1、一元二次方程錯例探究優秀獲獎科研論文 一元二次方程在初中數學教學中應用非常廣泛，牽涉的知識點較多，也是各地中考考題中重點考查的一個知識點.然而在解題過程中，學生常會因為概念不清、考慮不周而出現忽視二次項系數不為0、對未知數及其系數的取值范圍考慮不周、忽視一元二次方程根的判別式、忽視實際問題中檢驗方程解的合理性等問題.因此，筆者就一元二次方程中常見的錯誤解法進行分析，以求提高學生的解題能力. 一、忽視二次項系數不能為0 例1已知：關于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有實根，求k的取值范圍. 錯解：方程有實根， =b2-4ac0， 即（-2）2-4k0，解得k1. 分析：對于一元二次方程來講，

2、學生化成一般式ax2+bx+c=0后，忽視了“二次項系數不為0”的條件，即a0.如果忽視了一元二次方程中二次項系數不為0的這一條件，那么當a=0時，此時方程也就成了一個一元一次方程了.而本題已點明是一個一元二次方程，所以本題的正解應為k1且k0. 二、對未知數及其系數的取值范圍考慮不周 例2關于x的方程mx2-3x+2=0有實數根，求m的值. 錯解：=b2-4ac0， （-3）2-4m20，解得m98. 二次項系數m0， m98且m0. 分析：此題中，學生考慮到了一元二次方程中二次項系數不為0的這一條件，但此題并沒有明確指明是二次方程.如果題目改成：“關于x的二次方程mx2-3x+2=0有實數

3、根，求m的值”，那么學生的上述解題過程完全正確.因此在本題中，學生默認了它是二次方程，卻忽視了也有一次方程的可能，即當m=0時，原方程化為-3x+2=0，有實數根x=23.因此，本題的正解應為m98即可. 三、忽視一元二次方程根的判別式 例3關于x的方程x2-（m+3）x+2m+3=0的兩實數根的平方和等于11，求m的值. 錯解：設方程的兩根分別為x1和x2. 根據題意得x12+x22=11.（1） x1+x2=-ba， x1+x2=m+3.（2） x1x2=-ca， x1x2=-（2m+3）.（3） 根據（1）（2）（3）得（m+3）2-2（2m+3）=11，解得m=2或m=-4. 分析：此

4、方程雖有二項系數10，但由于題目中已明確有實數根，那么必須符合一元二次方程有實數根的先決條件0.當m=2時，= （m+3）2-4（2m+3） =-30，方程有兩個不相等的實數根.因此在本題中，m只能等于-4. 四、忽視檢驗方程解的合理性 例4李奶奶想利用家中原本已有圍墻（長為25m）的其中一段，再砌三面墻，圍成一個面積為300m2的矩形花園.目前李奶奶已備足可以徹50m長的圍墻材料，請您為李奶奶設計一下這個矩形花園的長和寬吧. 錯解：假設截取原本已有圍墻的長度為x.矩形花園的另一條長度應為（50-x）2. 根據題意得x（50-x2）=300，解得x1=30，x2=20. 當x=30時，另一邊長

5、為10m； 當x=20時，另一邊長為15m. 答：李奶奶可以在自家已建圍墻上截取30m長，圍成長為30m、寬為10m的矩形花園；或截取20m，圍成長為20m、寬為15m的矩形花園. 分析：很多學生做題做到這一步后就算完成了，他們關注的只是將應用題轉化為一元二次方程，并求出方程的解，卻忽視了方程解是否符合題意或是否存在實際意義.本題中，長為30m、寬為10m的矩形花園，需要在李奶奶家已有的圍墻上截取長度為30m，顯然與題目不符，應舍去. 上述一元二次方程題型是筆者在多年教學實踐中總結出來的學生較易犯錯的幾個案例.為了讓學生能很好地掌握和應用一元二次方程這部分知識，教師應該幫助學生以錯為鑒，才能減

6、少解題時的失誤，從而提高數學解題能力. 一元二次方程在初中數學教學中應用非常廣泛，牽涉的知識點較多，也是各地中考考題中重點考查的一個知識點.然而在解題過程中，學生常會因為概念不清、考慮不周而出現忽視二次項系數不為0、對未知數及其系數的取值范圍考慮不周、忽視一元二次方程根的判別式、忽視實際問題中檢驗方程解的合理性等問題.因此，筆者就一元二次方程中常見的錯誤解法進行分析，以求提高學生的解題能力. 一、忽視二次項系數不能為0 例1已知：關于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有實根，求k的取值范圍. 錯解：方程有實根， =b2-4ac0， 即（-2）2-4k0，解得k1. 分析：對于一元二次方程來講

7、，學生化成一般式ax2+bx+c=0后，忽視了“二次項系數不為0”的條件，即a0.如果忽視了一元二次方程中二次項系數不為0的這一條件，那么當a=0時，此時方程也就成了一個一元一次方程了.而本題已點明是一個一元二次方程，所以本題的正解應為k1且k0. 二、對未知數及其系數的取值范圍考慮不周 例2關于x的方程mx2-3x+2=0有實數根，求m的值. 錯解：=b2-4ac0， （-3）2-4m20，解得m98. 二次項系數m0， m98且m0. 分析：此題中，學生考慮到了一元二次方程中二次項系數不為0的這一條件，但此題并沒有明確指明是二次方程.如果題目改成：“關于x的二次方程mx2-3x+2=0有實

8、數根，求m的值”，那么學生的上述解題過程完全正確.因此在本題中，學生默認了它是二次方程，卻忽視了也有一次方程的可能，即當m=0時，原方程化為-3x+2=0，有實數根x=23.因此，本題的正解應為m98即可. 三、忽視一元二次方程根的判別式 例3關于x的方程x2-（m+3）x+2m+3=0的兩實數根的平方和等于11，求m的值. 錯解：設方程的兩根分別為x1和x2. 根據題意得x12+x22=11.（1） x1+x2=-ba， x1+x2=m+3.（2） x1x2=-ca， x1x2=-（2m+3）.（3） 根據（1）（2）（3）得（m+3）2-2（2m+3）=11，解得m=2或m=-4. 分析：

9、此方程雖有二項系數10，但由于題目中已明確有實數根，那么必須符合一元二次方程有實數根的先決條件0.當m=2時，= （m+3）2-4（2m+3） =-30，方程有兩個不相等的實數根.因此在本題中，m只能等于-4. 四、忽視檢驗方程解的合理性 例4李奶奶想利用家中原本已有圍墻（長為25m）的其中一段，再砌三面墻，圍成一個面積為300m2的矩形花園.目前李奶奶已備足可以徹50m長的圍墻材料，請您為李奶奶設計一下這個矩形花園的長和寬吧. 錯解：假設截取原本已有圍墻的長度為x.矩形花園的另一條長度應為（50-x）2. 根據題意得x（50-x2）=300，解得x1=30，x2=20. 當x=30時，另一邊

10、長為10m； 當x=20時，另一邊長為15m. 答：李奶奶可以在自家已建圍墻上截取30m長，圍成長為30m、寬為10m的矩形花園；或截取20m，圍成長為20m、寬為15m的矩形花園. 分析：很多學生做題做到這一步后就算完成了，他們關注的只是將應用題轉化為一元二次方程，并求出方程的解，卻忽視了方程解是否符合題意或是否存在實際意義.本題中，長為30m、寬為10m的矩形花園，需要在李奶奶家已有的圍墻上截取長度為30m，顯然與題目不符，應舍去. 上述一元二次方程題型是筆者在多年教學實踐中總結出來的學生較易犯錯的幾個案例.為了讓學生能很好地掌握和應用一元二次方程這部分知識，教師應該幫助學生以錯為鑒，才能

11、減少解題時的失誤，從而提高數學解題能力. 一元二次方程在初中數學教學中應用非常廣泛，牽涉的知識點較多，也是各地中考考題中重點考查的一個知識點.然而在解題過程中，學生常會因為概念不清、考慮不周而出現忽視二次項系數不為0、對未知數及其系數的取值范圍考慮不周、忽視一元二次方程根的判別式、忽視實際問題中檢驗方程解的合理性等問題.因此，筆者就一元二次方程中常見的錯誤解法進行分析，以求提高學生的解題能力. 一、忽視二次項系數不能為0 例1已知：關于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有實根，求k的取值范圍. 錯解：方程有實根， =b2-4ac0， 即（-2）2-4k0，解得k1. 分析：對于一元二次方程來

12、講，學生化成一般式ax2+bx+c=0后，忽視了“二次項系數不為0”的條件，即a0.如果忽視了一元二次方程中二次項系數不為0的這一條件，那么當a=0時，此時方程也就成了一個一元一次方程了.而本題已點明是一個一元二次方程，所以本題的正解應為k1且k0. 二、對未知數及其系數的取值范圍考慮不周 例2關于x的方程mx2-3x+2=0有實數根，求m的值. 錯解：=b2-4ac0， （-3）2-4m20，解得m98. 二次項系數m0， m98且m0. 分析：此題中，學生考慮到了一元二次方程中二次項系數不為0的這一條件，但此題并沒有明確指明是二次方程.如果題目改成：“關于x的二次方程mx2-3x+2=0有

13、實數根，求m的值”，那么學生的上述解題過程完全正確.因此在本題中，學生默認了它是二次方程，卻忽視了也有一次方程的可能，即當m=0時，原方程化為-3x+2=0，有實數根x=23.因此，本題的正解應為m98即可. 三、忽視一元二次方程根的判別式 例3關于x的方程x2-（m+3）x+2m+3=0的兩實數根的平方和等于11，求m的值. 錯解：設方程的兩根分別為x1和x2. 根據題意得x12+x22=11.（1） x1+x2=-ba， x1+x2=m+3.（2） x1x2=-ca， x1x2=-（2m+3）.（3） 根據（1）（2）（3）得（m+3）2-2（2m+3）=11，解得m=2或m=-4. 分析

14、：此方程雖有二項系數10，但由于題目中已明確有實數根，那么必須符合一元二次方程有實數根的先決條件0.當m=2時，= （m+3）2-4（2m+3） =-30，方程有兩個不相等的實數根.因此在本題中，m只能等于-4. 四、忽視檢驗方程解的合理性 例4李奶奶想利用家中原本已有圍墻（長為25m）的其中一段，再砌三面墻，圍成一個面積為300m2的矩形花園.目前李奶奶已備足可以徹50m長的圍墻材料，請您為李奶奶設計一下這個矩形花園的長和寬吧. 錯解：假設截取原本已有圍墻的長度為x.矩形花園的另一條長度應為（50-x）2. 根據題意得x（50-x2）=300，解得x1=30，x2=20. 當x=30時，另一邊長為10m； 當x=20時，另一邊長為15m. 答：李奶奶可以在自家已建圍墻上截取30m長，圍成長為30m、寬為10m的矩形花園；或截取20m，圍成長為20m、寬為15m的矩形花園. 分析