1、初中幾何常用輔助線專題初中幾何常用輔助線專題7/7初中幾何常用輔助線專題一、三角形常有輔助線做法方法1：有關三角形中線的題目，常將中線加倍；含有中點的題目，常常做三角形的中位線，把結論合適的轉移例1、如圖5-1：AD為ABC的中線，求證：ABAC2AD。【解析】：要證ABAC2AD，由圖想到：ABBDAD,ACCDAD，所以有ABACBDCDADAD2AD，左邊比要證結論多BDCD，故不能夠直接證出此題，而由2AD想到要構造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去。證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，則AE2ADAAD為ABC的中線（已知）BDCD（中線定義）在ACD和

2、EBD中BDCBDCD(已證)ADCEDB(對頂角相等)ADED(輔助線的作法)E圖51ACDEBD（SAS）BECA（全等三角形對應邊相等）在ABE中有：ABBEAE（三角形兩邊之和大于第三邊）ABAC2AD。例2、如圖4-1：AD為ABC的中線，且12，34，求證：BECFEF證明：延長ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在BDE和CDM中，ABDCD(中點的定義)1CDM(對頂角相等)EDMD(輔助線的作法)EFBDECDM（SAS）1234CD又12，34（已知）B1234180（平角的定義）32=90，即：EDF90圖41MFDMEDF90在EDF和MDF中EDMD(輔助線的作法

3、)EDFFDM(已證)DFDF(公共邊)EDFMDF（SAS）EFMF（全等三角形對應邊相等）在CMF中，CFCMMF（三角形兩邊之和大于第三邊）BECFEF【備注】：上題也可加倍FD，證法同上。當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可經過延長加倍此線段，構造全等三角形，使題中分其他條件集中。例3、如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：BGE=CHE。證明：連接BD，并取BD的中點為M，連接ME、MF，ME是BCD的中位線，MECD，MEF=CHE，MF是ABD的中位線，MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=

4、MF，MEF=MFE，從而BGE=CHE。方法2：含有角均分線的題目，利用角均分線的性質做垂線，或構造出全等三角形例4、如圖2-1，已知ABAD,BAC=FAC,CD=BC。求證：ADC+B=180解析：可由C向BAD的兩邊作垂線。近而證ADC與B之和為平角。ADEBF例5、已知：如圖3-1，BAD=DAC，ABAC,CDAD于D，H是BC中點。C圖2-1求證：DH=1（AB-AC）2【解析】：延長CD交AB于點E，則可得全等三角形。問題可證。ADCEBH圖示3-1例6、已知：如圖3-2，AB=AC，BAC=90，BD為ABC的均分線，CEBE.求證：BD=2CE。FA【解析】：給出了角均分線

5、給出了邊上的一點作角均分線的垂線，ED可延長此垂線與其他一邊訂交，近而構造出等腰三角形。BC圖3-2方法3：證明兩條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法例7、如圖2-2，在ABC中，A=90，AB=AC，ABD=CBD。求證：BC=AB+AD【解析】：截長法：在BC上取BE=AB,連接DE,證明ABDEBD，A則AD=DE=CE,結論可證D補短法：延長BA到F，使BF=BC,連接DF,證明BCDBFD，F=C=45，AF=AD,結論可證BC例8：已知如圖6-1：在ABC中，ABAC，12，P為AD上任一點。求證：ABACPBPC。A12【解析】：要證：ABACPBPC，想到利用

6、三角形三邊關PCND系定理證之，因為欲證的是線段之差，故用兩邊之差小于MB圖61第三邊，從而想到構造第三邊ABAC，故可在AB上截取AN等于AC，得ABACBN，再連接PN，則PCPN，又在PNB中，PBPNBN，即：ABACPBPC。證明：（截長法）在AB上截取ANAC連接PN,在APN和APC中ANAC(輔助線的作法)12(已知)APAP(公共邊)APNAPC（SAS）PCPN（全等三角形對應邊相等）在BPN中，有PBPNBN（三角形兩邊之差小于第三邊）BPPCABAC證明：（補短法）延長AC至M，使AMAB，連接PM，在ABP和AMP中ABAM(輔助線的作法)12(已知)APAP(公共邊

7、)ABPAMP（SAS）PBPM（全等三角形對應邊相等）又在PCM中有：CMPMPC(三角形兩邊之差小于第三邊)ABACPBPC。二、梯形常用輔助線做法平時情況下，經過做輔助線，把梯形轉變成三角形、平行四邊形，是解梯形問題的基本思路。至于采用哪一種方法，要結合題目圖形和已知條件。常有的幾種輔助線的作法以下：作法圖形平移腰，轉變成三角形、平行四邊形。平移對角線。轉變為三角形、平行四邊形。延長兩腰，轉變成三角形。作高，轉變成直角三角形和矩形。ADBCEADBECEADBCADBCEF中位線與腰中點連線。ADEBCF例1.以下列圖，在直角梯形ABCD中，A90，ABDC，AD15，AB16，BC17

8、.求CD的長.DC解：過點D作DEBC交AB于點E.又ABCD，所以四邊形BCDE是平行四邊形.所以DEBC17，CDBE.ABDC在RDAE22222152AEDEAD，即AE1764.所以AE8.ABE所以BEABAE1688.即CD8.例2、如圖，在梯形ABCD中，ADAADADBECDEBHCE1GH1B(BCBGCEF2CH)21(BCAEDE)1BC(AEDE)221AD)11)1DHBDED12(BC(3BE522A(ADBC)DH51211S梯形ABCD56DEC22OEADB223、如圖，ACBD，EA,EB分別均分CAB,DBA，CD過點E，求證;ABAC+BDADEBC4、以下列圖，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC于E，求DE的長.5、以下列圖，梯形ABCD中，ADBC，（1）