1、關于有限元法第一張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月一、有限元方法解題分析 為了說明應用有限元方法的解題步驟，以及每一步驟中的要點，下面我們以兩點邊值問題為例進行具體分析。 考慮兩點邊值問題其中我們將從Ritz法和Galerkin法兩種觀點出發，導出解邊值問題（1.1）、（1.2）的線性有限元方法。第二張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月（一）從Ritz法出發建立有限元方程1、寫出Ritz形式的變分問題由變分原理可知，與邊值問題（1.1）（1.2）等價的變分問題是：求其中積分表達式（1.3）是應用有限元法求解（1.1）、（1.2）式的出發點。第三張，PPT共二十九頁，創作于2022

2、年6月 2、區域剖分 剖分原則與差分法相同，即將求解區域剖分成若干個互相連接，且不重疊的子區域，這些子區域稱為單元。單元的幾何形狀可以人為選取，一般是規則的，但形狀與大小可以不同。對于一維情形最為簡單：將求解區域 剖分成若干個子區間，其節點為每個單元 的長度為 單元在區間中分布的疏密程度或單元尺寸的大小， 可根據問題的物理性質來決定，一般來說，在物理量變 化劇烈的地方，單元尺寸要相對小一些，排列要密一些。 3、確定單元基函數 有限元法與Ritz-Galerkin方法的主要區別之一，就 在于有限元方法中的基函數是在單元中選取的。由于各第四張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月個單元具有規則的

3、幾何形狀，而且可以不比考慮邊界條件的影響，因此在單元中選取基函數可遵循一定的法則。設為 的有限維子空間，它的元素為要構造，只需構造單元基函數 。構造單元基函數應遵循如下原則： （1）、每個單元中的基函數的個數和單元中的節點數相同，每個節點分別對應一個基函數，本例中，單元 有兩個節點，因此基函數有兩個。（2）基函數應具有下面的性質：其中 是單元節點序號為k的節點。第五張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月若取 為線性函數，則按上述原則，可將 中的基函數取為顯然， 中任一函數 可以表示為基函數 的線性組合，即 （1.4）第六張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月其中， 是 在節點上的值，即

4、在單元 上， 表示為可見，單元中的近似函數由單元基函數線性組合產生，全區域的近似函數由各個單元的近似函數疊加而成。 從以上可以看出， 是滿足下列條件的所有函數 的集合：第七張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月故 是 的一個n維子空間，稱為試探函數空間 稱為試探函數。4、有限元方程的形成 與Ritz法一樣，以 代替 ，在 上解泛函數（1.3）的極小問題。將（1.5）代入（1.3），得第八張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月令便得到確定 的線性代數方程組稱（1.7）為有限元方程。顯然，只要我們分別算出 及就可以求解（1.7）。但在工程計算中，并不是按照上述步驟形成有限元方程的，而是首先

5、建立單元有限元特征式（稱這一過程為單元分析），然后再將單元的有限元特征式進行累加，合成為總體有限元方程（這一過程稱為總體合成）。第九張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月下面分步分析具體的計算方法。第一步：單元分析。注意到我們來計算單元 上的積分。為討論方便，作變換并引入記號則在 上， 可寫成第十張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月或寫成（1.10）其中，而 可表示為式中，于是有第十一張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月這里，稱為單元剛度矩陣，其中對（1.8）式右端第二項積分，同樣有第十二張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月式中，稱 為單元“荷載”向量。根據以上分析，便有

6、這樣，我們就得到了單元有限元特征式的一般表示形式：第十三張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月第二步：總體合成總體合成就是將單元的有限元特征式進行累加，合成為總體有限元方程。這一過程實際上是將單元有限元特征式中的系數矩陣逐個累加，合成為總體系數矩陣（稱為總剛度矩陣）；同時將右端單元荷載向量逐個累加，合成為總荷載向量，從而得到關于 的線性代數方程組。為了形成總剛度矩陣，我們令于是有第十四張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月從而（1.17）右端第一個和式為其中，第i-1行第i行這就是總剛度矩陣（未標明的元素均為0）。第十五張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月對（1.17）右端第二個

7、和式，有其中，這就是總荷載向量。這樣，就可以將（1.17）式寫成第十六張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月因此，有限元方程為從總剛度矩陣和總荷載向量的形成過程可以看出， 的計算，實際上是把 中四個元素在適當的位置上“對號入座”地疊加， 的計算也是如此。我們引入 ，只是為了敘述方便，實際上，在編制程序時并不需要。 顯然，方程組（1.20）的系數矩陣K是一個對稱正定的對角矩陣，因此可采用追趕法求出u在節點上的近似值 。如果我們認為這個近似解不夠精確，則可以使剖分更細，即節點取得更多。這樣，就產生一個收斂性與誤差估計的問題。由于此問題所用的數學工具較多，本課程不做討論。另一方面，我們以上是在單

8、元剖分的基礎上，利用Lagrange型的分段線性插值函數構造出的n維子空間 ，這樣自然想到，如果不采用分段的線性插值，而采用分段的高次插值，則會得到更好的近似。第十七張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月注1、當第一邊值條件非齊次時，例如 ，則需象其它單元一樣形成 上的單元剛度矩陣。但形成總剛度矩陣K時，先把當作未知量，K擴大成 矩陣，然后去掉第一行（或者一開始就不計算第一行），把第一列的第j行元素 乘以 累加到第j個方程的右端后，再去掉第一列。最后仍然歸結到方程（1.20），只不過右端向量因第一邊值作了修改。它只是比齊次邊值多了第二項。由于第二項只含有 的一次項，因此從上述泛函出發所形成

9、的有限元方程不影響總剛度矩陣，唯一的改變量是第n個方程注2、若第二邊值條件（右邊值條件）非齊次，例如 ，則需從下列泛函出發：第十八張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月的右端要累加對于第三邊值條件則不但要修改第n個方程的右端，而且總剛度矩陣的第n行n列元素也要作適當的修改。有興趣的同學可以自行推導。(二)、從Galerkin法出發建立有限元方程從Galerkin法出發形成有限元方程的過程與前面完全一樣，得到的結果也是一致的。但是從Galerkin法出發形成的有限元方程更具一般性，它不僅適用于對稱正定的算子方程，而且也適用于非對稱正定的算子方程。在實際問題中，主要是依據這一觀點建立有限元方程

10、。下面對這一問題作一簡單陳述。第十九張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月由變分原理可知，與邊值問題等價的Galerkin形式的變分問題是：我們仍用分段線性函數構成的試探函數空間代替 ,由（1.4）定義的分段線性函數是的一組基。和前面一樣的方法，把第二十張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月代入（1.21），便得到 所滿足的方程組這和方程組（1.7）是完全一樣的。 容易看出，方程組（1.22）的系數矩陣就是總剛度矩陣，在總剛度矩陣形成的過程中，注意到而從而有第二十一張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月即故有這就是有限元方程（1.20）。由上述看出，按Galerkin法推導有限元方

11、程更加直接方便。尤其重要的是。按這一觀點推導的有限元方程，不僅適用于穩定問題，而且也適用于非穩定的問題，因此它具有廣泛的適用性。（三）、應用舉例用有限元方法解邊值問題第二十二張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月將區間0,1等分成4個單元。 解、利用上述分析結果，我們只需構造出單元剛度矩陣和單元荷載向量，然后合成為總剛度矩陣和總荷載向量。 注意到（1.14）和（1.16）：第二十三張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月若將 取成單元 上的中點值 則不難得到其中 單元 的中點為于是有第二十四張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月如果把單元剛度矩陣 和單元荷載向量“擴大”，便得到 和 為類似地，可寫出第二十五張，PPT共二十九頁，創作于2022年6月然后進行疊