1、必修 2 學問點歸納 第一章 空間幾何體 1、空間幾何體的結構：空間幾何體分為多面體和旋轉體和簡潔組合體 常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉體有：圓柱、圓錐、圓臺、球；簡潔組合體的 構成形式：一種是由簡潔幾何體拼接而成,例如課本圖1.1-11 中（ 1）（2）物體表示的幾何體；一種是由簡潔幾何體截去或挖去一部分而成,例如課本圖 1.1-11 中（3）（4）物體表示的幾何體；簡潔組合體棱柱：有兩個面相互平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱；棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,1、空間幾何體的三視圖和直觀圖底面與截面之間的

2、部分, 這樣的多面體叫做棱臺；把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影線交于一點；把在一束平行光線 照耀下的投影叫平行投影,平行投影的投影線是平行的；（1）定義：正視圖：光線從幾何體的前面對后面正投影得到的投影圖；側視圖：光線從幾何體的左面對右面正投影得到的投影圖；俯視圖：光線從幾何體的上面對下面正投影得到的投影圖；幾何體的正視圖、側視圖和俯視圖統稱為幾何體的三視圖；（2）三視圖中反應的長、寬、高的特點： “ 長對正” ,“ 高平齊” ,“ 寬相等”2、空間幾何體的直觀圖 （表示空間圖形的平面圖） . 觀看者站在某一點觀看幾何體, 畫出的圖形 . 3、斜二測畫法的基本步驟：建立適

3、當直角坐標系 xOy （盡可能使更多的點在坐標軸上）建立斜坐標系 x O y ,使 x O y =450（或 1350）,留意它們確定的平面表示水平平面；畫對應圖形,在已知圖形平行于 X 軸的線段,在直觀圖中畫成平行于 X軸,且長度保持不 變；在已知圖形平行于 Y軸的線段,在直觀圖中畫成平行于 Y軸,且長度變為原先的一半；一般地,原圖的面積是其直觀圖面積的 2 2 倍,即 S 原圖2 2 S 直觀4、空間幾何體的表面積與體積圓柱側面積；S 側面2rlrllS側2r.lBrAAB=2 r圓錐側面積：S側面rlAl圖中：扇形的半徑長為l,圓心角為 ,弧 AB的長圓臺側面積：S側面 r l R lO

4、 1 rlhO 2RR O體積公式：dr O11V柱體 S h；V 錐體3 S h；d= R 2-r 21V 臺體 h S 上 S 上 S 下 S 下3球的表面積和體積：S 球 4 R 2,V 球 4R 33 . 一般地,面積比等于相像比的平方,體積比等于相像比的立方；其次章 點、直線、平面之間的位置關系及其論證1、公理 1：假如一條直線上兩點在一個平面內,那么這條直線在此平面內；ABlAl BllA,B公理 1 的作用：判定直線是否在平面內2、公理 2：過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面；C AB如 A,B,C不共線,就 A,B,C確定平面推論 1：過直線的直線外一點有且只有一個平面A

5、l如Al ,就點 A和 l 確定平面推論 2：過兩條相交直線有且只有一個平面Aml如mnA ,就m n確定平面推論 3：過兩條平行直線有且只有一個平面 m n如mn ,就m n確定平面公理 2 及其推論的作用：確定平面；判定多邊形是否為平面圖形的依據；3、公理 3：假如兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線；P LP,Pl且Pl公理 3 作用：（1）判定兩個平面是否相交的依據； （ 2）證明點共線、線共點等；4、公理 4：也叫平行公理,平行于同一條直線的兩條直線平行.ab cbac公理 4 作用：證明兩直線平行；5、定理：空間中假如兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩

6、個角相等或互補；a1 b a a b b且 1 與 2 方向相同 12b a a 1a 2 2b b 方向相同就 方向相反就 a a b b且 1 與 2 方向相反 1 2 180 1 2 1+ 2 180 作用：該定理也叫等角定理,可以用來證明空間中的兩個角相等；6、線線位置關系：平行、相交、異面；ab,abA,ba b異面（1）沒有任何公共點的兩條直線平行aaA（2）有一個公共點的兩條直線相交（3）不同在任何一個平面內的兩條直線叫異面直線A7、線面位置關系：aa1a2A3（1）直線在平面內,直線與平面有很多個公共點；a（2）直線和平面平行,直線與平面無任何公共點；a（3）直線與平面相交,直

7、線與平面有唯獨一個公共點；8、面面位置關系：平行、相交；9、線面平行：（即直線與平面無任何公共點）判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,就該直線與此平面平行；（只需在平面內找一條直線和平面外的直線平行就可以）ab/ba/a證明兩直線平行的主要方法是：三角形中位線定理：三角形中位線平行并等于底邊的一半；平行四邊形的性質：平行四邊形兩組對邊分別平行；線面平行的性質： 假如一條直線平行于一個平面,經過這條直線的平面與這個平面相交,那么這條直線和它們的交線平行；aaabb平行線的傳遞性：ab c bac面面平行的性質：假如一個平面與兩個平行平面相交,那么它們的交線平行；aabb垂直于同一平

8、面的兩直線平行；aabb直線與平面平行的性質：假如一條直線平行于一個平面,經過這條直線的平面與這個平面相交,那么這條直線和它們的交線平行； （上面的）10、面面平行：（即兩平面無任何公共點）（1）判定定理：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行,就這兩個平面平行；a , ba b Aa , b判定定理的推論：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面上的兩條直線分別平行,兩平面平行a babAaa bba b（2）兩平面平行的性質：性質：假如一個平面與兩平行平面都相交,那么它們的交線平行；aabb性質：平行于同一平面的兩平面平行；性質：夾在兩平行平面間的平行線段相等；A CCDACBDB DAB性

9、質：兩平面平行,一平面上的任一條直線與另一個平面平行；aa或aa11、線面垂直：定義：假如一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線,那么就說這條直線和這個平面垂直；判定：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,就該直線與此平面垂直；lmAllnmnm n 性質：垂直于同一個平面的兩條直線平行；aabbl性質：垂直于同始終線的兩平面平行 l12、面面垂直：定義：兩個平面相交,假如它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面相互垂直；判定：一個平面經過另一個平面的一條垂線,就這兩個平面垂直；l l（只需在一個平面內找到另一個平面的垂線就可證明面面垂直）性質：兩個平面相互垂直,就一個平面內垂直于交線的

10、直線垂直于另一個平面；lmmll證明兩直線垂直和主要方法：利用勾股定理證明兩相交直線垂直；利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直；利用線面垂直的定義證明（特殊是證明異面直線垂直）；利用三垂線定理證明兩直線垂直（ “ 三垂” 指的是“ 線面垂”P如 圖：PO OA 是 PA 在平面 上的射影斜 又直 線 a , 且 a OA A 影 O a線 即：線 影垂直 線 斜垂直,反之也成立；“ 線影垂” ,“ 線斜垂” ）a PA利用圓中直徑所對的圓周角是直角,此外仍有正方形、菱形對角線相互垂直等結論；空間角及空間距離的運算1. 異面直線所成角：使異面直線平移后相交形成的夾角,通常在在兩異面直線中的一

11、條上取一點,過該點作另一條直線平行線,如圖：直線 a與b異面, b/b,直線 a與直線 b 的夾角為兩異面直線 a 與 所成的角,異面直線所成角取值范疇是（0 ,90 2. 斜線與平面成成的角：斜線與它在平面上的射影成的角；如圖：PA是平面 的一條斜線, A 為斜足, O為垂足, OA叫斜線 PA在平面 上射影,PAO 為線面角；3. 二面角：從一條直線動身的兩個半平面形成的圖形,如圖為二面角 l,二面角的大小指的是二面角的平面角的大小；二面角的平面角分別在兩個半平面內且角的兩邊與二面角的棱垂直如圖：在二面角-l-中, O棱上一點,OA,OB,且 OA l OB l , 就 AOB 為二面角-

12、l-的平面角；用二面角的平面角的定義求二面角的大小的關鍵點是：明確構成二面角兩個半平面和棱；明確二面角的平面角是哪個？而要想明確二面角的平面角,關鍵是看該角的兩邊是否都和棱垂直；（求空間角的三個步驟是“ 一找”、“ 二證” 、“ 三運算” ）4. 異面直線間的距離：指夾在兩異面直線之間的公垂線段的長度；如圖 PQ 是兩異面直線間的距離（異面直線的公垂線是唯獨的,指與兩異面直線垂直且相交的直線）5. 點到平面的距離：指該點與它在平面上的 射影的連線段的長度；如圖： O為 P 在平面 上的射影,線段 OP的長度為點 P到平面 的距離 求法通常有：定義法和等體積法 等體積法：就是將點到平面的距離看成

13、是三棱錐的一個高；如圖在三棱錐VABC中有：V SABCVA SBCV BSACV CSAB 第三章 直線與方程1. 直線方程的概念：一條直線 l 與一個二元一次方程 F x y , Ax By C 0 有如下兩個對應：直線l上任意一點的坐標 , x y 都滿意方程 F x y , Ax By C 0；以方程 F x y , Ax By C 0 的解為坐標的點 , x y 都在直線 l 上；就稱方程 F x y , Ax By C 0 為直線l的方程,直線l為方程的直線；2. 直線傾斜角的定義：把直線向上的方向與 x 軸的正方向形成的最小正角叫直線的傾斜角；3. 直線傾斜角的范疇：0 180

14、,當直線與 x 軸平行或者是重合時,傾斜角為 04. 直線斜率的定義：傾斜角不為 90 直線,傾斜角的正切值叫直線的斜率；記作 k tan 90 當傾斜角為90時直線的斜率不存在；5、直線l過點P x 1,y 1,P x2,y 2,就直線的斜率為：ky2y 1x 1x2xx 126、直線方程的表示形式：點斜式：yy0kxx0,kxb ,例如直線 l 過定點 0, 2 ,設當斜率不存在時,直線與x 軸垂直,傾斜角為90 ,此時直線方程為：xx ,如右圖,特殊地y 軸所在直線方程為x0；當直線斜率k0時,直線與x軸平行或者是重合直線方程為：yy , x 軸所在的直線方程為y0；斜截式：ykxb（b

15、為直線在y軸上的截距）當直線過y軸上肯定點0, b 時,通常設直線方程為：yl:ykx2；xmya ,例如直線 l 過定點 2, 0 ,當直線過x軸上肯定點（a ,0）時,通常設直線方程為：設l:xmy2yy1xx 1兩點式：y2y1x2x1截距式：xy1a0,b0,ab一般地,問題中顯現兩個截距時,通常設直線方程為xy1 a0,b0；Cab方程中a b 分別表示直線的橫截距和縱截距,一般地,在直線方程中,令y0可求得橫截距a,令x0可求得縱截距b一般式：AxByC02 AB20,全部直線方程都可化為一般式；當B0,直線的斜率kA,當B0時,直線斜率不存在,方程可化為xBA7、兩直線的位置關系

16、的判定：當兩直線傾斜角相等時,即|時,兩直線平行；當兩直線傾斜角滿意|90 時,兩直線垂直；當兩直線傾斜角不相當時,兩直線相交；對于直線l1:yk xb 1,l2:yk xb 有：k ；l1/ /l2k 1k21l和2l相交k1b 1b ；k 1k21. 1l和2l重合b 1b2；l 1l2k k2對于直線l1:A xB yC 10,l2:A xB yC20有：A B ；l1/ /l2A B2A B 11l和2l相交A B2B CB C ；（2）2A B 2A B 1B B20. 1l和2l重合B C2B C ；l1l2A A28、交點與距離公式（1）兩直線l1:A xB yC10,l2:A

17、xB yC20的交點坐標需將兩直線方程組成方程組求解,即：A xB yC10A xB yC20當有唯獨解時,兩直線相交；當無解時,兩直線平行；當有很多個解時,兩直線重合；（2）過兩直線l1:A x 1CB y 1C10,l2:A x 2B y 2C20交點的直線系方程為：A xB y1A xB yC20將含有一個參數的直線方程化為直線系方程的樣式就可解決直線恒過定點問題；（3）兩點間距離公式：l:PP 12Bycx20 x12y2y12Ax02 ABy02C（4）點P x0,y 0到直線Ax距離公式：dB（5）兩平行線間的距離公式：對于直線| C C |dl 1 : A x B y C 1 0

18、, l 2 : A x B y C 2 0,1l與 2l間的距離為：A Bx 1 x 2x2y 1 y 2（6）線段中點坐標公式：y2,A x y 1 , B x 2 , y 2 ,M x y 是線段 AB的中點；第四章 圓與方程1、圓的第肯定義：到定點的距離等于定長的點的集合 . P M x y , | MO | r 圓的其次定義：到兩個定點的距離之比等于常數（不等于1）的點的集合；2、圓的標準方程：xxa2Dxyb2r ,圓心為 , a b ,半徑為 r ；3、圓的一般方程：2y2EyF0D2E24F0；D,Ery1D2E24F；2圓心為22,半徑y2DxEyF0表示點D,E當D2E24F

19、0時,方程x222當D2E24 F0時,方程x22DxEyF0不表示任何圖形；4、點P x,y與圓xa2yb2r 的位置關系的判定：（1）當P x0,y 0滿意x 0a2y0b2r 時點 P在圓上；（2）當P x0,y 0滿意x 0a2y0b2r 時點 P 在圓內；（3）當P x0,y 0滿意x 0a2y0b2r 時點 P 在圓外；5、求圓方程的方法,主要有兩種：（1）待定系數法：使用待定系數法求圓方程的一般步驟：依據提設,挑選標準方程或一般方程；依據條件列出關于 a、b、r 或 D、E、F 的方程組；解出 a、b、r 或 D、E、F,代入標準方程或一般方程；（2）利用三角形外心的定義及其垂徑

20、定理求圓心坐標；三角形外心的定義：三角形三邊垂直平分線的交點就是外心；垂徑定理：垂直于弦的半徑平分弦并平分弦所對的弧；弦的垂直平分線必經過圓心,因此求出兩條弦的垂直平分線方程,聯立解方程組求得圓心坐標,而圓心到圓上任意一點的距離都等于半徑,最終寫出圓的標準方程；6、直線與圓的位置關系的判定：幾何法（ 1）相切：圓心到直線的距離d r ；l:Ax+By+C=00（2）相交：圓心到直線的距離dr ；（3）相離：圓心到直線的距離dr ；l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0d r Ca,b |Ax0+By0+C|圓C:（x-a2+y-b d=2=r A 2+B 2 2d rCa,b |Ax0+

21、By0+C|圓C:（x-a2+y-b d=2=r A 2+B 2 2drd=|Ax0+By 0+C|Ca,bA2+B2圓 C:（x-a2+y-b2=r2 相離： dr相切： d=r相切： dr 1+r 2外切 :有一個公共點,相交 :有兩個公共點,圓心距 |r 1-r2 | C1C2 r1+r 2圓心距 C 1C 2 r1+r 2C1r 1r2C 2C1r 1r2C 2C1r 1r 2C 2圓 C1:x 圓 C2:x2+y 2+D 1x+E1y+F 1=02+y 2+D 2x+E2y+F 2=0圓 C1:x 圓 C2:x2+y 2+D 1x+E 1y+F1=02+y 2+D 2x+E 2y+F

22、2=0圓 C1:x 2 +y 2 +D1x+E 1y+F 1=0圓 C2:x 2 +y 2 +D2x+E 2y+F 2=0 x2y2D xE yF 10代數法 ; 將兩圓的方程組成方程組x2y2D xE yF 20（1）如方程有一個解,兩圓相切（內切或外切）；（2）如方程有兩個不同解,兩圓相交；（3）如方程有無解,兩圓外離或內含特殊地,方程x2x2y2yD xE yF 1F 1x2y2D xE yF0表示過兩圓交點的圓系方程；02D xE y在這個方程組中x2y2D xE yF 20用消去平方項后得一個直線方程,該直線方程過兩圓的交點,因此該直線方程也叫兩圓的公共弦所在的直線方程；如圓心C 到

23、公共弦的距離等于半徑1r,或者是圓心C 到公共弦的距離等于半徑2r,就兩圓相切（外切或者內切）；如圓心C 到公共弦的距離等于小于1r,或者是圓心C 到公共弦的距離小于半徑2r,就兩圓相交；8、坐標法是解決幾何問題的重要方法,其步驟是：第一步： 建立適當的平面直角坐標系, 用坐標和方程表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題 轉化為代數問題；其次步：通過代數運算,解決代數問題；第三步：將代數運算結果“ 翻譯” 成幾何結論9、 空間直角坐標系 : 確定空間直角坐標系中點的坐標的學問要點 1. 空間直角坐標系：從空間某一個定點 O 引三條相互垂直且有相同單位長度的數軸 Ox , Oy Oz,x 軸、y軸、 z 軸叫做坐標軸 . 通 這樣的坐標系叫做空間直角坐標系 O x