1、中學(xué)數(shù)學(xué)開放性問題的研究中學(xué)數(shù)學(xué)開放性問題的研究一、研究開放性問題的意義傳統(tǒng)教育觀念下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量評價，雖然有利于形成思維上的定勢或求同思維的培養(yǎng)，但卻無視了求異思維和發(fā)散思維才能的培養(yǎng)，不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新才能。而開放性試題，那么要求學(xué)生通過觀察、比擬、分析、綜合甚至猜測、展開發(fā)散性思維，充分運用已學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，經(jīng)過歸納、類比、模擬、聯(lián)想等推理的手段，最后得出正確的結(jié)論。學(xué)生解題過程突出了思維的多樣性和靈敏性。詳細(xì)表現(xiàn)為：1.有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，良好的表達(dá)才能、批判、評價才能，進(jìn)步學(xué)生解決問題的才能。2.有利于調(diào)動學(xué)生特別是居于中流或?qū)W習(xí)上后進(jìn)的學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。3

2、.有利于進(jìn)步學(xué)生對所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識和技能的應(yīng)用才能。4.有利于學(xué)生體驗成功、樹立自信心、產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣。二、開放性問題的含義數(shù)學(xué)開放性問題在開放時代應(yīng)運而生。如：給定集合3，21，2，10及四種運算符號+、-、，使用上述集合中的元素及四種運算符號組成答案為17的算式。當(dāng)然，要解決此題，要求思維靈敏且具有敏銳的觀察力。較簡單，大家很容易的出這樣兩種結(jié)論21-10+32=17和10+213=17。然而，何謂開放性問題？至今數(shù)學(xué)界并未形成公認(rèn)的界定，通常理解是指條件、解法、答案具有多樣性和不確定性的問題。而從查閱的文獻(xiàn)資料看，大約有以下三類：1.答案不確定的數(shù)學(xué)問題稱為數(shù)學(xué)開放性問題。2.條件不完備

3、、結(jié)論不確定的數(shù)學(xué)問題稱為開放性問題。3.數(shù)學(xué)開放性問題是指條件開放條件在不斷變化、結(jié)論開放多結(jié)論或無確定結(jié)論、策略開放可以采用多種方法和途徑去解決的問題。綜上所述，開放性問題較為準(zhǔn)確、完備的界定應(yīng)是：一個習(xí)題系統(tǒng)R通常包括四要素：條件r，解題根據(jù)，解題方法p，結(jié)論z，即R=r，p，z。四要素齊備的題，為封閉性問題；缺少或p的題，為班封閉性題；缺少r或z的題，為開放性問題。三、開放性問題的常見類型1.按命題要素的開展傾向分類有：1開放型。2方法開放型。3結(jié)論開放型。4綜合開放型。2.按解題目的的操作形式分類有：1量化設(shè)計型。2分類討論型。3規(guī)律探究型。4數(shù)學(xué)建模型。5問題探究型。6情景探究型。

4、3.按學(xué)習(xí)過程的訓(xùn)練價值分類有：1信息遷移型。2知識穩(wěn)固型。3知識發(fā)散型。4.按問題答案的構(gòu)造類型本文由論文聯(lián)盟搜集整理分類有：1有限可列型。例如：將100分成假設(shè)干個連續(xù)自然數(shù)的和。2有限混純型。例如：平面上滿足什麼條件的四個點共圓？3無限離散型。例如：P、Q、R、S為整數(shù)，且P+QR+S=15，問P、Q、R、S可能取哪些值？4無限連續(xù)型。例如：請你寫出一組四個連續(xù)整數(shù)，使其和大于40。5.根據(jù)數(shù)學(xué)開放性問題的開放度分為：1弱開放型：即答案只有兩種，非此即彼類型的題。例如：小紅同學(xué)給出了這樣一道數(shù)學(xué)題：假如在四邊形ABD中，AB=D，那麼四邊形ABD是平行四邊形，假設(shè)你認(rèn)為這個命題的結(jié)論成立

5、，請予以證明；假設(shè)這個命題的結(jié)論不一定成立，請舉出反例。2中開放型：即答案情況有多種的，但總數(shù)是確定的。例如：ax2+bx+=00b100是系數(shù)為整數(shù)的一元二次方程，請給出適當(dāng)?shù)腶、b、的值使=b2-4a=1。3強開放型：即答案情況總數(shù)是不確定的。例如：不等式3x-a0的整數(shù)解是1，2，3，求a的值。br=四、開放性問題的特點封閉性問題正是圍繞這各種固定題型、程序化的解題策略、預(yù)定的答案而進(jìn)展的，而開放性問題恰恰與此相反，其特點表現(xiàn)為1.問題的條件、結(jié)論開放開放性問題，有的條件開放，有的結(jié)論開放，有的條件與結(jié)論同時開放。對于同一問題，可以有不同的結(jié)果。2.分析的思路開放分析問題時可以從不同的思

6、維角度去考慮，這就為學(xué)生的思維空間留下了充分的余地。3.解題的方法開放解決問題時，有不同的方法與技巧，沒有固定的解題形式與程序。4.問題內(nèi)容的新穎性這類問題背景新穎，解法靈敏，結(jié)合性強，無現(xiàn)成形式可用。5.問題形式多樣性這類問題有的追溯多種條件，有的探究多種結(jié)論，有的尋求多種解法；有的由變求不變、或由變求變，有的以動求靜、或以動帶動；很能表達(dá)現(xiàn)代數(shù)學(xué)氣息。6.問題動能的創(chuàng)造性這類問題有時只給出一種情景，題目的條件和結(jié)論要求解題者在情景中自行尋找和設(shè)定，解題的形式和方法也是多種多樣的，給解題者發(fā)揮創(chuàng)新精神、培養(yǎng)創(chuàng)新才能提供了良好的契機(jī)。五、解決數(shù)學(xué)開放性問題的思維與策略由于開放性問題的結(jié)論或條件

7、有待于探究，故思維難以定向，而結(jié)論之所以難于以制定，又往往是因為問題比擬抽象，一般規(guī)律未能顯露出來。因此，這類問題具有更大的靈敏性與創(chuàng)造力。處理開放性問題時，常用的思維對策有：1.尋求矛盾的策略：即假設(shè)存在，然后進(jìn)展驗證凡涉及是否存在、是否有某種性質(zhì)等一類未定結(jié)論的開放性問題，我們總是先假設(shè)存在或有某種性質(zhì)，然后根據(jù)條件、定理、有關(guān)性質(zhì)等進(jìn)展推理驗證；假設(shè)出現(xiàn)矛盾，說明假設(shè)錯誤，從而得出正確結(jié)論。其本質(zhì)是證明問題的某項必要條件不能到達(dá)。2.充要條件推導(dǎo)的策略這種思路是把存在性命題當(dāng)作求解題來做，其本質(zhì)是由結(jié)論出發(fā)，根據(jù)題設(shè)、定理、性質(zhì)等，利用充要條件進(jìn)展推理，將滿足條件的數(shù)學(xué)對象求出來，其好處

8、是推導(dǎo)過程本身就是驗證過程。3.特殊探路的策略有些開放性問題只有條件而無結(jié)論，或雖有結(jié)論但結(jié)論的正確與否有待于確定。解決這類問題我們常常先研究特殊情況，即特例或簡單情形，然后進(jìn)展觀察分析，就能猜測結(jié)果或發(fā)現(xiàn)目的，然后給出證明過程。其本質(zhì)是由特殊到一般、由簡單到復(fù)雜，有拋磚引玉之效果。4.數(shù)形結(jié)合的策略有些開放性題，當(dāng)以純粹的數(shù)出現(xiàn)時，常常顯得復(fù)雜而抽象，其結(jié)論的探求也比擬困難。當(dāng)將其轉(zhuǎn)化為形的問題后，結(jié)論就明顯多了。有時也有相反情況，即當(dāng)以純粹的圖形出現(xiàn)時，我們常常無從入手，假設(shè)將其轉(zhuǎn)化成數(shù)的問題后就會簡化其難度與抽象性。其本質(zhì)是將數(shù)與性互相交融，一方面通過數(shù)量關(guān)系的討論來研究幾何圖形的性質(zhì)；另一方面是利用幾何圖形的的直觀性來提醒數(shù)量關(guān)系深入的特性。5.劃分與討論策略在隱藏著的結(jié)論里，情況比擬復(fù)雜，必須進(jìn)展分類辨析方能得出完美的結(jié)論。這類開放性問題含有待于討論的參數(shù)，其