1、湖南省永州市保安中學2022年高一數學理聯考試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 函數的圖象大致為（）ABCD參考答案：A【考點】指數函數的圖象與性質【分析】可用排除法選擇，根據指數函數的圖象和性質，當x0時f（x）1且為減函數，當x0時由指數函數的圖象可排除D【解答】解：當x0時f（x）1且為減函數可排除B，C當x0時由指數函數的圖象可排除D故選A2. （5分）若直角坐標平面內的兩不同點P、Q滿足條件：P、Q都在函數y=f（x）的圖象上；P、Q關于原點對稱，則稱點對P，Q是函數y=f（x）的一對“友好點對”（注

2、：點對P，Q與Q，P看作同一對“友好點對”）已知函數f（x）=，則此函數的“友好點對”有（）對A0B1C2D3參考答案：B考點：函數的圖象；分段函數的應用 專題：函數的性質及應用分析：根據題意可知只須作出函數（x0）的圖象關于原點對稱的圖象，確定它與函數y=x24x（x0）交點個數即可解答：由題意得：函數f（x）=“友好點對”的對數，等于函數（x0）的圖象關于原點對稱的圖象，與函數y=x24x（x0）交點個數在同一坐標系中做出函數（x0）的圖象關于原點對稱的圖象，與函數y=x24x（x0）的圖象如下圖所示：由圖象可知，兩個圖象只有一個交點故選B點評：本題考查的知識點是函數的圖象，分段函數，新定

3、義，其中將“友好點對”的對數轉化為對應圖象交點個數是解答的關鍵3. （5分）已知向量=（k，12），=（4，5），=（k，10），且A、B、C三點共線，則k=（）ABCD參考答案：C考點：平行向量與共線向量 專題：平面向量及應用分析：利用向量的坐標運算、向量共線定理即可得出解答：=（4k，7），=（k4，5）又A、B、C三點共線，7（k4）5（4k）=0，解得k=故選：C點評：本題考查了向量的坐標運算、向量共線定理，屬于基礎題4. 函數f（x）=sin()，xR的最小正周期為（）ABC2D4參考答案：D【考點】三角函數的周期性及其求法【分析】直接利用正弦函數的周期公式T=，求出它的最小正周期即

4、可【解答】解：函數f（x）=由T=|=4，故D正確故選D5. 在ABC中，若2cosB?sinA=sinC，則ABC的形狀一定是（ ）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等邊三角形參考答案：C6. 如下圖，某幾何體的正視圖(主視圖)，側視圖(左視圖)和俯視圖分別是等邊三角形，等腰三角形和菱形，則該幾何體體積為()A4 B4C2 D2參考答案：C7. 二次函數y=x24x+3在區間（1，4上的值域是( )A1，+）B（0，3C1，3D（1，3參考答案：C【考點】二次函數在閉區間上的最值 【專題】探究型【分析】先將二次函數配方，確定函數在指定區間上的單調性，進而可確定函數的值域【解答】解：函

5、數y=x24x+3=（x2）21函數的對稱軸為直線x=2，函數的圖象開口向上，函數在（1，2上單調減，在2，4上單調增x=2時，函數取得最小值1；x=4時，函數取得最大值3；二次函數y=x24x+3在區間（1，4上的值域是1，3故選C【點評】本題重點考查函數在指定區間上的值域，解題時，將二次函數配方，確定函數在指定區間上的單調性是關鍵8. 已知，則函數的最大值為（ ）A6 B13 C22 D33 參考答案：B9. 如果，且，則是（ ）（A）第一象限的角（B）第二象限的角（C）第三象限的角（D）第四象限的角參考答案：10. （5分）設集合A=x|4x3，B=x|x2，則AB=（）A（4，3）B（

6、4，2C（，2D（，3）參考答案：D考點：并集及其運算 專題：集合分析：直接利用并集的運算法則求解即可解答：解：集合A=x|4x3，B=x|x2，則AB=x|4x3x|x2=x|x3，故選：D點評：本題考查集合的并集的求法，考查并集的定義以及計算能力二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 已知函數在內是減函數，則的取值范圍是_參考答案：12. 一元二次不等式的解集是，則的值是（ ）A. 10 B. -10 C. 14 D. -14參考答案：B略13. 函數的定義域為 參考答案：要使函數有意義，需滿足，解得。所以函數的定義域為。答案：14. （2016春?普陀區期末）函數y=的

7、定義域是 參考答案：（1，+）【考點】函數的定義域及其求法【專題】函數的性質及應用【分析】根據函數的解析式，應滿足分母不為0，且二次根式的被開方數大于或等于0即可【解答】解：函數y=，0，即x10，解得x1；函數y的定義域是（1，+）故答案為：（1，+）【點評】本題考查了求函數的定義域的問題，解題時應使函數的解析式有意義，列出不等式（組），求出自變量的取值范圍，是容易題15. 在ABC中，則的最大值是_。參考答案： 解析：16. 已知函數f（x）=，則關于x的方程f（x+2）=a的實根個數構成的集合為參考答案：2，3，4，5，6，8【考點】根的存在性及根的個數判斷【分析】畫出函數f（x）=，的

8、圖象，判斷x+2的范圍，利用a的值，判斷方程解的個數，即可得到方程f（x+2）=a的實根個數構成的集合【解答】解：函數f（x）=的圖象，如圖：當x1時，x+20，當x=1時，x2=0，當x（0，1）時，x+20，當x0時，x+20，當a0或a2時，函數y=f（x+2）與y=a，由一個交點，此時方程有兩個x值，滿足題意當a=0時，函數有兩個交點，滿足方程的解由x=0，與x0的兩個解，此時解的集合為：3個；a=2時，方程有4個解a（1，2）時，方程有8個解a=1時，方程有6個解a（0，1），方程有5個解關于x的方程f（x+2）=a的實根個數構成的集合為：2，3，4，5，6，8故答案為：2，3，4，

9、5，6，817. 已知f（x）是偶函數，且x0時，f（x）=x2+ax，若f（1）=2，則a=；f（2）的值是參考答案：1;6.【考點】函數奇偶性的性質 【專題】函數的性質及應用【分析】由f（x）為偶函數，便可得到f（1）=1+a=2，從而求出a=1，從而得到x0時的f（x）解析式，從而得出f（2）的值【解答】解：f（x）為偶函數；f（1）=f（1）=2；1+a=2；a=1；x0時，f（x）=x2+x；f（2）=6故答案為：1，6【點評】考查偶函數的定義，以及已知函數求值三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. （13分）某租賃公司擁有汽車100輛，

10、當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出，當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛，租出的車每輛每月需維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元.（1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？（2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？參考答案：（1）當每輛車月租金為3600元時，未租出的車輛數為 12，所以這時租出了88輛.（2）設每輛車的月租金定為x元，則公司月收益為f(x)(100)(x150)50整理得:f(x)162x2100(x4050)2307050當x4050時，f(x)最大，最大值為f(4050)307050

11、元19. （本小題滿分12分） 已知函數對任意實數都有， 當時，. （1）判斷的奇偶性； （2）判斷在上的單調性，并給出證明； （3）若且，求的取值范圍參考答案：（1）因為對一切恒成立 所以，令 又因為，所以.又， 所以是偶函數的同時不能為奇函數，所以是偶函數. (2)任取 所以 = 因為，所以，則，即 因為 ，由得， 又因為 所以，則 所以，則在上單調遞增. （3）20. 如圖，在ABC中，M為BC的中點，（I）以，為基底表示和；（II）若ABC=120，CB=4，且AMCN，求CA的長參考答案：【考點】平面向量數量積的運算【分析】（）根據向量的幾何意義即可求出，（）根據向量的垂直和向量的數

12、量積公式即可求出答案【解答】解：（）；，（）由已知AMCN，得，即，展開得，又ACB=120，CB=4，即，解得，即CA=8為所求【點評】本題考查了向量的幾何意義和向量的垂直和向量的數量積的運算，屬于基礎題21. 已知圓，直線過點，且，是直線上的動點，線段與圓的交點為點，是關于軸的對稱點.（1）求直線的方程；（2）若在圓上存在點，使得，求的取值范圍；（3）已知是圓上不同的兩點，且，試證明直線的斜率為定值.參考答案：（1）；（2）；（3）證明見解析.試題解析：（1），直線上的斜率為，直線上的方程為：，即.（2）如圖可知，對每個給定的點，當為圓的切線時，最大，此時，若此時，則，故只需即可，即，又，代入得：.（3）據題意可求，是關于軸的對稱點，設，則，則直