1、直線與圓錐曲線 我們知道，直線與圓的位置關系有相交、相切、相離三種情況，可以分別由直線與圓有兩個不同點公共點、有一個公共點或沒有公共點來確定。 現在，我們采用同樣的方法來研究直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關系。 直線與圓的公共點問題可以轉化為它們的方程所組成的方程組求解的問題，從而用代數方法來判斷直線與圓的位置關系。 例1已知直線l：y=2x+m，橢圓C：試問當m取何值時，直線l與橢圓C（1）有兩個不重合的公共點；（2）有且僅有一個公共點；（3）沒有公共點。解：直線l與橢圓C的方程聯立，得方程組 將代入，整理得9x2+8mx+2m24=0 這個關于x的一元二次方程的判別式=(8m)249(2

2、m24)=8m2+144，（1）由0，得3 m3 .于是當3 m3 時，方程有兩個不同的實數根，可知原方程組有兩個不同的實數解，這時直線l與橢圓C有兩個不同的公共點。（2）由=0，得m=3 ，也就是當m=3 時，方程有兩個相同的實數根，可知原方程組有兩個相同的實數解，這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點，它們重合為一點，即直線l與橢圓C有且只有一個公共點；（3）由0，得m3 ，從而當m3 時，方程沒有實數根，可知原方程組沒有實數解，這時直線l與橢圓C沒有公共點。例2已知點A(0，2)和拋物線C：y2=6x，求過點A且與拋物線相切的直線l的方程。解：設直線l的方程為y=kx+2，這個方程與拋

3、物線的方程聯立，得方程組當k=0時，由方程組得6x=4，可知此時直線l與拋物線相交于點( ，2)，當k0時，由方程組消去x，得方程 ky26y+12=0 關于y的方程的判別式=3648k， 由=0，得k= ，可知此時直線l與拋物線C有兩個重合的公共點，即它們相切，直線l的方程為y= x+2，即3x4y+8=0. 因此直線l的方程是3x4y+8=0或x=0. 圓錐曲線的弦： 直線與圓錐曲線相交有兩個交點時，這條直線上以這兩個交點為端點的線段叫做圓錐曲線的弦，線段的長就是弦長。簡單的說，圓錐曲線的弦就是就是連接圓錐曲線上任意兩點所得的線段。例3已知斜率為2的直線經過橢圓 的右焦點F2，與橢圓相交于

4、A、B兩點，求弦AB的長。解：橢圓的右焦點F2的坐標為(1，0)，直線AB的方程為y=2(x1)，由方程組 解得 得弦AB的長因此A(0，2)，B( ， )，例4有一橢圓形溜冰場，長軸長100m，短軸長60m，現在要在這溜冰場上劃定一個各頂點都在溜冰場邊界上的矩形區域，且使這區域的面積最大，應把這個矩形的頂點定位在何處？這時矩形的周長是多少?解：分別以橢圓的長軸、短軸各自所在的直線為x軸和y軸，建立平面直角坐標系xOy，設矩形ABCD的各頂點都在橢圓上， 因為矩形各頂點都在橢圓上，而矩形是中心對稱圖形，又是以過對稱中心且垂直其一邊的直線為對稱軸的對稱圖形，所以矩形ABCD關于原點及x軸、y軸都

5、對稱。已知橢圓的長軸長2a=100(m)。短軸長2b=60(m)，則橢圓的方程為 設頂點A的坐標為(x0，y0)，x00，y00， 則 得 根據矩形ABCD的對稱性，可知它的面積S=4x0y0，由于因此，當 時， 達到最大值，同時S=4x0y0也達到最大值.這時x0=25 , y0=15 ， 矩形ABCD的周長為4(x0+y0)=160 . 因此在溜冰場橢圓的短軸兩側分別畫一條與短軸平行且與短軸相距25 (約35.35m)的直線，這兩條直線與橢圓的交點就是劃定的矩形區域的頂點；這個矩形的周長為160 m約等于226.27m.例5已知雙曲線的中心在原點，過右焦點F(2，0)作斜率為 的直線，交雙曲線于M、N兩點，且|MN|=4，求雙曲線的方程。解：設所求的雙曲線的方程為 (a0，b0)，由右焦點F(2，0)知c=2，b2=4a2，即由直線的點斜式知MN的方程為 聯立方程組得 整