1、2023學年高考數學模擬測試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1 “”是“函數的圖象關于直線對稱”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件2已知函數，當時，的取值范圍為，則實數m的取值范圍是（ ）ABCD3設

2、，則的大小關系是( )ABCD4復數，是虛數單位，則下列結論正確的是AB的共軛復數為C的實部與虛部之和為1D在復平面內的對應點位于第一象限5 “”是“，”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件6已知為等腰直角三角形，為所在平面內一點，且，則（ ）ABCD7已知平面向量滿足，且，則所夾的銳角為（ ）ABCD08已知集合，則中元素的個數為( )A3B2C1D09平行四邊形中，已知，點、分別滿足，且，則向量在上的投影為（ ）A2BCD10已知直線：過雙曲線的一個焦點且與其中一條漸近線平行，則雙曲線的方程為（ ）ABCD11如圖是計算值的一個程序框圖，其中判斷框內應填

3、入的條件是( )ABCD12已知關于的方程在區間上有兩個根，且，則實數的取值范圍是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設函數，其中若存在唯一的整數使得，則實數的取值范圍是_14已知函數恰好有3個不同的零點，則實數的取值范圍為_15數列滿足遞推公式，且，則_.16已知函數，（其中e為自然對數的底數），若關于x的方程恰有5個相異的實根，則實數a的取值范圍為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，四邊形為菱形，為與的交點，平面.（1）證明：平面平面；（2）若，三棱錐的體積為，求菱形的邊長.18（12分）己知函數.（1）當時，

4、求證：；（2）若函數，求證：函數存在極小值.19（12分）已知（1）已知關于的不等式有實數解，求的取值范圍；（2）求不等式的解集20（12分）已知集合，.（1）若，則；（2）若，求實數的取值范圍.21（12分）在直角坐標系中，點的坐標為，直線的參數方程為（為參數，為常數，且）.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位，建立極坐標系，圓的極坐標方程為.設點在圓外.（1）求的取值范圍.（2）設直線與圓相交于兩點，若，求的值.22（10分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通

5、方程和曲線的直角坐標方程；（2）若點在曲線上，點在曲線上，求的最小值及此時點的坐標.2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【答案解析】先求解函數的圖象關于直線對稱的等價條件，得到，分析即得解.【題目詳解】若函數的圖象關于直線對稱，則，解得，故“”是“函數的圖象關于直線對稱”的充分不必要條件故選：A【答案點睛】本題考查了充分不必要條件的判斷，考查了學生邏輯推理，概念理解，數學運算的能力，屬于基礎題.2、C【答案解析】求導分析函數在時的單調性、極值，可得時，滿足題意，再在時，求解的x的

6、范圍，綜合可得結果.【題目詳解】當時，令，則；，則，函數在單調遞增，在單調遞減.函數在處取得極大值為，時，的取值范圍為，又當時，令，則，即，綜上所述，的取值范圍為.故選C.【答案點睛】本題考查了利用導數分析函數值域的方法，考查了分段函數的性質，屬于難題.3、A【答案解析】選取中間值和，利用對數函數，和指數函數的單調性即可求解.【題目詳解】因為對數函數在上單調遞增,所以,因為對數函數在上單調遞減,所以，因為指數函數在上單調遞增,所以,綜上可知,.故選:A【答案點睛】本題考查利用對數函數和指數函數的單調性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運用能力;選取合適的中間值是求解本題的關鍵;屬于中檔題、

7、常考題型.4、D【答案解析】利用復數的四則運算，求得，在根據復數的模，復數與共軛復數的概念等即可得到結論【題目詳解】由題意，則，的共軛復數為，復數的實部與虛部之和為，在復平面內對應點位于第一象限，故選D【答案點睛】復數代數形式的加減乘除運算的法則是進行復數運算的理論依據,加減運算類似于多項式的合并同類項,乘法法則類似于多項式乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實數化，其次要熟悉復數相關基本概念，如復數的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為5、B【答案解析】先求出滿足的值，然后根據充分必要條件的定義判斷【題目詳解】由得，即， ，因此“”是“，”的必要不充分條件故選：B【答案點睛

8、】本題考查充分必要條件，掌握充分必要條件的定義是解題基礎解題時可根據條件與結論中參數的取值范圍進行判斷6、D【答案解析】以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標系，結合向量的坐標運算，可求得點的坐標，進而求得，由平面向量的數量積可得答案.【題目詳解】如圖建系，則，由，易得，則.故選：D【答案點睛】本題考查平面向量基本定理的運用、數量積的運算，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.7、B【答案解析】根據題意可得，利用向量的數量積即可求解夾角.【題目詳解】因為即而所以夾角為故選：B【答案點睛】本題考查了向量數量積求夾角，需掌握向量數量積的定義求法，屬于基礎題.8、C【答案

9、解析】集合表示半圓上的點，集合表示直線上的點，聯立方程組求得方程組解的個數，即為交集中元素的個數.【題目詳解】由題可知：集合表示半圓上的點，集合表示直線上的點，聯立與，可得，整理得，即，當時，不滿足題意；故方程組有唯一的解.故.故選：C.【答案點睛】本題考查集合交集的求解，涉及圓和直線的位置關系的判斷，屬基礎題.9、C【答案解析】將用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【題目詳解】解：，得，則向量在上的投影為.故選：C.【答案點睛】本題考查向量的幾何意義，考查向量的線性運算，將用向量和表示是關鍵，是基礎題.10、A【答案解析】根據直線：過雙曲線的一個焦點，得，又和其中一條漸近線平行

10、，得到，再求雙曲線方程.【題目詳解】因為直線：過雙曲線的一個焦點，所以，所以，又和其中一條漸近線平行，所以，所以，所以雙曲線方程為.故選：A.【答案點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.11、B【答案解析】根據計算結果，可知該循環結構循環了5次；輸出S前循環體的n的值為12，k的值為6，進而可得判斷框內的不等式【題目詳解】因為該程序圖是計算值的一個程序框圈所以共循環了5次所以輸出S前循環體的n的值為12，k的值為6，即判斷框內的不等式應為或 所以選C【答案點睛】本題考查了程序框圖的簡單應用，根據結果填寫判斷框，屬于基礎題12、C【答案解析】先利用三角恒等變換將

11、題中的方程化簡，構造新的函數，將方程的解的問題轉化為函數圖象的交點問題，畫出函數圖象，再結合，解得的取值范圍.【題目詳解】由題化簡得，作出的圖象，又由易知故選：C.【答案點睛】本題考查了三角恒等變換，方程的根的問題，利用數形結合法，求得范圍.屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】根據分段函數的解析式畫出圖像,再根據存在唯一的整數使得數形結合列出臨界條件滿足的關系式求解即可.【題目詳解】解：函數,且畫出的圖象如下：因為,且存在唯一的整數使得,故與在時無交點,得；又,過定點又由圖像可知,若存在唯一的整數使得時,所以,存在唯一的整數使得所以.根據圖像可知,當時

12、, 恒成立.綜上所述, 存在唯一的整數使得,此時故答案為：【答案點睛】本題主要考查了數形結合分析參數范圍的問題,需要根據題意分別分析定點右邊的整數點中為滿足條件的唯一整數,再數形結合列出時的不等式求的范圍.屬于難題.14、【答案解析】恰好有3個不同的零點恰有三個根，然后轉化成求函數值域即可.【題目詳解】解：恰好有3個不同的零點恰有三個根，令，在遞增；，遞減，遞增，時，在有一個零點，在有2個零點；故答案為：.【答案點睛】已知函數的零點個數求參數的取值范圍是重點也是難點，這類題一般用分離參數的方法，中檔題.15、2020【答案解析】可對左右兩端同乘以得，依次寫出，累加可得，再由得，代入即可求解【題

13、目詳解】左右兩端同乘以有，從而，將以上式子累加得.由得.令，有.故答案為：2020【答案點睛】本題考查數列遞推式和累加法的應用，屬于基礎題16、【答案解析】作出圖象，求出方程的根，分類討論的正負，數形結合即可.【題目詳解】當時，令，解得，所以當時，則單調遞增，當時，則單調遞減，當時，單調遞減，且，作出函數的圖象如圖：（1）當時，方程整理得，只有2個根，不滿足條件；（2）若，則當時，方程整理得，則，此時各有1解，故當時，方程整理得，有1解同時有2解，即需，因為（2），故此時滿足題意；或有2解同時有1解，則需，由（1）可知不成立；或有3解同時有0解，根據圖象不存在此種情況，或有0解同時有3解，則，

14、解得，故，（3）若，顯然當時，和均無解，當時，和無解，不符合題意綜上：的范圍是，故答案為：，【答案點睛】本題主要考查了函數零點與函數圖象的關系，考查利用導數研究函數的單調性，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）1【答案解析】（1）由菱形的性質和線面垂直的性質，可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得證；（2）設，分別求得，和的長，運用三棱錐的體積公式，計算可得所求值【題目詳解】（1）四邊形為菱形，平面，又，平面，又平面，平面平面；（2）設，在菱形中，由，可得，在中，可得，由面，

15、知，為直角三角形，可得，三棱錐的體積，菱形的邊長為1【答案點睛】本題考查面面垂直的判定，注意運用線面垂直轉化，考查三棱錐的體積的求法，考查化簡運算能力和推理能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平18、（1）證明見解析（2）證明見解析【答案解析】（1）求導得，由，且，得到，再利用函數在上單調遞減論證.（2）根據題意，求導，令，易知； ，易知當時，；當時，函數單調遞增，而，又，由零點存在定理得，使得，使得，有從而得證.【題目詳解】（1）依題意，因為，且，故，故函數在上單調遞減，故.（2）依題意，令，則；而，可知當時，故函數在上單調遞增，故當時，；當時，函數單調遞增，而，又，故，使得，故，使得，

16、即函數單調遞增，即單調遞增；故當時，故函數在上單調遞減，在上單調遞增，故當時，函數有極小值.【答案點睛】本題考查利用導數研究函數的性質，還考查推理論證能力以及函數與方程思想，屬于難題.19、（1）；（2）.【答案解析】（1）依據能成立問題知，然后利用絕對值三角不等式求出的最小值，即求得的取值范圍；（2）按照零點分段法解含有兩個絕對值的不等式即可。【題目詳解】因為不等式有實數解，所以因為，所以故。當時，所以，故當時，所以，故當時，所以，故綜上，原不等式的解集為。【答案點睛】本題主要考查不等式有解問題的解法以及含有兩個絕對值的不等式問題的解法，意在考查零點分段法、絕對值三角不等式和轉化思想、分類討

17、論思想的應用。20、（1）；（2）【答案解析】（1）將代入可得集合B，解對數不等式可得集合A，由并集運算即可得解.（2）由可知B為A的子集，即；當符合題意，當B不為空集時，由不等式關系即可求得的取值范圍.【題目詳解】（1）若，則，依題意， 故；（2）因為，故；若，即時，符合題意；若，即時，解得；綜上所述，實數的取值范圍為.【答案點睛】本題考查了集合的并集運算，由集合的包含關系求參數的取值范圍，注意討論集合是否為空集的情況，屬于基礎題.21、（1）（2）【答案解析】（1）首先將曲線化為直角坐標方程，由點在圓外，則解得即可；（2）將直線的參數方程代入圓的普通方程，設、對應的參數分別為，列出韋達定理，由及在圓的上方，得，即即可解得；【題目詳解】解：（1）曲線的直角坐標方程為.由點在圓外，得點的坐標為，結合，解得.故的取值范圍是.（2）由直線的參數方程，得直線過點，傾斜角為，將直線的參數方程代入，并整理得，其中.設、對應的參數分別為，則，.由及在圓的上方，得，即，代入，得，消去，得，結合，解得.故的值是.【答案點睛】本題考查極坐標方程化為直角坐標方程，直線的參數方程的幾何意義的