1、專題五：探究、延長與應用問題爭論【題型導引】題型一： 與三角形有關的探究、延長與應用, 本類型涉及到三角形之間的變換,從特殊實例到一般的轉化,從三角形探究延長到四邊形的變化,推導相像的結論爭論,或者從特殊三角形的爭論推廣到一般三角形,得到相關結論,并利用得到的結論解決新問題；題型二：四邊形背景下借助變換轉化為其它四邊形,得到相關結論,借助特殊四邊形的性質得到某結論,并進行推廣,從而找到更好圖形中存在的類型性質,并進行實際應用；【典例解析】類型一：與三角形有關的探究、延長與應用例題 1：（2022.湖北武漢 .3 分）問題背景：如圖1,將 ABC 繞點 A 逆時針旋轉60得到 ADE ,DE 與

2、 BC交于點 P,可推出結論：PA PCPE問題解決： 如圖 2,在 MNG 中,MN 6,M75,MG 4 2 點 O 是 MNG 內一點,就點 O 到 MNG三個頂點的距離和的最小值是2 29圖 1圖 2 【解答】（1）證明：如圖 1,在 BC 上截取 BGPD,在 ABG 和 ADP 中, ABG ADP （SAS）,AGAP, BAG DAP, GAP BAD 60, AGP 是等邊三角形, AGC60 APG , APE60, EPC60,連接 EC,延長 BC 到 F,使 CF PA,連接 EF ,將 ABC 繞點 A 逆時針旋轉 60得到 ADE, EAC60, EPC 60,A

3、EAC, ACE 是等邊三角形,AEECAC, PAE APE AEP180,ECF ACE ACB180,ACE APE60,AED ACB, PAE ECF,在 APE 和 ECF 中 APE ECF（SAS）,PEPF ,PAPCPE；（2）解：如圖2：以 MG 為邊作等邊三角形MGD ,以 OM 為邊作等邊OME 連接 ND ,作 DF NM ,交 NM 的延長線于F MGD 和 OME 是等邊三角形OEOM ME , DMG OME 60,MG MD, GMO DME 在 GMO 和 DME 中 GMO DME （SAS）,OG DENO GOMO DEOE NO當 D.E.O、M

4、四點共線時, NOGOMO 值最小, NMG 75, GMD 60, NMD 135, DMF 45,MG 4 2 MF DF4,NFMN MF 6410,ND 2 29 ,MO NOGO 最小值為 2 29 ,故答案為 2 29 ,技法歸納： 解答探究、 延長與應用類題目時,解答好第 1問是基礎, 往往前面第 1問中的方法思路為第2問的解決供應解題方向；解答后續的“ 延長 ”時,要特殊留意運用類比、數形結合、分類爭論等數學思想；對于應用環節,就是把實際問題的背景,抽象成已探究出結論或規律的幾何模型類型二：與四邊形有關的探究、延長與應用例題 2：2022菏澤中考 問題情境：在綜合與實踐課上,老

5、師讓同學們以“ 矩形紙片的剪拼”為主題開展數學活動如圖1,將矩形紙片ABCD沿對角線 AC 剪開,得到ABC 和 ACD .并且量得 AB2 cm,AC4 cm. 操作發覺：1將圖 1 中的 ACD 以點 A 為旋轉中心,按逆時針方向旋轉,使 BAC,得到如圖 2 所示的 ACD,過點 C 作 AC的平行線,與 DC 的延長線交于點 E,就四邊形 ACEC的外形是2創新小組將圖 1 中的 ACD 以點 A 為旋轉中心,按逆時針方向旋轉,使 B,A,D 三點在同一條直線上,得到如圖 3 所示的ACD,連接 CC,取 CC的中點 F,連接 AF 并延長至點 G,使 FGAF,連接CG,CG,得到四

6、邊形 ACGC,發覺它是正方形,請你證明這個結論實踐探究：3縝密小組在創新小組發覺結論的基礎上,進行如下操作：將ABC 沿著 BD 方向平移,使點 B 與點 A重合,此時 A 點平移至 A點, AC 與 BC相交于點 H,如圖 4 所示,連接 CC,試求 tanCCH 的值【解析】 1解：菱形2證明：點 F 是 CC的中點, CF FC .FGAF,四邊形 ACGC是平行四邊形在 Rt ABC 和 Rt ACD 中, BAC ACB 90, ACB DAC, BAC DAC 90. 又 B,A, D 三點在同一條直線上,CAC90,四邊形 ACGC 是矩形ACAC,四邊形 ACGC是正方形3解

7、：在 Rt ABC 和 Rt BCD 中,BCBD4 22223. Rt ABC Rt BCD, DBC BAC90, BHA 90, BCAC. 在 Rt ABC 中, ACBHBC AB,即 4BH2 2 3,BH3, CHBCBH43. 在 Rt ABH 中, AHAB2BH222（3）21,CH 413, tanCCH CH CH43 3,tanCCH 的值為43 3. 技法歸納：探究、延長與應用型問題經常用到以下方法與思想：特殊值：利用特殊點、特殊數量、特殊線段、特殊位置等進行歸納、概括,從特殊到一般,從而得出規律；分類爭論法：當命題的題設和結論不唯獨,難以統一解答時,就需要按可能顯

8、現的情形做到既不重復也不遺漏,分門別類加以爭論求解,將不同結論綜合歸納得出正確結果；類比猜想法：即由一個問題的結論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結論或解決方法,并加以嚴密的論證【變式訓練】1. （2022.泰安）如圖,ABC 中, D 是 AB 上一點, DEAC 于點 E,F 是 AD 的中點, FG BC 于點 G,與 DE 交于點 H,如 FGAF,AG 平分 CAB,連接 GE,CD（1）求證：ECG GHD ；（2）小亮同學經過探究發覺：ADACEC請你幫忙小亮同學證明這一結論（3）如 B30,判定四邊形 AEGF 是否為菱形,并說明理由【解答】解：（1） AFFG, FAG

9、FGA ,AG 平分 CAB, CAG FGA, CAG FGA,AC FG,DEAC,FGDE,FGBC,DE BC,ACBC, C DHG 90, CGE GED ,F 是 AD 的中點, FG AE,H 是 ED 的中點,FG 是線段 ED 的垂直平分線,GEGD , GDE GED , CGE GDE, ECG GHD ；（2）證明：過點 G 作 GPAB 于 P,GC GP,而 AGAG, CAG PAG,ACAP,由（ 1）可得 EGDG ,Rt ECGRt GPD,ECPD,ADAPPDACEC；（3）四邊形 AEGF 是菱形,證明： B30, ADE30,AEAD,AEAF F

10、G,由（ 1）得 AE FG,四邊形 AECF 是平行四邊形,四邊形 AEGF 是菱形2. （2022,山西, 11 分）綜合與實踐動手操作：第一步：如圖 1,正方形紙片 ABCD 沿對角線 AC 所在直線折疊,綻開鋪平 .在沿過點 C 的直線折疊,使點B,點 D 都落在對角線 AC 上.此時,點 B 與點 D 重合,記為點 N,且點 E,點 N,點 F 三點在同始終線上,折痕分別為 CE,CF.如圖 2. 其次步：再沿 AC 所在的直線折疊,ACE 與 ACF 重合,得到圖 3 第三步：在圖 3 的基礎上連續折疊,使點 C 與點 F 重合,如圖 4,綻開鋪平,連接 EF,FG, GM,ME

11、,如圖 5,圖中的虛線為折痕 . 問題解決：（1）在圖 5 中, BEC 的度數是,AE 的值是 BE；動手畫出一個菱形 （正方形除外） ,（2）在圖 5 中,請判定四邊形EMGF 的外形,并說明理由；（3）在不增加字母的條件下,請你以圖中5 中的字母表示的點為頂點,并寫出這個菱形：. 【解析】解： （1）67.5 2（2）四邊形 EMGF 是矩形理由如下：四邊形 ABCD 是正方形,B BCD D90由折疊可知：1 2 3 4,CMCG,BEC NEC NFC DFC 67.5 由折疊可知： MH 、GH 分別垂直平分 EC,FC,MC ME,GCGF 5 1 22.5 , 6 422.5

12、, MEF GFE 90 MCG 90,CMCG. CMG 45又 BME 1 545, EMG 180 CMG BME 90四邊形 EMGF 是矩形 . （1）菱形 FGCH 或菱形 EMCH （一個即可） ,如下圖所示3. 2022 江西中考 在菱形 ABCD 中, ABC60,點 P 是射線 BD 上一動點,以 AP 為邊向右側作等邊 APE,點 E 的位置隨著點P 的位置變化而變化CE,BP 與 CE 的數量關系是,CE 與 AD 的1如圖 1,當點 E 在菱形 ABCD 內部或邊上時,連接位置關系是；2當點 E 在菱形 ABCD 外部時, 1中的結論是否仍成立？如成立,請予以證明；如

13、不成立,請說明理由挑選圖 2,圖 3 中的一種情形予以證明或說理；BE,如 AB23,BE2 19,求四邊形ADPE 的面3如圖 4,當點 P 在線段 BD 的延長線上時,連接積【解析】： 1BPCE CEAD 提示：如圖,連接 AC. 四邊形 ABCD 是菱形,ABC60, ABC, ACD 都是等邊三角形,又 APE 是等邊三角形,ABD CBD30, ABAC. APAE, BAC PAE60, BAP CAE, BAP CAE,BPCE, ABP ACE30. 延長 CE 交 AD 于點 H. CAH 60, CAH ACH 90, AHC 90,即 CEAD. 2結論仍舊成立理由：如

14、圖,連接 AC 交 BD 于點 O,設 CE 交 AD 于點 H. 四邊形 ABCD 是菱形,ABC60, ABC, ACD 都是等邊三角形,ABD CBD30,ABAC. APE 是等邊三角形,APAE, BAC PAE60,BAP CAE, BAP CAE,BPCE, ABP ACE30. CAH 60, CAH ACH90, AHC 90,即 CEAD. 也可選用圖 3 進行證明,方法同上3如圖,連接 AC 交 BD 于點 O,連接 CE 交 AD 于點 H,由2可知 ECAD,CE BP. 在菱形 ABCD 中, AD BC,ECBC. BCAB2 3,BE 2 19,在 Rt BCE

15、 中,EC（219）2（ 23）28,BPCE8. AC 與 BD 是菱形的對角線, ABD1 2ABC30,ACBD,BD2BO2ABcos 30 6,OA1 2AB3,DPBPBD86 2,OPOD DP5. 在 Rt AOP 中, APAO2 OP22 7,72 8 3. S 四邊形 ADPES ADP S AEP1 2233 424. （2022.湖北省咸寧市 .10 分）定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等補四邊形懂得：（1）如圖 1,點 A,B,C 在 O 上, ABC 的平分線交 O 于點 D,連接 AD,CD求證：四邊形 ABCD 是等補四邊形；探究：（2）如圖 2,在

16、等補四邊形 ABCD 中, ABAD,連接 AC,AC 是否平分 BCD ？請說明理由運用：（3）如圖 3,在等補四邊形ABCD 中, ABAD,其外角 EAD 的平分線交CD 的延長線于點F,CD10,AF5,求 DF 的長【解答】解： （1）證明：四邊形 ABCD 為圓內接四邊形, A C180, ABC ADC 180,BD 平分 ABC, ABD CBD ,ADCD ,四邊形 ABCD 是等補四邊形；（2） AD 平分 BCD ,理由如下：如圖 2,過點 A 分別作 AEBC 于點 E,AF 垂直 CD 的延長線于點 F,就 AEB AFD 90,四邊形 ABCD 是等補四邊形, B

17、ADC 180,又 ADC ADF 180, B ADF ,ABAD, ABE ADF （AAS）,AEAF ,AC 是 BCF 的平分線,即 AC 平分 BCD ；（3）如圖 3,連接 AC,四邊形 ABCD 是等補四邊形, BAD BCD 180,又 BAD EAD 180, EAD BCD ,AF 平分 EAD, FADEAD ,由（ 2）知, AC 平分 BCD, FCABCD , FCA FAD,又 AFC DFA, ACF DAF ,即,DF5 55. 2022 日照中考 問題背景：我們學習等邊三角形時得到直角三角形的一個性質：在直角三角形中,如果一個銳角等于 30,那么它所對的直

18、角邊等于斜邊的一半即：如圖 1,在 Rt ABC 中, ACB 90,ABC30,就 AC1 2AB. 探究結論：小明同學對以上結論作了進一步探究1如圖 1,連接 AB 邊上中線 CE,由于 CE1 2AB,易得結論：ACE 為等邊三角形； BE 與 CE 之間的數量關系為；2如圖 2,點 D 是邊 CB 上任意一點,連接 AD,作等邊ADE,且點 E 在 ACB 的內部,連接 BE.摸索究線段 BE 與 DE 之間的數量關系,寫出你的猜想并加以證明；3當點 D 為邊 CB 延長線上任意一點時,在 2條件的基礎上,線段 BE 與 DE 之間存在怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論；拓展應用：如圖

19、 3,在平面直角坐標系 xOy 中,點 A 的坐標為 3,1,點 B 是 x 軸正半軸上的一動點,以 AB 為邊作等邊ABC.當 C 點在第一象限內,且 B2,0時,求 C 點的坐標【解析】： 1BECE2BE DE.證明如下：如圖,取 AB 的中點 P,連接 EP. 由1結論可知CPA 為等邊三角形, CAP60,CA PA. ADE 為等邊三角形, DAE60,ADAE, CAP DAE , CAP DAB DAE DAB, CAD PAE, ACD APESAS, APE ACD 90,EPAB. P 為 AB 的中點, AEBE. DEAE, BEDE. 3BE DE 拓展應用：如圖,

20、連接 OA,OC,過點 A 作 AH x 軸于點 H. A 的坐標為 3,1, AOH30. 由探究結論 3可知 COCB. O0,0,B2, 0,點 C 的橫坐標為 1. 設 C1,mCO2CB212m2,AB212232,ABCB,12m212232, m23,C 點的坐標是 1,236. （2022.湖南岳陽 .10 分）操作體驗：如圖,在矩形ABCD 中,點 E.F 分別在邊 AD.BC 上,將矩形 ABCD沿直線 EF 折疊,使點 D 恰好與點 B 重合,點 C 落在點 C處點 P 為直線 EF 上一以 PM 、PN 為鄰邊構造平行四邊形 PMQN （1）如圖動點（不與 E.F 重合

21、）,過點 P 分別作直線 BE.BF 的垂線,垂足分別為點 M 和 N,1,求證： BEBF；（2）特例感知：如圖 2,如 DE 5,CF2,當點 P 在線段 EF 上運動時,求平行四邊形 PMQN 的周長；（3）類比探究：如 DEa,CFb如圖 3,當點 P 在線段 EF 的延長線上運動時,試用含 A.b 的式子表示 QM 與 QN 之間的數量關系,并證明；如圖 4,當點 P 在線段 FE 的延長線上運動時, 請直接用含A.b 的式子表示QM 與 QN 之間的數量關系（不要求寫證明過程）【解答】（1）證明：如圖 1 中,四邊形 ABCD 是矩形,AD BC, DEF EFB ,由翻折可知：D

22、EF BEF, BEF EFB,BEBF （2）解：如圖2 中,連接 BP,作 EHBC 于 H,就四邊形ABHE 是矩形, EHABDEEBBF 5,CF2,ADBC7,AE2,在 Rt ABE 中, A90,BE5,AE2,AB522 2 21 ,S BEFS PBES PBF,PMBE,PNBF,1 2.BF.EH1 2.BE.PM1 2.BF .PN,BEBF ,PM PNEH21,四邊形 PMQN 是平行四邊形,四邊形 PMQN 的周長 2（PM PN） 2 21（3）證明：如圖 3 中,連接 BP,作 EHBC 于 HEDEBBF a,CFb,ADBCab,AEAD DEb,EHA

23、Ba22 b,S EBP S BFPS EBF,BE.PM.BF.PN.BF.EH,BEBF ,PM PNEHa2b2,四邊形 PMQN 是平行四邊形,QN QM（ PM PN）a 2b 22 2如圖 4,當點 P 在線段 FE 的延長線上運動時,同法可證：QM QNPN PM a b7. 2022 濰坊中考 邊長為 6 的等邊ABC 中,點 D,E 分別在 AC,BC 邊上, DE AB,EC2 3. 1如圖 1,將 DEC 沿射線 EC 方向平移,得到DEC,邊 DE與 AC 的交點為 M,邊 CD與 ACC的角平分線交于點N.當 CC多大時,四邊形MCND 為菱形？并說明理由2如圖 2,

24、將 DEC 繞點 C 旋轉 0 360,得到DEC,連接 AD,BE.邊 DE的中點為 P. 在旋轉過程中,AD和 BE有怎樣的數量關系？并說明理由；連接 AP,當 AP 最大時,求 AD的值 結果保留根號 【解析】1當 CC3時,四邊形 MCND 為菱形理由：由平移的性質得 CD CD,DE DE . ABC 為等邊三角形,B ACB60, ACC 18060120. CN 是 ACC的角平分線, NCC 60. AB DE,DE DE, AB DE, DEC B60, DEC NCC , DE CN ,四邊形 MCND 為平行四邊形 ME C MCE 60, NCC NCC60, MCE和

25、 NCC為等邊三角形,MC CE, NCCC .又 EC2 3,CC3, CECC3,MC CN,四邊形MCND 為菱形2ADBE .理由：當180時,由旋轉的性質得ACD BCE .由1知 ACBC,CDCE, ACD BCE, ADBE .當 180時, ADACCD,BEBCCE,即 ADBE .綜上可知, ADBE .如圖,連接 CP,在ACP 中,由三角形三邊關系得APACCP,當 A,C,P 三點共線時 AP 最大此時, AP ACCP. 在 DCE中,由 P 為 DE中點得 APDE,PD 3,CP3, AP6 39. 在 Rt APD 中,由勾股定理得ADAP2PD292（3）

26、22 21. 8. 【探究證明】1某班數學課題學習小組對矩形內兩條相互垂直的線段與矩形兩鄰邊的數量關系進行探究,提出以下問 題,請你給出證明：如圖 1,矩形 ABCD 中, EF GH,EF 分別交 AB,CD 于點 E,F,GH 分別交 AD, BC 于點 G,H.求證：GHAD AB；【結論應用】2如圖2,在滿意 1的條件下,又AMBN,點M,N 分別在邊BC,CD 上如GH11 15,就 BN AM的值為；【聯系拓展】3如圖 3,四邊形 ABCD 中, ABC90, ABAD10,BCCD5,AM DN,點 M,N 分別在邊 DN BC,AB 上,求 AM的值【解析】1 如圖,過點 A

27、作 AP EF,交 CD 于點 P,過點 B 作 BQ GH,交 AD 于點 Q,交 AP 于點 T. 四邊形 ABCD 是矩形, AB DC ,AD BC,四邊形 AEFP 和四邊形 BHGQ 都是平行四邊形,APEF ,GH BQ. GH EF, APBQ, QAT AQT 90. 四邊形 ABCD 是矩形, DAB D90, DAP DPA 90, AQT DPA , PDA QAB ,AP BQAD BA, EF GHAD AB. 11 2 15. 提示： EF GH, AMBN,由 1結論可得EF GHAD AB, BN AMAD AB,BN AM EF GH11 15. 3如圖,過

28、 D 作 AB 的平行線,交 BC 的延長線于 E,作 AF AB 交 ED 延長線于點 F. BAF B E90,四邊形 ABEF 是矩形連接 AC,由已知條件得ADC ABC, ADC ABC90,1 290. 又 2 390, 1 3, ADF DCE ,DE AFDC AD 5 101 2. 設 DEx,就 AF2x, DF10 x. 在 Rt ADF 中, AF2DF2AD2,即2x210 x2100,解得 x14,x20舍去 , AF 2x8,DN AM AF AB 8 104 5. 9. （2022.湖北省仙桃市 .10 分）已知ABC 內接于 O, BAC 的平分線交 O 于點

29、 D,連接 DB,DC（1）如圖,當 BAC120時,請直接寫出線段 AB,AC,AD 之間滿意的等量關系式：ABACAD；（2）如圖,當BAC90時,摸索究線段 AB,AC,AD 之間滿意的等量關系,并證明你的結論；（3）如圖,如 BC5,BD 4,求 的值【解答】解： （1）如圖在 AD 上截取 AEAB,連接 BE, BAC120, BAC 的平分線交 O 于點 D, DBC DAC 60, DCB BAD 60, ABE 和 BCD 都是等邊三角形, DBE ABC,ABBE,BC BD, BED BAC（SAS）,DEAC,ADAEDEABAC；故答案為： ABAC AD（2） ABACAD理由如下：如圖,延長 AB 至點 M,使 BMAC,連接 DM,四邊形 ABDC 內接于 O, MBD ACD, BAD CAD 45,B