮大，實(shí)際上是很難辦到的。在實(shí)際測(cè)量工作中，觀測(cè)數(shù)總是有限的，一般采用下述公式：式是m中誤差； 一組同精度觀測(cè)誤差 自乘的總和；N觀測(cè)數(shù) 比較式（7-4）與（7-5）可以看出，標(biāo)準(zhǔn)差與中誤差m的不同在于觀測(cè)個(gè)數(shù)的區(qū)別，標(biāo)準(zhǔn)差為理論上的觀測(cè)精度指標(biāo)，而中誤差則是觀測(cè)數(shù)n為有限時(shí)的觀測(cè)精度指標(biāo)。所以，中誤差實(shí)際上是標(biāo)準(zhǔn)差的近似值，統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為估值，隨著n的增加，m將趨近。 （7-4）（7-5）第9頁(yè)，共22頁(yè)，

8、2022年，5月20日，12點(diǎn)25分，星期四例7設(shè)有甲，乙兩組觀測(cè)值，其真誤差分別為：甲組：乙組：則兩組觀測(cè)值的中誤差分別為： 由此可以看出甲組觀測(cè)值比乙組觀測(cè)值的精度高，因?yàn)橐医M觀測(cè)值中有較大的誤差，用平方能反映較大的影響，因此，測(cè)量工作中采用中誤差作為衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)。第10頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)25分，星期四2相對(duì)誤差測(cè)量工作中，有時(shí)以中誤差還不能完全表達(dá)觀測(cè)結(jié)果的精度。例如，分別丈量了1000m及50m兩段距離，其中誤差均為 ， 并不能說(shuō)明丈量距離的精度，因?yàn)榱烤鄷r(shí)其中誤差或相對(duì)誤差，它是中誤差的絕對(duì)值與觀測(cè)值的比值，通常用分子為的分?jǐn)?shù)形式表示。例如上例中前者的相對(duì)

9、誤差為 ，后者則為 前者分母大比值小，丈量精度高。第11頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)25分，星期四3極限誤差 中誤差是反映誤差分布的密集或離散程度的，不是代表個(gè)別誤差的大小，因此，要衡量某一觀測(cè)值的質(zhì)量，決定其取舍，還要引入極限誤差的概念，極限誤差又稱為允許誤差，簡(jiǎn)稱限差。偶然誤差的第一特性說(shuō)明，在一定條件下，誤差的絕對(duì)值有一定的限值。根據(jù)誤差理論可知，在等精度觀測(cè)的一組誤差中，誤差落在區(qū)間 的概率分別為： (7-6) 式(7-6)說(shuō)明，絕對(duì)值大于兩倍中誤差的誤差，在測(cè)量規(guī)范中，為確保觀測(cè)成果的質(zhì)量，通常規(guī)定以三倍或兩倍中誤差為偶然誤差的允許誤差或限值，即 超過(guò)上述限差的觀測(cè)值

10、應(yīng)舍去不用，或返工重測(cè)。第12頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)25分，星期四 7.4 觀測(cè)值函數(shù)的中誤差誤差傳播定律 1線性函數(shù)線性函數(shù)的一般形式為 為獨(dú)立觀測(cè)值，其中誤差分別為m1、m2mn,k1、k2kn為常數(shù)設(shè)函數(shù)的中誤差為mz，下面來(lái)推導(dǎo)兩者中誤差的關(guān)系 中誤差的定義，得中誤差的關(guān)系式： 推廣之，可得線性函數(shù)中誤差的關(guān)系式為第13頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)25分，星期四2非線性函數(shù)非線性函數(shù)即一般函數(shù)，其形式為函數(shù)的中誤差為 第14頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)25分，星期四3誤差傳播律的應(yīng)用 1)按問(wèn)題的要求寫(xiě)出函數(shù)式 z=f(x1,x2,

11、xn)2）對(duì)函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測(cè)值真誤差之間的關(guān)系式 3)寫(xiě)出函數(shù)中誤差與觀測(cè)值中誤差之間的關(guān)系式： 上式寫(xiě)出的規(guī)律是：將偏導(dǎo)數(shù)值平方，把真誤差換成中誤差平方。在誤差傳播定律的推導(dǎo)過(guò)程中，要求觀測(cè)值必須是獨(dú)立觀測(cè)值，它們的真誤差之間須滿足： 第15頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)25分，星期四例7-2 在1:1000比例尺地形圖上，量得某壩的壩軸線長(zhǎng)為234.5mm，其中誤差m 為。求壩線的實(shí)際長(zhǎng)度及其中誤差mD。解：壩軸線的實(shí)際長(zhǎng)度與圖上量得長(zhǎng)度之間是倍數(shù)函數(shù)關(guān)系，即 最后結(jié)果寫(xiě)為234.5第16頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)25分，星期四例7-3

12、自水準(zhǔn)點(diǎn)向水準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行水準(zhǔn)測(cè)量(圖7-3)，設(shè)各段所測(cè)高差分別為求、兩點(diǎn)間的高差及其中誤差。 解：、之間的高差h=h1+h2+h3=7.811m;高差中誤差圖7-3 第17頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)25分，星期四例7-4x=Dcos，測(cè)得D=63.210.04m,=20300012,試求的中誤差。解：x=Dcos在計(jì)算中，=206265 。第18頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)25分，星期四 7.5 誤差傳播律在測(cè)量中的應(yīng)用舉例 1算術(shù)平均值的中誤差 設(shè)對(duì)某量在相同條件下觀測(cè)了n次，觀測(cè)值分別為l1，l2，ln，其中誤差m1=m 2=mn=m現(xiàn)在來(lái)推求算術(shù)平均值的中

13、誤差M。 x= 根據(jù)線性函數(shù)的中誤差式(7-10)，則x的中誤差為 或表明：算術(shù)平均值的中誤差mx比觀測(cè)值的中誤差小 倍。因此，增加觀測(cè)次數(shù)可以提高算術(shù)平均值的精度。 第19頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)25分，星期四2.觀測(cè)值的中誤差在中誤差的定義式(7-5)中，是觀測(cè)值的真誤差。但在一般情況下，真值X是不知道的，故也不知道。因此，實(shí)際上不能用真誤差來(lái)計(jì)算中誤差。 然而算術(shù)平均值是知道的，它又最接近真值，于是選用觀測(cè)值l，與算術(shù)平均值x之差v(稱為最或然誤差，)來(lái)計(jì)算觀測(cè)值的中誤差。用改正數(shù)v計(jì)算觀測(cè)值中誤差的公式為：第20頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)25分，星期四32加權(quán)平均值及中誤差3.2.1加權(quán)平均值 不等精度觀測(cè)時(shí)，考慮各觀測(cè)值的可靠程度，采用加權(quán)平均的辦法計(jì)算觀測(cè)的最或是值。設(shè)對(duì)某量進(jìn)行n次不等精度觀測(cè)，觀測(cè)值、中誤差及權(quán)各為： 觀測(cè)值 l1, l2 , ln 中誤差 m1, m2, mn 權(quán) P1, P2 Pn其加權(quán)平均值為 L=加權(quán)平均值的中誤差 加權(quán)平均值的中誤差為：其中：第21頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5