1、2021/8/9 星期一1反函數2021/8/9 星期一2一、定義 設函數 y=f(x) 定義域為 A, 值域為 C. 如果從式子 y=f(x) 解得 x=(y), 且對于 y 在 C 中的任何一個值, x 在 A 中都有唯一確定的值和它對應, 那么式子 x=(y) 就表示 x 是變量 y 的函數, 把 x=(y) 叫做函數 y=f(x) 的反函數, 記作: x=(y)=f-1(y).x=f-1(y) 一般改寫成 y=f-1(x), 其定義域為 C, 值域為 A.二、定義理解1.函數存在反函數的條件: 映射 f: AC 為一一映射. 2.函數在其定義域區間上可能不存在反函數, 但可以在定義域區

2、間的某個子區間上存在反函數.3.反函數的定義域和值域分別是原函數的值域和定義域. 注意: 反函數的定義域不能由其解析式來求.2021/8/9 星期一3三、簡單性質1.互為反函數的兩個函數的圖像關于直線 y=x 對稱; 2.單調函數一定存在反函數, 但有反函數的函數不一定是單調函數;3.奇函數不一定有反函數, 偶函數在一般情況下無反函數; 4.互為反函數的兩個函數在各自的定義域區間上具有相同的 單調性;5.若 b=f(a), 則 a=f-1(b); 若 a=f-1(b), 則 b=f(a), 即: 若 aA, bC, 則 f-1f(a)=a, ff-1(b)=b.2021/8/9 星期一4四、求

3、函數的反函數的步驟2.由 y=f(x) 解出 x=f-1(y) (即用 y 表示 x);3.交換 x=f-1(y) 中的字母 x, y, 得 f(x) 反函數的表達式 y=f-1(x), 1.求函數 y=f(x) 中 y 的取值范圍, 得其反函數中 x 的取值范圍;五、函數與其反函數圖像的交點問題 如果一個函數與其反函數的圖像有公共點, 則公共點在直線 y=x 上, 或者關于直線 y=x 對稱地成對出現.4. 標出 y=f-1(x) 中 x 的取值范圍.例如函數 y = -3x+7 ; 又如函數 y =( ) . 161x2021/8/9 星期一51.求下列函數的反函數:(1)y=2x2-x+

4、1(x-1) (-1 x 0) (0 x 1)(3)2021/8/9 星期一6（4）.求函數 y=x|x|+2x 的反函數. 解: 原函數可寫成: y= x2+2x, x0, -x2+2x, x0. 即 y= (x+1)2-1, x0, -(x-1)2+1, x0. 當 x0 時, y0, 由 y=(x+1)2-1 得: x=-1+ y+1 ; 當 x0 時, y0, 由 y=-(x-1)2+1 得: x=1- 1-y . 故所求反函數為 y= -1+ x+1, x0, 1- 1-x , x0. 2021/8/9 星期一72.若點（1，2）既在函數 的 圖象上，又在它的反函數的圖象上，則實數a=_,b=_3.若 則4.若 的圖象關于y=x對稱,則 m=_ a=-3,b=7; m=-12021/8/9 星期一85.設，函數y=g(x)的圖象與f-1(x+1)的圖象關于直線y=x對稱，則g(3)的值_2021/8/9 星期一9-11xoy-11xoy1xoy1-11xoy(D)(A)(B)(C) 6、設函數 f(x)=1- 1-x2 (-1x0), 則函數 y=f-1(x)的圖像可能是 ( )B2021/8/9 星期一107、求函數 y=