1、2019-2020學(xué)年北京市大興區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.復(fù)數(shù)（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用虛數(shù)單位的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值.【詳解】，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查虛數(shù)單位的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2.在平行四邊形中，等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則求解即可.【詳解】因?yàn)闉槠叫兴倪呅?故.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的平行四邊形法則.屬于基礎(chǔ)題.3.某中學(xué)高一年級(jí)有人，高二年級(jí)有人，高三年級(jí)有人，為了解學(xué)校高中學(xué)生視力

2、情況，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)容量為的樣本，則高一年級(jí)應(yīng)抽取的人數(shù)為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)總體的抽樣比與高一年級(jí)的抽樣比相等列等式可求得高一年級(jí)所抽取的學(xué)生人數(shù).【詳解】該中學(xué)高中學(xué)生總?cè)藬?shù)為，設(shè)高一年級(jí)所抽取的學(xué)生人數(shù)為，由題意可得，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣方法的應(yīng)用問(wèn)題，是容易題目.4.若單位向量，的夾角為，則=（ ）A. 2B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】直接利用向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】解：?jiǎn)挝幌蛄浚膴A角為， .故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的求法，是基本知識(shí)的考查，屬于基礎(chǔ)題.5.若a

3、和b是異面直線，a和c是平行直線，則b和c的位置關(guān)系是（ ）A. 平行B. 異面C. 異面或相交D. 相交、平行或異面【答案】C【解析】【分析】借助正方體模型，找出三條直線a，b，c，符合題意，判斷b，c的位置關(guān)系.【詳解】解：考慮正方體ABCDABCD中，直線AB看做直線a，直線BC看做直線b，即直線a和直線b是異面直線，若直線CD看做直線c，可得a，c平行，則b，c異面；若直線AB看做直線c，可得a，c平行，則b，c相交.若b，c平行，由a，c平行，可得a，b平行，這與a，b異面矛盾，故b，c不平行.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查空間兩直線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，以及推理能

4、力，屬于基礎(chǔ)題.6.甲、乙、丙、丁四組人數(shù)分布如圖所示，根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖的情況可以知道丙、丁兩組人數(shù)和為（ ）A. 150B. 250C. 300D. 400【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)甲組人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，再求出丙、丁兩組人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比，即可得解.【詳解】解：甲組人數(shù)為120人，占總?cè)藬?shù)的百分比為30%，總?cè)藬?shù)為12030%400人，丙、丁兩組人數(shù)和占總?cè)藬?shù)的百分比為130%7.5%62.5%丙、丁兩組人數(shù)和為40062.5%250人.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了餅形圖的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.7.已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C

5、【解析】試題分析：，z=，故選C.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算8.若長(zhǎng)方體所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，長(zhǎng)、寬、高分別是3，2，1，則這個(gè)球面的面積為（ ）A. 9B. 12C. 14D. 18【答案】C【解析】【分析】求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度，得到外接球的直徑，然后求解外接球的表面積.【詳解】解：長(zhǎng)方體所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，長(zhǎng)、寬、高分別是3，2，1，所以長(zhǎng)方體的外接球的直徑為長(zhǎng)方體的對(duì)角線： ，所以外接球的半徑為：.則這個(gè)球面的面積為：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體外接球的表面積的求法，考查空間想象能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.9.設(shè)為非零向量，則“”是“與共線”的（ ）A. 充分而不必要條件B.

6、必要而不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】若，則與共線，且方向相同，充分性；當(dāng)與共線，方向相反時(shí)，故不必要.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線，充分不必要條件，意在考查學(xué)生的推斷能力.10.已知ABC是等腰三角形，ABAC5，BC6，點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)，則|+|的取值范圍是（ ）A. 3，4B. C. 6，8D. 【答案】D【解析】【分析】以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，OA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，分別求得B，C，A的坐標(biāo)，可得直線AC的方程，設(shè)P（m，n），（0n4），即有

7、m，再由向量的運(yùn)算和模的公式，可得n的函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，可得所求范圍.【詳解】解：以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，OA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖：可得B（3，0），C（3，0），由|AC|5，可得A（0，4），直線AC的方程為，即4x+3y12，可設(shè)P（m，n），（0n4），即有m，則 當(dāng)，可得的最小值為， 當(dāng)n4時(shí)，可得的最大值8，則的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的模的取值范圍，運(yùn)用坐標(biāo)法是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.設(shè)復(fù)數(shù)z1+i，則z的模|z|_.【答案】.【解析】【分析】

8、直接代入模長(zhǎng)公式即可.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z1+i，則z模|z|=.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)求模，是基礎(chǔ)題.12.數(shù)據(jù)19，20，21，23，25，26，27，則這組數(shù)據(jù)的方差是_.【答案】587.【解析】【分析】根據(jù)題意，先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，進(jìn)而由方差計(jì)算公式計(jì)算可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)據(jù)19，20，21，23，25，26，27，其平均數(shù)=，則其方差為故答案為：587.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)據(jù)的方差的計(jì)算，注意數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.13.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，長(zhǎng)分別為1，2，3，則這個(gè)三棱錐的體積為_(kāi).【答案】【解析】【分析】根據(jù)三條側(cè)棱兩兩垂直的關(guān)系可得到底

9、面面積和三棱錐的高，由三棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)，且兩兩互相垂直，又，平面，平面，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.14.已知=（1，2），=（2，y），|+|-|，則y_.【答案】1.【解析】【分析】求出(3，y+2)，(-1，2-y)，然后根據(jù)|+|-|，即可得出9+（y+2）21+（2y）2，解出y即可.【詳解】解：(3，y+2)，(-1，2-y)， |+|-|，9+（y+2）21+（2y）2，解得y1.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查了向量坐標(biāo)的加法和減法運(yùn)算，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度的方法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.在中，.若，則角的

10、大小為_(kāi)；若角有兩個(gè)解，則的取值范圍是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用正弦定理求得的值， 結(jié)合角的取值范圍可求得結(jié)果；作出圖形，結(jié)合圖形可得出角有兩個(gè)解時(shí)，滿足不等式，進(jìn)而可求得的取值范圍.【詳解】由正弦定理可得，；在中，如下圖所示：若使得角有兩個(gè)解，則，即.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理解三角形，同時(shí)也考查了利用三角形多解求邊長(zhǎng)的取值范圍，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn).（1）若，求；（2）若點(diǎn)在直線上，求的值.【答案】（1） ；（2）或.【解析】【分析】（1）先

11、寫(xiě)出，在根據(jù)計(jì)算即可；（2）由題意，可得的實(shí)部與虛部相等，由此可得關(guān)于的方程求解.【詳解】解：（1）， ，；（2）若點(diǎn)在直線上，則，即，解得或.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的求法，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.17.已知三個(gè)點(diǎn)，.（1）求證：；（2）若四邊形為矩形，求點(diǎn)的坐標(biāo)及矩形兩對(duì)角線所成銳角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2），矩形兩對(duì)角線所成銳角的余弦值為.【解析】【分析】（1）利用向量垂直證明即可；（2）設(shè)坐標(biāo)，根據(jù)向量相等求點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角求對(duì)角線所成銳角余弦值.【詳解】解：（1）由題知，所以，所以，所以；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則根據(jù)四邊形為矩形得，即：，所以，解得

12、，所以；所以，所以，矩形兩對(duì)角線所成銳角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量解決平面幾何問(wèn)題，是中檔題.18.為了解某小區(qū)月用電量情況，通過(guò)抽樣，獲得了戶居民月用電量（單位：度），將數(shù)據(jù)按照、分成六組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）已知該小區(qū)有戶居民，估計(jì)該小區(qū)月用電量不低于度的戶數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）估計(jì)該小區(qū)的居民月用電量的值，并說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）戶，理由見(jiàn)解析；（3）約為度，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中各矩形的面積和為，列出方程求出的值；（2）由頻率分布直方圖計(jì)算出用電量不低于度的頻率，乘以可得出結(jié)果；（3）設(shè)該

13、小區(qū)的居民月用電量的值為，根據(jù)用電量為的左邊的矩形面積之和為列等式可解得的值.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得：，解得：；（2）由頻率分布直方圖可得，戶居民月用電量不低于度的頻率為，由此可以估計(jì)該小區(qū)有戶居民月用電量不低于度的戶數(shù)為；（3）由頻率分布直方圖可得，月用電量低于度的頻率為，月用電量低于度的頻率為，所以分位數(shù)一定位于區(qū)間內(nèi)，由題意可得，解得.由此估計(jì)該小區(qū)的居民月用電量約為度.【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率分布直方圖求頻率、頻數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.19.如圖，在ABC中，ABC90，AB4，BC3，點(diǎn)D在線段AC上，且AD4DC.（1）求BD的長(zhǎng)；（2）求sinBDC的值.【答案】

14、（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出，在中，再利用余弦定理即可求解. （2）在中，利用正弦定理即可求解.【詳解】（1）在ABC中，ABC90，AB4，BC3，則，所以，由AD4DC，則，在中，所以.（2）由，BC3，在中，即，解得【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟記定理內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題.20.如圖所示，在正方體中，.（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）用一張正方形的紙把正方體完全包住，不將紙撕開(kāi)，求所需紙的最小面積.（結(jié)果不要求證明）【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）連結(jié)，利用線線垂直關(guān)系可證得平面，由線面垂直性質(zhì)證得結(jié)

15、論；（2）由線線垂直關(guān)系可證得平面，由面面垂直判定可證得結(jié)論； （3）根據(jù)展開(kāi)圖可確定結(jié)果.【詳解】（1）證明：連接，底面是正方形，平面，平面，平面，平面，又平面，.（2）側(cè)面是正方形，平面，平面，平面，平面，又平面，平面平面.（3）把個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形組成十字形，并在四端加上四個(gè)斜邊為的等腰直角三角形，就可以包住此正方體，如下圖所示：這個(gè)形狀可以用邊長(zhǎng)為的正方形來(lái)覆蓋，則所需紙的最小面積為.【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直、面面垂直的證明、考查最小面積的求法；解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用立體幾何中線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.21.如圖所示，在四棱錐中，平面，是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面；（3）若是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則線段上是否存在點(diǎn)，使平面？說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）存在；理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行性質(zhì)定理即可證明；（2）取的中點(diǎn)，連接，利用中位線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，以