1、高中數學平面解析幾何知識點歸納高中數學平面解析幾何知識點歸納高中數學平面解析幾何知識點有哪些你知道嗎?近年的高中數學解答題多呈現為多問漸難式的“梯度題，解答時不必一氣審到底，應走一步解決一步，一起來看看高中數學平面解析幾何知識點，歡迎查閱!高中數學平面解析幾何知識點平面解析幾何初步：直線與方程是解析幾何的基礎，是高考重點考察的內容，單獨考察多以選擇題、填空題出現;間接考察則以直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線等知識綜合為主，多為中、高難度試題，往往作為把關題出如今高考題目中。直接考察主要考察直線的傾斜角、直線方程，兩直線的位置關系，點到直線的距離，對稱問題等，間接考察一定會出如今高考試卷中，主要考

2、察直線與圓錐曲線的綜合問題。圓的問題主要涉及圓的方程、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系以及圓的集合性質的討論，難度中等或偏易，多以選擇題、填空題的形式出現，其中熱門為圓的切線問題。空間直角坐標系是平面直角坐標系在空間的推廣，在解決空間問題中具有重要的作業，空間向量的坐標運算就是在空間直角坐標系下實現的。空間直角坐標系也是解答立體幾何問題的重要工具，一般是與空間向量在坐標運算結合起來運用，也不排除出現考察基礎知識的選擇題和填空題。高中數學平面解析幾何知識點平面解析幾何，又稱解析幾何(英語：Analyticgeometry)、坐標幾何(英語：Coordinategeometry)或卡氏幾何(英

3、語：Cartesiangeometry)，早先被叫作笛卡兒幾何，是一種借助于解析式進行圖形研究的幾何學分支。解析幾何通常使用二維的平面直角坐標系研究直線、圓、圓錐曲線、擺線、星形線等各種一般平面曲線，使用三維的空間直角坐標系來研究平面、球等各種一般空間曲面，同時研究它們的方程，并定義一些圖形的概念和參數。平面解析幾何基本理論坐標在解析幾何當中，平面給出了坐標系，即每個點都有對應的一對實數坐標。最常見的是笛卡兒坐標系，其中，每個點都有x-坐標對應水平位置，和y-坐標對應垂直位置。這些常寫為有序對(x,y)。這種系統可以以被用在三維幾何當中，空間中的每個點都以多元組呈現(x,y,z)。坐標系也以其

4、它形式出現。在平面中最常見的另類坐標系是極坐標系，其中每個點都以從原點出發的半徑r和角度表示。在三維空間中，最常見的另類坐標系統是圓柱坐標系和球坐標系。曲線方程在解析幾何當中，任何方程都包含確定面的子集，即方程的解集。例如，方程y=x在平面上對應的是所有x-坐標等于y-坐標的解集。這些點聚集成為一條直線，y=x被稱為這道方程的直線。總而言之，線性方程中x和y定義線，一元二次方程定義圓錐曲線，更復雜的方程則闡述更復雜的形象。通常，一個簡單的方程對應平面上的一條曲線。但這不一定如此：方程x=x對應整個平面，方程x2+y2=0只對應(0,0)一點。在三維空間中，一個方程通常對應一個曲面，而曲線經常代

5、表兩個曲面的交集，或一條參數方程。方程x2+y2=r代表了是半徑為r且圓心在(0,0)上的所有圓。距離和角度在解析幾何當中，距離、角度等幾何概念是用公式來表達的。這些定義與背后的歐幾里得幾何所蘊含的主旨相符。例如，使用平面笛卡兒坐標系時，兩點A(x1,y1),B(x2,y2)之間的距離d(又寫作|AB|被定義為上述可被以為是一種勾股定理的形式。類似地，直線與水平線所成的角能夠定義為其中m是線的斜率。變化變化能夠使母方程變為新方程，但保持原有的特性。交集主題問題編輯解析幾何中的重要問題：向量空間平面的定義距離問題點積求兩個向量的角度外積求一向量垂直于兩個已知向量(以及它們的空間體積)平面解析幾何

6、初步綜合檢測一、選擇題(本大題共12小題，在每題給出的四個選項中，只要一項是符合題目要求的)1.直線3ax-y-1=0與直線(a-23)x+y+1=0垂直，則a的值是()A.-1或13B.1或13C.-13或-1D.-13或1解析：選D.由3a(a-23)+(-1)1=0，得a=-13或a=1.2.直線l1：ax-y+b=0，l2：bx-y+a=0(a0，b0，ab)在同一坐標系中的圖形大致是圖中的()解析：選C.直線l1：ax-y+b=0，斜率為a，在y軸上的截距為b，設k1=a，m1=b.直線l2：bx-y+a=0，斜率為b，在y軸上的截距為a，設k2=b，m2=a.由A知：由于l1l2，

7、k1=k20，m10，即a=b0，b0，矛盾.由B知：k1k2，m10，即ab，b0，矛盾.由C知：k10，m20，即a0，能夠成立.由D知：k10，m2m1，即a0，ab，矛盾.3.已知點A(-1,1)和圓C：(x-5)2+(y-7)2=4，一束光線從A經x軸反射到圓C上的最短路程是()A.62-2B.8C.46D.10解析：選B.點A關于x軸對稱點A(-1，-1)，A與圓心(5,7)的距離為5+12+7+12=10.所求最短路程為10-2=8.4.圓x2+y2=1與圓x2+y2=4的位置關系是()A.相離B.相切C.相交D.內含解析：選D.圓x2+y2=1的圓心為(0,0)，半徑為1，圓x

8、2+y2=4的圓心為(0,0)，半徑為2，則圓心距02-1=1，所以兩圓內含.5.已知圓C：(x-a)2+(y-2)2=4(a0)及直線l：x-y+3=0，當直線l被圓C截得的弦長為23時，a的值等于()A.2B.2-1C.2-2D.2+1解析：選B.圓心(a,2)到直線l：x-y+3=0的距離d=|a-2+3|2=|a+1|2，依題意|a+1|22+2322=4，解得a=2-1.6.與直線2x+3y-6=0關于點(1，-1)對稱的直線是()A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0解析：選D.所求直線平行于直線2x+3y-6=0，設所求直線方程

9、為2x+3y+c=0，由|2-3+c|22+32=|2-3-6|22+32，c=8，或c=-6(舍去)，所求直線方程為2x+3y+8=0.7.若直線y-2=k(x-1)與圓x2+y2=1相切，則切線方程為()A.y-2=34(1-x)B.y-2=34(x-1)C.x=1或y-2=34(1-x)D.x=1或y-2=34(x-1)解析：選B.數形結合答案容易錯選D，但要注意直線的表達式是點斜式，講明直線的斜率存在，它與直線過點(1,2)要有所區分.8.圓x2+y2-2x=3與直線y=ax+1的公共點有()A.0個B.1個C.2個D.隨a值變化而變化解析：選C.直線y=ax+1過定點(0,1)，而該

10、點一定在圓內部.9.過P(5,4)作圓C：x2+y2-2x-2y-3=0的切線，切點分別為A、B，四邊形PACB的面積是()A.5B.10C.15D.20解析：選B.圓C的圓心為(1,1)，半徑為5.|PC|=5-12+4-12=5，|PA|=|PB|=52-52=25，S=122552=10.10.若直線mx+2ny-4=0(m、nR，nm)始終平分圓x2+y2-4x-2y-4=0的周長，則mn的取值范圍是()A.(0,1)B.(0，-1)C.(-，1)D.(-，-1)解析：選C.圓x2+y2-4x-2y-4=0可化為(x-2)2+(y-1)2=9，直線mx+2ny-4=0始終平分圓周，即直

11、線過圓心(2,1)，所以2m+2n-4=0，即m+n=2，mn=m(2-m)=-m2+2m=-(m-1)2+11，當m=1時等號成立，此時n=1，與“mn矛盾，所以mn1.11.已知直線l：y=x+m與曲線y=1-x2有兩個公共點，則實數m的取值范圍是()A.(-2,2)B.(-1,1)C.1，2)D.(-2，2)解析：選C.曲線y=1-x2表示單位圓的上半部分，畫出直線l與曲線在同一坐標系中的圖象，可觀察出僅當直線l在過點(-1,0)與點(0,1)的直線與圓的上切線之間時，直線l與曲線有兩個交點.當直線l過點(-1,0)時，m=1;當直線l為圓的上切線時，m=2(注：m=-2，直線l為下切線

12、).12.過點P(-2,4)作圓O：(x-2)2+(y-1)2=25的切線l，直線m：ax-3y=0與直線l平行，則直線l與m的距離為()A.4B.2C.85D.125解析：選A.點P在圓上，切線l的斜率k=-1kOP=-11-42+2=43.直線l的方程為y-4=43(x+2)，即4x-3y+20=0.又直線m與l平行，直線m的方程為4x-3y=0.故兩平行直線的距離為d=|0-20|42+-32=4.二、填空題(本大題共4小題，請把答案填在題中橫線上)13.過點A(1，-1)，B(-1,1)且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是_.解析：易求得AB的中點為(0,0)，斜率為-1，進而其垂

13、直平分線為直線y=x，根據圓的幾何性質，這條直線應該過圓心，將它與直線x+y-2=0聯立得到圓心O(1,1)，半徑r=|OA|=2.答案：(x-1)2+(y-1)2=414.過點P(-2,0)作直線l交圓x2+y2=1于A、B兩點，則|PA|PB|=_.解析：過P作圓的切線PC，切點為C，在RtPOC中，易求|PC|=3，由切割線定理，|PA|PB|=|PC|2=3.答案：315.若垂直于直線2x+y=0，且與圓x2+y2=5相切的切線方程為ax+2y+c=0，則ac的值為_.解析：已知直線斜率k1=-2，直線ax+2y+c=0的斜率為-a2.兩直線垂直，(-2)(-a2)=-1，得a=-1.

14、圓心到切線的距離為5，即|c|5=5，c=5，故ac=5.答案：516.若直線3x+4y+m=0與圓x2+y2-2x+4y+4=0沒有公共點，則實數m的取值范圍是_.解析：將圓x2+y2-2x+4y+4=0化為標準方程，得(x-1)2+(y+2)2=1，圓心為(1，-2)，半徑為1.若直線與圓無公共點，即圓心到直線的距離大于半徑，即d=|31+4-2+m|32+42=|m-5|51，m0或m10.答案：(-，0)(10，+)三、解答題(本大題共6小題，解答時應寫出必要的文字講明、證實經過或演算步驟)17.三角形ABC的邊AC，AB的高所在直線方程分別為2x-3y+1=0，x+y=0，頂點A(1

15、,2)，求BC邊所在的直線方程.解：AC邊上的高線2x-3y+1=0，所以kAC=-32.所以AC的方程為y-2=-32(x-1)，即3x+2y-7=0，同理可求直線AB的方程為x-y+1=0.下面求直線BC的方程，由3x+2y-7=0，x+y=0，得頂點C(7，-7)，由x-y+1=0，2x-3y+1=0，得頂點B(-2，-1).所以kBC=-23，直線BC：y+1=-23(x+2)，即2x+3y+7=0.18.一束光線l自A(-3,3)發出，射到x軸上，被x軸反射后與圓C：x2+y2-4x-4y+7=0有公共點.(1)求反射光線通過圓心C時，光線l所在直線的方程;(2)求在x軸上，反射點M

16、的橫坐標的取值范圍.解：圓C的方程可化為(x-2)2+(y-2)2=1.(1)圓心C關于x軸的對稱點為C(2，-2)，過點A，C的直線的方程x+y=0即為光線l所在直線的方程.(2)A關于x軸的對稱點為A(-3，-3)，設過點A的直線為y+3=k(x+3).當該直線與圓C相切時，有|2k-2+3k-3|1+k2=1，解得k=43或k=34，所以過點A的圓C的兩條切線分別為y+3=43(x+3)，y+3=34(x+3).令y=0，得x1=-34，x2=1，所以在x軸上反射點M的橫坐標的取值范圍是-34，1.19.已知圓x2+y2-2x-4y+m=0.(1)此方程表示圓，求m的取值范圍;(2)若(

17、1)中的圓與直線x+2y-4=0相交于M、N兩點，且OMON(O為坐標原點)，求m的值;(3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程.解：(1)方程x2+y2-2x-4y+m=0，可化為(x-1)2+(y-2)2=5-m，此方程表示圓，5-m0，即m5.(2)x2+y2-2x-4y+m=0，x+2y-4=0，消去x得(4-2y)2+y2-2(4-2y)-4y+m=0，化簡得5y2-16y+m+8=0.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1+y2=165，y1y2=m+85.由OMON得y1y2+x1x2=0即y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0，16-8(y1+y2)+5y1y

18、2=0.將兩式代入上式得16-8165+5m+85=0，解之得m=85.(3)由m=85，代入5y2-16y+m+8=0，化簡整理得25y2-80y+48=0，解得y1=125，y2=45.x1=4-2y1=-45，x2=4-2y2=125.M-45，125，N125，45，MN的中點C的坐標為45，85.又|MN|=125+452+45-1252=855，所求圓的半徑為455.所求圓的方程為x-452+y-852=165.20.已知圓O：x2+y2=1和定點A(2,1)，由圓O外一點P(a，b)向圓O引切線PQ，切點為Q，|PQ|=|PA|成立，如圖.(1)求a、b間關系;(2)求|PQ|的

19、最小值;(3)以P為圓心作圓，使它與圓O有公共點，試在其中求出半徑最小的圓的方程.解：(1)連接OQ、OP，則OQP為直角三角形，又|PQ|=|PA|，所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2=1+|PA|2，所以a2+b2=1+(a-2)2+(b-1)2，故2a+b-3=0.(2)由(1)知，P在直線l：2x+y-3=0上，所以|PQ|min=|PA|min，為A到直線l的距離，所以|PQ|min=|22+1-3|22+12=255.(或由|PQ|2=|OP|2-1=a2+b2-1=a2+9-12a+4a2-1=5a2-12a+8=5(a-1.2)2+0.8，得|PQ|min=255.)(3)

20、以P為圓心的圓與圓O有公共點，半徑最小時為與圓O相切的情形，而這些半徑的最小值為圓O到直線l的距離減去圓O的半徑，圓心P為過原點與l垂直的直線l與l的交點P0，所以r=322+12-1=355-1，又l：x-2y=0，聯立l：2x+y-3=0得P0(65，35).所以所求圓的方程為(x-65)2+(y-35)2=(355-1)2.21.有一圓與直線l：4x-3y+6=0相切于點A(3,6)，且經過點B(5,2)，求此圓的方程.解：法一：由題意可設所求的方程為(x-3)2+(y-6)2+(4x-3y+6)=0，又由于此圓過點(5,2)，將坐標(5,2)代入圓的方程求得=-1，所以所求圓的方程為x

21、2+y2-10 x-9y+39=0.法二：設圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，則圓心為C(a，b)，由|CA|=|CB|，CAl，得3-a2+6-b2=r2，5-a2+2-b2=r2，b-6a-343=-1，解得a=5，b=92，r2=254.所以所求圓的方程為(x-5)2+(y-92)2=254.法三：設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，由CAl，A(3,6)，B(5,2)在圓上，得32+62+3D+6E+F=0，52+22+5D+2E+F=0，-E2-6-D2-343=-1，解得D=-10，E=-9，F=39.所以所求圓的方程為x2+y2-10 x-9y+39=0.法四：設圓心為C，則CAl，又設AC與圓的另一交點為P，則CA的方程為y-6=-34(x-3)，即3x+4y-33=0.又由于kAB=6-23-5=-2，所以kBP=12，所以直線BP的方程為x-2y-1=0.解方程組3x+4y-33=0，x-2y-1=0，得x=7，y=3.所以P(7,3).所以圓心為AP的中點(5，92)，半徑為|AC|=52.所以所求圓的方程為(x-5)2+(y-92)2=254.22.如圖在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2：(x-4)