1、專題 11 空間直線、平面的垂直【重難點知識點網絡】：一、直線與平面垂直的判定1直線與平面垂直定義如果直線丨與平面a內的直線都垂直，我們就說直線丨與平面a互相垂直記法丨丄a有關概念直線1叫做平面a的，平面a叫做直線丨的直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做圖示iX p/畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直（1）定義中的“任意一條直線”這一詞語與“所有直線”是同義語，與“無數條直線”不是同義語（2）直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊形式（3）由直線與平面垂直的定義，得如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于該平面內的任意一條直線2直線與平面垂直的判

2、定定理文字條直線與個平面內的兩條直線都垂直，則該直線與此平面垂直語言圖形語言符號語言丨丄a,丨丄b, aua, bua,nl丄a作用判斷直線與平面（1）直線與平面垂直的判定定理告訴我們：可以通過直線間的垂直來證明直線與平面垂直通常我們將其 記為“線線垂直，則線面垂直”因此，處理線面垂直轉化為處理線線垂直來解決也就是說，以后證明一條 直線和一個平面垂直，只要在這個平面內找到兩條相交直線和已知直線垂直即可（2）在應用該定理判斷一條直線和一個平面垂直時，一定要注意是這條直線和平面內的兩條相交直線垂直， 而不是任意的兩條直線3直線和平面所成的角（1）定義：一條直線和一個平面，但不和這個平面，這條直線叫

3、做這個平面的斜線，斜線和平面的 叫做斜足過斜線上斜足以外的一點向平面引 ，過和的直線叫做斜線在這個平面上的射影平面的一條斜線和它在平面上的射影 所成的，叫做這條直線和這個平面所成的角（2）規定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角等于；一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角等于 因此，直線與平面所成的角a的范圍是二、平面與平面垂直的判定1二面角從一條直線出發的從一條直線出發的兩個所組成的圖形叫做二面角這條直線叫做二面角的.,這兩個兩個所組成的圖形叫做二面角這條直線叫做二面角的.,這兩個半平面叫做二面角的.在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作垂直于文字的射線，

4、則這兩條射線構成的.叫做這個二面角的平圖示面角文字的射線，則這兩條射線構成的.叫做這個二面角的平圖示面角符號OA符號OAua, OBuR, aGB = l, Owl, OA丄I, OB丄In乙AOB是二面角的平面角范圍0，n二面角的大小可以用它的.來度量，二面角的平面角是多少度，就規定說這個二面角是多少度平面角是的二面角叫做直二面角范圍0，n二面角的大小可以用它的.來度量，二面角的平面角是多少度，就規定說這個二面角是多少度平面角是的二面角叫做直二面角面角棱為1,面分別為a, p的二面角記為如圖所示，也可在a,的內（棱以外的半平面部分）分別取點P, Q,將這個二面角記作二面角大記法小/a及z口記

5、I法溫馨提示】二面角是從空間一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形；平面角可以把角理解為一個旋轉p量，二面角也可以看作是一個半平面以其棱為軸旋轉而成，二面角的大小反映了兩個相交平面的位置關系知識剖析（1）二面角的平面角的大小是由二面角的兩個面的位置唯一確定的，與選擇棱上的點的位置無關（2）平面角的兩邊分別在二面角的兩個面內，且兩邊都與二面角的棱垂直，這個角所確定的平面與棱垂直2平面與平面垂直（1）定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角就說這兩個平面互相垂直平面a與平面 p 垂直，記作（2）畫法：兩個互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的垂直.如圖所示.3平面與平面垂直的判定定理文字

6、語言個平面過另一個平面的，則這兩個平面垂直圖形語言丄1 |符號語言丨丄a,a丄P作用判斷兩平面【溫馨提示】平面與平面垂直的判定定理告訴我們，可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直通 常我們將其記為：線面垂直，則面面垂直因此處理面面垂直問題(即空間問題)轉化為處理線面垂直 問題，進一步轉化為處理線線垂直問題(即平面問題)來解決三、直線與平面垂直的性質定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線符號語言a Lab丄民圖形語言a b/ /(1)證明兩直線;作用(2)構造平行線溫馨提示】直線與平面垂直的性質定理給出了判斷兩條直線平行的另一種方法，即“線面垂直，則線線平行”，它揭示了“平行”與“垂直”的內

7、在聯系直線與平面垂直的性質四、平面與平面垂直的性質定理文字語言兩個平面垂直，則垂直于的直線與另一平面符號語言丄# 圖形語言F51a作用證明直線與平面【溫馨提示】平面與平面垂直的性質定理給出了判斷直線與平面垂直的另一種方法，即“面面垂直，則線面 垂直”，揭示了線面垂直與面面垂直的內在聯系垂直關系之間的相互轉化重難點題型突破】：一、證明或判斷直線與平面垂直 方法一：用線線垂直實現。l 丄 AC 、l丄AB n l 丄 a AC n AB = AAC, AB u a方法二：用面面垂直實現。a丄B 、a n P = m n l 丄al 丄 m, l u P例1 （線線垂直的條件判斷）在直三棱柱ABC

8、- A1B1C1中，ABAC = 90。以下能使AC丄的是（）A AB = ACB AA 二 ACC BB 二 ABD CC 二 BC1 1 1例2.（翻折問題中的線面垂直）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，ZBAD二60 , AC與BD交于點O，將AADB沿直線DB折起到APDB的位置（點P不與A , C兩點重合）.（1）求證：不論APDB折起到何位置，都有BD丄平面PAC ；（2）當PO丄平面ABCD時，點M是線段PC上的一個動點，若OM與平面PBC所成的角為30，求PMMC的值PMMC的值.【變式訓練2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA丄平面ABCD, AD丄CD, ADBC, PA二

9、AD二CD=2, BC=3. EPF 1為PD的中點，點F在PC上，且pc二3 .求證：CD丄平面PAD；求二面角F-AE-P的余弦值；PG 2 設點G在PB上，且二了 .判斷直線AG是否在平面AEF內，說明理由.PB 3二、證明或判斷平面與平面垂直方法一：用線面垂直實現。例3 （翻折問題中的面面垂直）在AABC中，D , E分別為AB , AC的中點，AB = 2BC = 2CD,如圖1以DE為折痕將AADE折起，使點A到達點p的位置，如圖2.如圖 1如圖 2（1）證明：平面BCP丄平面CEP ；（2）若平面DEP丄平面BCED，求直線DP與平面BCP所成角的正弦值.【變式訓練1】(2019

10、北京文18)如圖，在四棱錐P- ABCD中，PA丄平面ABCD,底部ABCD為菱形,E 為 CD 的中點(丨)求證：BD丄平面PAC ；若乙ABC=60,求證：平面PAB丄平面PAE ；棱PB上是否存在點F,使得CF平面PAE?說明理由.三、線面垂直、面面垂直的綜合應用例4.已知I, m是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個論斷:I丄m；mila ；丄a .以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：【變式訓練1】已知直線l丄平面a，直線m平面卩，若a丄卩，則下列結論正確的是A. l卩或20B l / mC. m 丄aD. l 丄m四、線面垂直、面面垂直的性質綜合應用例5.已知直線l丄平面a，直線m 平面卩，若a丄卩，則下列結論正確的是A. l卩或20B l / mC. m 丄aD. l 丄 m【變式訓練1】如圖，邊長為2的正方形ABCD中, E, F分別是BC,CD的中點，現在沿AE, AF及EF 把這個正方形折成一個四面體，使B，C,D三點重合，重合后的點記為P，則四面體P- AEF的高為ABCD1【變式訓練2】如圖，在四棱柱ABCD - ABCD中，側棱A$丄底