1、傅里葉變換在金融分析中的應用概述（。傅里葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜，可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最后還可以利用傅里葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。傅里葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜，可以號轉換成時域信號。什么是傅里葉分析？，可以利用一些工具信號。究變量的頻率上的變化，研究其是否可以轉化為一系列的頻率分量。函數的時域信號表示，其周期6464 sin 函數頻域信號舉例說明下文中，我們將具一個小例子來解釋傅里葉分析。我們假設一個時間序列，遵循如下規律：結尾處的 et 為殘差，殘差為隨機值，遵循正態

2、分布，均值為零。我們注意到，此函數由兩個周期函數的分量組成。這兩個周期函數的周期分別是5 21 單位時間，下圖顯示了對函數的前一百項的模擬顯示。圖中實線為 Xt 函數，點線為 cos 函數，虛線為 sin 函數。如果只看 Xt 函數的話，很難分辨其是否存在周期性，或者只是單純的隨機漫步。5 cos 21 sin Xt1.1，序列可能存在一定的正自相關。在 ACF 檢測和 PACF 檢測中，同樣的，我們很難對時間序列Xt 指定一個適合的模型0 0 00 0 000 00 0 00 00000000000 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0

3、 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0圖：對Xt 信號做簡單線性回歸后得到的殘差分布000000000000 0000000000000000000000 0000000000000 0000000000000000000000 0圖：Xt 函數ACF 檢測圖和PACF 檢測圖000000000000 0000000000000000000000 0000000000000 0000000000000000000000 0圖：Sin 函數的ACF 檢測圖和PACF 檢測

4、圖000000000000 0000000000000000000000 0000000000000 0000000000000000000000 0圖：Cos 函數的ACF 檢測圖和PACF 檢測圖Xt，呈現出一種周期性。傅里葉分析也成頻域分析，頻域圖由Xt 的時域信號直接轉換得來。5 20 間序列進行分析時的效果。圖：Xt 的時間序列，周期分布，頻域分布傅里葉分析的前提條件節性，或者某種運動規律。從數學量化的角度來講就是協方差平穩e 。的協方差僅與它們的間隔有關。它主要體現在如下三個方面。時間序列中的每一個值的數學期望值，為常數且有限，即后面提到的均值回歸水平。變。序列中任何兩個（滯后項）

5、值的協方差，為常數且有限。為了檢測協方差是否平穩，通常我們采用兩種方法（）運行自回歸模型（2）Dickey Fuller 檢測下面我們通過一個例子來解釋如何用自回歸模型來檢驗自相關性自回歸模型的基本形式如下：其中Xt = 時間序列b0 = 垂直坐標軸的截距b1 = 斜率Xt-1 = 在 t-1 時刻的時間序列值et = 殘差項t = 時間，為 1,2,3舉例分析：如何檢驗一個 AR 模型是否構建合理本例中共有 102 個數據用于構建 AR（1）模型，即時間序列只和自己的一次滯后項構建回歸模型，下表為殘差之間的自相關分析。102 ) = （Lag2）和原始殘差的 t 檢驗為 0.0843368

6、/ 0.099 = 0.851760。在0 顯著度下的雙尾80 小于，1.98檢驗證明殘差的自相關系數并沒有顯著大于0，無法推翻原有假設。于是有充分的理由相信在此AR（1）模型下，殘差項間沒有線性相關。若在剛才比較自相關系數時，某一個值是大于1.98 的。我們就認為殘差間存在線性相關性， 次 AR（1）模型不準確，額外的滯后項應該被加入自回歸模型，并且需要重新觀測殘差間的自相關系數，直到殘差間不存在線性相關為止，才能認為自回歸模型被正確設定了。下 ：由以上模型可知，其均值回歸水平為b0/(1 b1 1，即均值回歸水平可以確定，則我們認為，模型不存在單位根t ，原時間序列是協方差穩定的。相反地，

7、如果，b1 = 1，則均值回歸水平無法確定，則我們認為，模型存在單位根，原時間序列是非協方差穩定的，也就是原序列符合隨機漫步特性。如果一個時間序列，他的（自回歸模型）0協方差穩定。一般來說，隨機漫步有以下三種形式是協方差不平穩。 而只有協方差平穩，也就是不是隨機漫步的時間序列才可以使用傅里葉分基于 FFT（快速傅里葉變換）的時間序列的分析變換。在一維信號處理中得到了廣泛應用。我們將在此使用基于Matlab 的快速傅里葉變換（FFT）算法來研究大宗商品線月收益的變化情況。由于金融產品的價格波動更多地呈現出隨機漫步的特性分處理，對月回報率進行傅里葉分析。農產品傅里葉分析結果（周期單位：月）產品低段

8、中段高段棉花3.459.5玉米5.19.5白糖34.610豆一2.05.69.1，16.8豆粕豆油2.7，3.32.3，3.54.6，5.19.4，13.2，16.516.5菜籽油2.2，3.516.3棕櫚油2.1，3.5511.3，15圖：棉花期貨的月收益傅里葉分析9.5 用得到的周期來還原時域信號圖：棉花期貨的月收益和周期性預測信號的對比圖：玉米期貨的月收益傅里葉分析9.5 5.067 用得到的周期來還原時域信號圖：玉米期貨的月收益和周期性預測信號的對比圖：白糖期貨的月收益傅里葉分析圖：豆一期貨的月收益傅里葉分析圖：豆粕期貨的月收益傅里葉分析圖：豆油期貨的月收益傅里葉分析圖：菜籽油期貨的月

9、收益傅里葉分析圖：棕櫚油期貨的月收益傅里葉分析金屬和化工品傅里葉分析結果（周期單位：月）產品低段中段高段鋁4.313.8，23銅2.25.812，22鋅2.4，3.75.210.4螺紋鋼4天然橡膠9.2LLDPE2.2，3.49.6，16PVC2.74PTA3.411圖：鋁期貨的月收益傅里葉分析圖：銅期貨的月收益傅里葉分析圖：鋅期貨的月收益傅里葉分析圖：螺紋鋼期貨的月收益傅里葉分析圖：天然橡膠期貨的月收益傅里葉分析圖：LLDPE 期貨的月收益傅里葉分析圖：PVC 期貨的月收益傅里葉分析圖：PTA 期貨的月收益傅里葉分析4 8 分析，總體來看，絕大多數品種并沒有表現出比較明顯的周期性。傅里葉分析

10、的實盤策略存在周期性的產品的單邊2 周期相近產品的套利策略存在周期性的產品的單邊投機以 RB 可以用周期函數進行粗略近似，我們以4 個月為波動周期進行買賣，每年3 月，7 11 月進行多倉操作，類似的，每年1 9 月進行空倉操作。兩年來的累積收益為每手2400 點左右。圖：螺紋鋼期貨的月收益和周期性預測信號的對比圖：螺紋鋼期貨的價格和傅里葉策略的收益曲線周期相近產品的套利策略16 2，16，二者非常接近。因此，我們將兩個產品做成套利組合。首先我們用豆油、菜籽油歷史價格進行回歸分析，得到回歸模型： 豆油 = 356.679+1.019x 菜籽油=1：-11 10 1 5 噸，故1：-2。3 （豆油1 2 手，回測時間為 2007.6