探究式教學是數學新課標中提出的一項新的教學模式，它重視學生的主體地位，注重師生之間的互動，在數字化賦能模式下其優勢更為明顯，能為學生帶來更加豐富的學習體驗。本文借助數字化教育技術工具開展“圓與圓的位置關系”教學，旨在讓學生主動探究，學會學習。一、教材分析“圓與圓的位置關系”是人教A版（2019）選擇性必修第一冊第二章“直線和圓的方程”中的內容，是學習直線和圓的方程中最為基礎和重要的部分。圓與圓的位置關系是點與圓、直線與圓的位置關系的延伸，是學生學習幾何知識和解析幾何的重要基礎。二、數字化賦能下探究教學的意義教師通過數字化信息技術工具實現高中數學探究教學實踐，不僅可以培養學生的數學興趣，促進學生數學建模能力的發展，而且可以促進學生信息素養的培養。引入數字化高中數學智能課程可以為學生帶來具體的、實用的學習體驗，吸引學生主動參與數學探究活動。所以，數字化賦能下的高中數學探究教學可以很好地滿足當代高中生的學習發展需要，有助于學生主動探索數學知識并掌握課堂知識。三、教學過程（一）創設情境，導入新課1.動畫情境，激趣引入師：同學們，大家都知道日環食吧?，F在，如果我們從數學的角度把太陽和月亮看作是兩個圓，那么通過月亮和太陽的運動，就形成了兩個圓與圓的位置關系。（通過微視頻呈現日環食的全過程，以及圓與圓的位置關系圖形，如圖1所示。）（設計意圖：用日環食這一天文現象激發學生對新知主動探索的興趣。用數字化短視頻將日環食圖文并茂地呈現在學生面前，可以觸發學生的視覺感受，再通過情境的轉化導入新知，這樣學習效果更佳。）2.逐層演示，揭示概念師：大家仔細觀察微視頻中兩個圓運動變化產生的位置關系。（正常速度播放微視頻）生1：兩個圓慢慢靠近但還沒有接觸之前，它們屬于外離關系。生2：當圓與圓接觸，它們只有一個交點時，這兩個圓屬于外切關系。生3：當兩個圓有兩個交點時，這兩個圓屬于相交關系。生4：當小圓徹底融入大圓，有且只有一個交點時，兩圓關系屬于內切。生5：當小圓徹底融入大圓中且沒有交點時，兩圓內含。師：大家看一下兩個圓運動時的動作回放。（用微視頻慢播放呈現五種位置關系，如圖2所示。）（設計意圖：通過微視頻讓學生進行自主觀察、探索并得出圓與圓的五種位置關系、五種位置關系的特點性質，讓學生逐步構建知識體系。）■圖2（二）探究本質，得出新知探究一：圓與圓位置關系的判定師：通過前面的學習，我們如何判定圓與圓的位置關系是外離、外切、相交、內切、內含呢？生1：觀察兩個圓之間是否有交點，如果沒有交點，那就是外離或者內含；如果有交點，那就是外切、相交或內切。師：外離、內含該如何判定？外切、相交、內切又該如何判定？我們能否通過數量關系來判斷位置關系呢？生2：我們可以通過兩個圓的圓心距和半徑來判定。如果圓心距大于兩個圓的半徑之和，那么兩圓外離；如果圓心距等于兩個圓的半徑之和，那么兩圓外切；如果圓心距小于兩圓半徑之和那么兩圓相交、內切或內含。師：那么又出現了一個新的問題，圓心距小于半徑之和時又該怎樣判斷兩圓是相交、內切還是內含呢？下面我們一起探索影響圓與圓位置關系的數量因素。出示用代數的方法來判斷圓與圓的位置關系的圖表（見表1）：師：假設兩個圓C1和C2的半徑分別為r1、r2，圓心距為d，那么兩個圓的位置關系如表2所示。（設計意圖：通過教師提問學生探究，教師再提問學生再探究的方式，激發學生主動探究的積極性。學生在探究過程中發現問題、分析問題、解決問題并獲得自主學習能力的提升。）探究二：習題訓練，強化鞏固師：將兩個相交的圓的方程x2+y2+Dix+Eix+Fi=0（i=1，2）相減，可以得到一條直線方程，那么這條直線方程具有什么特殊性？生：兩圓相減得到一條直線方程，那么它會經過兩個圓的交點，所以該直線為兩圓公共弦所在的直線。（設計意圖：通過練習題拓展學生思維，讓學生轉換思維，形成舉一反三的能力，達到學以致用的目的。）（三）內化鞏固，拓展探究1.判一判師：圓是軸對稱圖形，那么兩個圓共同組成的圖形也是軸對稱圖形嗎？生1：是的，它們的對稱軸就是兩個圓圓心的連線。師：經過兩個圓心的線稱為連心線，兩個圓心間線段的長度為圓心距。師：如果兩個圓相切，那么切點與連接線的位置關系如何？（讓學生畫一畫）生2：切點會在這條連接線上。師：非常正確，所以我們得到了“如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上”這一數學性質。（設計意圖：學生通過判斷、動手、動腦獲得正確答案，這樣既可以鍛煉學生自主解決問題的能力，又可以提高學生的邏輯思維能力。）2.玩一玩教師設計課堂游戲競賽，將班組學生分成若干小組，每小組由兩人組成，各成員要相互配合，確定所得答案的正確性及解題過程及步驟的規范性。分組時采用“幫帶”原則，按照“組內異質，組間同質”分配小組，保證每個小組都能水平相當、能力相近、公平競爭。具體設計如下：先用多媒體呈現例題，得到例題之后每個小組有5分鐘的時間來解答，解答完成之后直接讓學生提交。計算機通過大數據處理對提交的答案給予判定。哪一組提交的答案既快又準確，給哪一組加一分。一共設置例題5道，滿分5分，用時25分鐘。（設計意圖：一是通過例題對課堂所講知識進行強化和鞏固；二是借助數字化信息技術工具組織課堂游戲，讓課堂變得生動有趣；三是通過科學合理分組探究，幫助全班學生共同進步。）3.練一練師：前面我們學習了兩圓不相等情況下的位置關系，如果兩圓半徑相等，兩個圓的位置關系會有幾種？生1：（學生自主畫圖）四種：外離、外切、相交、重合，因為兩圓半徑相同時它們內切和內含時會重合。（教師用多媒體進行動畫展示）（設計意圖：讓學生觸類旁通，用常規方法解決個別問題。）師：如果兩圓是內含關系，兩圓的圓心在同一個位置上（圓心重合），那么圓心距為多少？生2：圓心距為0。（多媒體展示圖形）（設計意圖：設計這種探究類問題，主要是為了讓學生掌握特殊情況下的特殊條件，避免出現忽視條件而結題的錯誤。）師：如果兩個圓的半徑為5+t和5-t（0＜t＜5），圓心距為2t，那么兩圓的位置關系是怎樣的？生3：如果圓心距為2t，那么2t=（5+t）-（5-t），所以兩圓為內切關系。（設計意圖：從已知圓心距來求兩個圓的位置關系，用反向思維來推斷確定位置關系，解題效率更快。）師：兩圓外切時圓心距為12，內切時圓心距為4，求這兩個圓的半徑分別為多少。生4：假設兩個圓的半徑分別為r1、r2則：外切時圓心距為r1+r2=12.............A內切時圓心距為r1-r2=4................BA+B=2r1=16，所以，r1=8，r2=4.因此，這兩個圓的半徑分別為8和4。（設計意圖：如果學生的思維只停留在前兩部分，那么將很難得到解。這一練習題型的設計不僅是對前兩個題型的鞏固和延伸，還是對學生思維轉化能力的鍛煉。）（四）課堂總結，完善認識本節課我們學習了圓與圓的五種位置關系，以及每個位置關系的判定方式，借助數字化信息技術工具組織了一系列課堂探究活動；并對通過相應的數量關系來判定圓與圓的位置關系，做了一些較為基礎的練習題，旨在加強學生對本節基礎知識的掌握，為以后的學習奠定了基礎。四、教學反思優點：本課以深度學習為理論基礎，以現代信息技術工具為課堂輔助，以問題為導向，以學生自主探究為主要方式，注重在實踐中應用、在應用中強化，構建了數字化賦能下的高效高中數學課