1、三角函數(shù)系的正交性函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)(傅氏級數(shù)Fourier series)問題的提出第七節(jié) 傅里葉(Fourier)級數(shù)正弦級數(shù)或余弦級數(shù) 第十一章 無窮級數(shù)1 上一節(jié)詳細(xì)研究了一種重要的函數(shù)項級數(shù):冪級數(shù). 下面研究另一種重要的函數(shù)項級數(shù):這種級數(shù)是由于研究周期現(xiàn)象的需要而產(chǎn)生的.它在電工、力學(xué)和許多學(xué)科中都有很重要的應(yīng)用. 傅里葉(Fourier,1768-1830) 法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家. 法國科學(xué)院院士,英國皇家學(xué)會會員.傅里葉級數(shù).傅里葉(Fourier)級數(shù)2傅里葉(Fourier)級數(shù) 1757年,法國數(shù)學(xué)家克萊羅在研究太陽引起的攝動時, 1759年,拉格朗日在對聲學(xué)的研究中

2、也使用了三角級數(shù). 用三角函數(shù)的正交性得到了將函數(shù)表示成三角1777年,歐拉在研究天文學(xué)的時候,級數(shù)時的系數(shù),也就是現(xiàn)今教科書中傅里葉級數(shù)的系數(shù).大膽地采用了歷史朔源三角級數(shù)表示函數(shù):3微分方程是分不開的.析學(xué)的發(fā)展.形所采用的三角級數(shù)方法進(jìn)行加工處理,1753年,的解表示為三角級數(shù)的形式,這為函數(shù)的傅里葉展開這個純數(shù)學(xué)問題奠定了物理基礎(chǔ),促進(jìn)了分在歷史上,丹貝努利首先提出將弦振動方程1822年,傅里葉在熱的解析理論一書中對于歐拉和貝努利等人就一些孤立的，特殊的情發(fā)展成一般理論.三角級數(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展與求解傅里葉(Fourier)級數(shù)4一、問題的提出在自然界和人類的生產(chǎn)實踐中,周而復(fù)始的現(xiàn)象,周

3、期運動是常見的.如行星的飛轉(zhuǎn),飛輪的旋轉(zhuǎn),蒸氣機活塞的往復(fù)運動,物體的振動,聲、光、電的波動等.數(shù)學(xué)上,用周期函數(shù)來描述它們.最簡單最基本的周期函數(shù)是周期振幅時間角頻率初相 簡諧波 簡諧振動正弦型函數(shù)傅里葉(Fourier)級數(shù)5如矩形波不同頻率正弦波除了正弦函數(shù)外,常遇到的是非正弦周期函數(shù),較復(fù)雜的周期現(xiàn)象逐個疊加分解傅里葉(Fourier)級數(shù)6傅里葉(Fourier)級數(shù)7傅里葉(Fourier)級數(shù)8傅里葉(Fourier)級數(shù)9傅里葉(Fourier)級數(shù)10傅里葉(Fourier)級數(shù)11設(shè)想一個較復(fù)雜的周期運動(如矩形波)分解為簡諧振動的迭加.會給分析問題帶來方便. 是把一個復(fù)雜

4、的周期函數(shù) f(t)反映在數(shù)學(xué)上,的迭加,表示為各類正弦函數(shù)諧波分析或再利用三角恒等式,變形為即傅里葉(Fourier)級數(shù)12 三角級數(shù)？函數(shù) f (t) 滿足什么條件,系數(shù)才能展為如何確定? 為簡便計,先來討論以 為周期的函數(shù) f(x),解決上述問題起著關(guān)鍵作用的是:三角函數(shù)系的正交性(orthogonality).三角級數(shù)?傅里葉(Fourier)級數(shù)13三角函數(shù)系二、三角函數(shù)系的正交性的正交性是指:其中任何兩個不同的函數(shù)的乘積在一個周期長的區(qū)間 而任一個函數(shù)的自乘(平方)在 即有傅里葉(Fourier)級數(shù)orthogonality14傅里葉(Fourier)級數(shù)151.傅里葉系數(shù) (

5、Fourier coefficient)利用三角函數(shù)系的正交性兩邊積分傅里葉(Fourier)級數(shù)三、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)16利用三角函數(shù)系的正交性傅里葉(Fourier)級數(shù)17利用三角函數(shù)系的正交性傅里葉(Fourier)級數(shù)18則傅里葉(Fourier)級數(shù)191993,研究生考題,填空,3分解由傅里葉系數(shù)公式偶奇練習(xí)傅里葉(Fourier)級數(shù)20傅里葉系數(shù)由這些系數(shù)作成的三角級數(shù)傅里葉(Fourier)級數(shù)21稱為函數(shù) f(x)(誘導(dǎo)出)的傅里葉級數(shù),f(x) 注f(x)的傅里葉級數(shù)不見得收斂；即使收斂，級數(shù)的和也不一定是 f(x).不能無條件的下面的傅里葉級數(shù)收斂定理回答了我們.所

6、以,把符號“”它的傅里葉級數(shù)收斂，記為當(dāng) f(x)滿足什么條件時，并收斂于f(x)本身.換為“=”.傅里葉(Fourier)級數(shù)222. 狄利克雷(Dirichlet)充分條件狄利克雷(德)1805-1859(收斂定理)傅里葉(Fourier)級數(shù)23傅里葉(Fourier)級數(shù)當(dāng)x是f (x)的連續(xù)點時當(dāng)x是f (x)的間斷點時當(dāng) 時傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)f(x)的關(guān)系由定理可知:在 f(x)的連續(xù)點處,都收斂到 f(x)自身即使有間斷點,函數(shù)也有傅氏級數(shù),間斷點上級數(shù)不收斂到函數(shù)值,只不過在而是收斂到間斷點處左右極限的算術(shù)平均值24(1)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成(2) 周期函數(shù)的

7、三角級數(shù)展開是唯一的,就是常說把 f (x)在 上展開成傅氏級數(shù).(3) 要注明傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)f (x)相等注冪級數(shù)的條件低得多;其傅里葉級數(shù),傅里葉(Fourier)級數(shù)的區(qū)域.就是函數(shù)在一個周期內(nèi)的平均值;25 設(shè)函數(shù) f (x)以 為周期, 且 其傅氏級數(shù)在 處收斂于( ).1992,研究生考題,填空,3分練習(xí)傅里葉(Fourier)級數(shù)26解可以將f (x)展開為傅氏級數(shù).因為所以,其傅氏級數(shù)在 處收斂于( ). 設(shè)函數(shù)f(x)以 為周期,且 傅里葉(Fourier)級數(shù)27周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)解題程序:并驗證是否滿足狄氏條件(畫圖目的: 驗證狄氏條件;由圖形寫出收斂域;易看出

8、奇偶性可減少求系數(shù)的工作量);(2) 求出傅氏系數(shù);(3) 寫出傅氏級數(shù),并注明它在何處收斂于f (x).傅里葉(Fourier)級數(shù)(1) 畫出 f (x)的圖形,28解u(t)的圖象 計算傅里葉系數(shù)奇奇將其展開為傅氏級數(shù)，并按狄利克雷定理寫出此級數(shù)的和.例傅里葉(Fourier)級數(shù) 為周期的矩形脈沖的波形29偶f(x) 傅里葉(Fourier)級數(shù)故u(t)的傅里葉級數(shù)為30由于u(t)滿足狄利克雷充分條件, 所以,得傅里葉(Fourier)級數(shù)u(t)的圖象和函數(shù)圖象31解 計算傅里葉系數(shù)例傅里葉(Fourier)級數(shù)將 f (x) 展開為傅里葉級數(shù). f (x) 的圖象32傅里葉(F

9、ourier)級數(shù)33傅里葉(Fourier)級數(shù)故 f (x)的傅里葉級數(shù)34由于f (x)滿足狄利克雷充分條件,由收斂定理得傅里葉(Fourier)級數(shù)35傅里葉(Fourier)級數(shù)36上有定義;(3) F(x)可展為傅氏級數(shù);注作 法傅里葉(Fourier)級數(shù)對于非周期函數(shù),如果 f (x)只在區(qū)間上有定義,并且滿足狄氏充要條件,也可展開成傅氏級數(shù).(1) f (x) 在 (周期延拓);級數(shù)收斂于37解例 將函數(shù)展開為傅氏級數(shù).拓廣的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)展開式在 計算傅里葉系數(shù)傅里葉(Fourier)級數(shù)所給函數(shù)在區(qū)間滿足狄氏充要條件,收斂于 f (x).38偶函數(shù)奇函數(shù)傅里葉(Fou

10、rier)級數(shù)39所求函數(shù)的傅氏展開式為利用傅氏展開式求級數(shù)的和傅里葉(Fourier)級數(shù)40收=和傅里葉(Fourier)級數(shù)41 北方交大考題 95級, (6分)為周期的傅氏級數(shù)的和函數(shù)S(x)在 上的解S(x) =練習(xí)傅里葉(Fourier)級數(shù)表達(dá)式.4298 (A) 填空題 (3分) 已知級數(shù) 則級數(shù) 的和等于解所以,傅里葉(Fourier)級數(shù)練習(xí)43由奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)系數(shù)的公式,易得下面的結(jié)論.和傅里葉此時稱傅里葉級數(shù)為(sine series)正弦級數(shù),傅里葉(Fourier)級數(shù)sine series and cosine series四、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)它的傅里

11、葉系數(shù)為44此時稱傅里葉級數(shù)為注將函數(shù)展為傅里葉級數(shù)時,先要考查函數(shù)是非常有用的.是否有奇偶性,(cosine series)余弦級數(shù),傅里葉(Fourier)級數(shù)它的傅里葉系數(shù)為45解函數(shù)的圖形如圖,電學(xué)上稱為 偶函數(shù)例展為傅里葉級數(shù).鋸齒波.傅里葉(Fourier)級數(shù)46余弦級數(shù)傅里葉(Fourier)級數(shù)47解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.奇函數(shù)傅里葉(Fourier)級數(shù)設(shè) f (x)是周期為 的周期函數(shù),它在例上的表達(dá)式為將 f (x)展開成傅氏級數(shù). f (x)的圖形48傅里葉(Fourier)級數(shù)和函數(shù)圖象49正弦級數(shù)傅里葉(Fourier)級數(shù)50例 在無線電設(shè)備中,常用電子

12、管整流器將交流電轉(zhuǎn)換為直流電.已知電壓t為時間試將E(t)展為傅氏級數(shù).解在整個數(shù)軸上連續(xù).偶函數(shù),傅里葉(Fourier)級數(shù)所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件，51n為奇數(shù)n為偶數(shù) (n=1時也對)傅里葉(Fourier)級數(shù)52傅里葉(Fourier)級數(shù)53 奇延拓 偶延拓兩種:正弦級數(shù).偶函數(shù),奇函數(shù),余弦級數(shù);傅里葉(Fourier)級數(shù)因而展開成因而展開成54上有定義. 作法3. F(x)可展開為傅氏級數(shù), 這個級數(shù)必定是得到 f (x)的正弦級數(shù) 的展開式.(偶函數(shù))的奇函數(shù)正弦級數(shù)(余弦級數(shù))(余弦級數(shù))注其實也不必真正實施這一手續(xù).傅里葉(Fourier)級數(shù) 滿足收斂定理的條件

13、1. f (x)在 2. 在開區(qū)間內(nèi)補充定義,得到定義在上的函數(shù)F(x),使它成為 在上55解(1) 求正弦級數(shù).奇延拓,正弦級數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù).例傅里葉(Fourier)級數(shù)56(2) 求余弦級數(shù).注又可展成余弦級數(shù),既可展成正弦級數(shù),其傅氏級數(shù)不唯一.余弦級數(shù) 偶延拓,傅里葉(Fourier)級數(shù)上有定義的函數(shù),57 設(shè)函數(shù)(1) 把f (x) 展開為正弦級數(shù);(2) 求級數(shù)的和函數(shù)S(x)在解練習(xí)(1)上的表達(dá)式;正弦級數(shù)傅里葉(Fourier)級數(shù)58 級數(shù)的和函數(shù)S(x)的周期為如圖所示從圖上看更明顯(2) 求級數(shù)的和函數(shù)S(x)在上的表達(dá)式;解解傅里葉(Fourier)級數(shù)59基本概念(三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)(傅里