1、 目錄 TOC o 1-5 h z 摘要 1 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 引言 2一、對(duì)化歸思想的理解 2（一）化歸的定義 2（二）化歸的實(shí)質(zhì) 2（三）化歸的原則 3（四）化歸的步驟 3（五）化歸圖釋 3（六）化歸的分類 3 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 二、常用化歸方法及其應(yīng)用 4（一）命題化歸 4（二）映射化歸 10（三）變量替換 17三、化歸方法的實(shí)際應(yīng)用 21 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 結(jié)束語 24參考文獻(xiàn) 25數(shù)學(xué)化歸方法

2、及其應(yīng)用摘要：數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)活的靈魂，化歸思想是其中重要的一種。在解決數(shù)學(xué)問題的 過程中，我們往往把待解決的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將困難的問題 轉(zhuǎn)化為容易的問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題等等。這種數(shù)學(xué)問題之間的相互轉(zhuǎn)化 就稱為數(shù)學(xué)化歸。數(shù)學(xué)化歸在數(shù)學(xué)的理論研究及數(shù)學(xué)問題的解決過程中都占有重要的地位，是 解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)強(qiáng)有力的武器。本文將介紹化歸的定義、原理、主要方法及其實(shí)際應(yīng)用， 通過具體的例子和實(shí)例，使讀者了解并逐步掌握化歸的方法和技巧，使其應(yīng)用于日常的學(xué)習(xí)和 生活。關(guān)鍵詞：化歸 典型化 特殊化 輔助命題 映射 變量替換Mathematics of R

3、eturn Method and its Application(Department of Mathsmatics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract: Mathematic ideas and methods is the soul of mathematics, and the return method is an important one. In the process of solving the mathematical problems, we tend to solve the problem of

4、 conversion of the complex issue into a simple issue, the difficult issue into an easy issue, the unsolved issue into a resolved issue, and so on. This conversion between the mathematical problems is called the mathematics of return method. Mathematics of return method plays an important role in the

5、 theoretical study of mathematics and the process of the settlement of mathematical problems. It is a powerful weapon of the mathematical problems. This article describes the definition, principles, main methods and practical application of the return method. By the adoption of concrete examples and

6、 cases, the readers can understand and master the progressive return methods and techniques to apply to everyday learning and life.Key words: return methods typification specialization the supplementary questions mapping variable substitution引言辯證法告訴我們：任何事物都不是孤立、靜止和一成不變的，而是 在不斷地發(fā)展變化著。因此，作為一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

7、，其組成要 素之間的相互依存和相互聯(lián)系的形式是可變的，正是這種可變的性質(zhì)， 產(chǎn)生了數(shù)學(xué)化歸。數(shù)學(xué)化歸在數(shù)學(xué)的理論研究及數(shù)學(xué)問題的解決過程中都占有重要 的地位。例如，兩個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)之間的同構(gòu)關(guān)系（視為一種化歸） ，使得 不同的數(shù)學(xué)對(duì)象化歸在同一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中進(jìn)行研究， 從而導(dǎo)致新的數(shù)學(xué) 理論的產(chǎn)生，因此推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。另一方面，化歸又為解決數(shù)學(xué)問 題提供了一個(gè)有力的武器。“問題是數(shù)學(xué)的心臟” ，而幾乎所有的數(shù)學(xué)問題的解決都離不開化 歸，只是所體現(xiàn)的化歸形式不同而已。計(jì)算題是利用規(guī)定的法則進(jìn)行化 歸；證明題是利用定理、公理或已解決了的命題進(jìn)行化歸；應(yīng)用題是利 用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行化歸。 可以說，離開化歸，

8、 數(shù)學(xué)問題的解決將寸步難行。因此，我們必須了解并掌握數(shù)學(xué)化歸的方法和技巧，使其熟練地應(yīng) 用于學(xué)習(xí)和生活當(dāng)中。一、 對(duì)化歸思想的理解（一）化歸的定義 化歸指的是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)。即把數(shù)學(xué)中待解決或未解決的問題，通過 觀察、 分析、聯(lián)想、類比的思維過程， 選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換、 轉(zhuǎn)化， 歸結(jié)到某個(gè)或某些已經(jīng)解決或比較容易解決的問題。二）化歸的實(shí)質(zhì)在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，往往把待解決的問題轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的問 題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將困難的問題轉(zhuǎn)化為容易的問題，將未解決的問 題轉(zhuǎn)化為已解決的問題等等。（三）化歸的原則將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟知的或已解決的問題； 將抽象的問題轉(zhuǎn)化 為具體的直觀的問題；將復(fù)雜的問題

9、轉(zhuǎn)化為簡單的問題；將實(shí)際的問題 轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，使問題便于求解。（四）化歸的步驟其一，化歸對(duì)象，即對(duì)什么進(jìn)行化歸；其二，化歸目標(biāo)，即化成什么；其三，化歸手段方法，即如何化歸。（五）化歸圖釋欲討論問題A，可轉(zhuǎn)化為討論問題B，然后利用問題B的解答去完 成問題A的解答。化歸的一般模式為：（六）化歸的分類化歸可分為等價(jià)化歸和半等價(jià)化歸，其中半等價(jià)化歸可分為強(qiáng)等 價(jià)化歸和弱等價(jià)化歸。等價(jià)化歸就是指同一等價(jià)類中的元素相互轉(zhuǎn)化， 化歸前后的問題在 所定義的等價(jià)關(guān)系下保持某一方面的“同質(zhì)”，這種同質(zhì)就使化歸后問 題的解答保證了化歸前問題的解答。 在同一等價(jià)類中的元素可以相互轉(zhuǎn) 化，其轉(zhuǎn)化前后的問題保持在等價(jià)關(guān)

10、系下的同質(zhì)，轉(zhuǎn)化后命題屬于該等 價(jià)類。在同一類等價(jià)集中的問題也可以相互轉(zhuǎn)化， 但其轉(zhuǎn)化前后的問題不 保持在半等價(jià)關(guān)系中的同質(zhì)，近似的轉(zhuǎn)化命題屬于化歸后問題所在的半 等價(jià)集。盡管半等價(jià)化歸不一定能徹底解決原問題，但由于它的條件弱 于等價(jià)化歸，因此應(yīng)用范圍寬于等價(jià)化歸。二、 常用化歸方法及其應(yīng)用（一）命題化歸命題的典型化化歸就是指把所解命題化歸為個(gè)別典型命題。設(shè)所給命題為A，A的典型命題B是指：A可推導(dǎo)出B并且B也可推 導(dǎo)出A，且利用B能容易處理A。命題的典型化化歸在數(shù)學(xué)解題中隨處可見。我們常常在解題時(shí)用“不妨設(shè),”，“不失一般性”，“任取一個(gè)滿足題設(shè)的圖形,”等等 語言，其實(shí)質(zhì)就是將命題作典型化

11、化歸。因?yàn)槊}的典型化化歸是等價(jià) 化歸，所以典型命題解決后，原命題也已解決。例1 .三次方程ax3 bx2 ex d = 0 a = 0的求根問題，可等價(jià)化歸為討論方程x3 bx2 ex d =0。令x = y -（此代換為等價(jià)變換），代入3x3 bx2 ex d =0 , 化簡后便是 y3 py q = 0 , 其中 p = 7 -2 b , q = 2 a3 - 1 ab e ,此方程于原方程等價(jià)，因此x3 px 03273即為原方程的典型命題。一旦后者解決了，原方程的解也就求得了。而 x3 px0的求根是容易的。例2 .在三角形ABC中，AB)AC, AD為中線，fyAE 為高。求證：

12、AB2 AC2 =2BC DE 。證明：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè) A,B,D的坐標(biāo)分別為a,h, -b,0, 0,0,則 C,E 的坐標(biāo)為(b,0)(a,0 )。Bo(D) E C x二 AB2 =(a+b2 +h2,AC2 =(abf + h2,BC=2b, DE = a.二 AB2 - AC2 二 a b 2 - a - b 2 =4ab.而 BC DE = 2ab,/. AB2 - AC2 =2BC DE。分析：本題如果以BC,AE所在的直線分別為x軸和y軸建立直角坐 標(biāo)系，那么，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)就比較麻煩。之所以要選取一種典型情況建立 坐標(biāo)系，是因?yàn)橥粋€(gè)圖形在不同坐標(biāo)系李實(shí)質(zhì)是在一個(gè)坐標(biāo)系

13、中該圖 的位置不同，經(jīng)過合同變換（合同變換時(shí)等價(jià)變換）后，可化歸為解該 題所建立的坐標(biāo)系中的圖形所在位置。這種特殊位置即為典型化，從而 使原問題得以解決。命題的特殊化化歸命題的典型化化歸與特殊化化歸的區(qū)別在于：典型化化歸中， 化歸前后的命題屬于同一等價(jià)類，而特殊化化歸中的化歸前后命題屬于同一個(gè)半等價(jià)集。例3 .從圓的直徑AB的一端A引兩弦AP,AQ,過B點(diǎn)引該圓的切線與AP,AQ,的延長線交于f/ M , N 點(diǎn).求證：NMPN =NMQN.證明 1：如圖（右），連結(jié) PQ,PB , ABN是。O 的切線，二 ABM =90，二 PMB 二 PBA 二 PQA ,二 P,M,N,Q 四點(diǎn)共圓，

14、二.MPN =/MQN。證明2：如圖（右），連結(jié)BP,BQAB 是OO 的直徑，二.APB =90 ,MN 切O O于 B，二.ABM =90 ,Rt：ABM 斜邊上的高是 BP,AB2 =AP AM， 同理 AQ AN .P,M ,N,Q 四點(diǎn)共圓，二.MPNA=AB=，二 AP AM = AQ AN ,-ZMQN 。分析：證明1是錯(cuò)誤的。因?yàn)橛深}設(shè)P,Q可位于AB的同側(cè)或異側(cè),證明1考慮的是異側(cè)情況，而證明過程不完全適用于P,Q位于AB同側(cè)的 情形，因此所證明的命題不是原命題的等價(jià)命題。證明2是正確的。因?yàn)樵谧C明的全過程中，其理由完全適合上圖的兩種情形，所以所證得命 題與原命題等價(jià)。例4.

15、如果aid an是小于1的正數(shù)，而bH, b是這些數(shù)的某一種排列。那么，所有的數(shù)1-印bi, 1-a? b2,1-a. b不可能都大于丄。4分析：取n =1的情況，此時(shí)必有a = b1。二1 -a1 a - - - a-i -12丿 4 4當(dāng)n = 2時(shí)可排序使1 p aj 1 - a2 a2 丄1 = 1 ，二不可能有兩個(gè)因子都4 4大于1。41 -厲 a 1 -a? a?1 _an bn f1 - a1 a11 - a2 a2對(duì)一般的，將b1,b2bn作調(diào)整，可使.不可能n個(gè)因子都大于丄。4構(gòu)造輔助命題化歸在很多情形中，往往需要構(gòu)造一下輔助命題去幫助解決原命題,F面是一些構(gòu)造輔助命題的常用

16、方法。（1）構(gòu)造等價(jià)輔助命題 例5.已知x1。求證：2 x3-。x證明：構(gòu)造函數(shù)f X =2.x 一3 1。則f x 0與原不等式等價(jià)。x當(dāng) x1 時(shí)，f 上=1 一丄=X、0。 f X。而f 1 =2.1 3 1 = 0，所以f x 0。故原不等式成立。（2）構(gòu)造一般化輔助命題 1984 1984例 6.試證：（1+0985）-（1-J1985）能被 J1985 整除。證明：構(gòu)造函數(shù) f x = 1 x 1984 - 1 -x 1984。T f -X - -f X , f X為奇函數(shù)。而丄冬只含X的偶次項(xiàng)，X1. 1985 1984 - 11985 1984故命題成立必為整數(shù)。（3）構(gòu)造輔助

17、方程例7.已知|g2_4lg2lg=0。求證：a,b,c三數(shù)等比數(shù)列 3丿 ib丿lc丿 TOC o 1-5 h z 證明：構(gòu)造方程iga X2ig X+|gb。，l b丿 i a丿c因其系數(shù)和Ig 1 + ig 1 + ig 1=0 ,故1有根x = 1。lb丿 ia丿ic丿又由已知條件，知1兩根相等,I bigba7 即 igig旦,.acbigba,b,c成等比數(shù)列構(gòu)造輔助數(shù)列n例 8.求和 Sn=Mk k 1 k i k m m N。x-1x 解：設(shè) ak = k k 1 k ik m 。構(gòu)造輔助數(shù)列bk =k k 1 k 2 ik mk m1 ,= k1i.k mk m1 km 2

18、km2 bk.k=k m 2 bk ,kbk 1 - kbk = m 2 bk。bk ,k則bk 1所以kbk 1兩邊求和即 bn 1 - binn二 i.bk 1 - bk = m 2 二 k 4k 4=m 2 Sn - a1 an 1 ,故 Sn =m +2而 bn 1 二 n m 2 an 小二 m 2 印,.1n +m +1Snnan 1an om+2m+2(5)構(gòu)造行列式a1 - an 1 o例9.已知a,b,c不全為零,且 a = bcosC ccosB,b = ccosA acosC,c = a cos B b cos A。求證:2 2 2cos A cos B cos C 2c

19、os AcosB cosC =1 。證明：要證cos2 A cos2 B cos2 C 2cosacosbcosC = 1 ,只需證cosC-1cosC-1cos B cos AcosBcosA = 0-1只需證由已知條件,-a bcosC ccosB 二 0 acosC -b ccosA =0 有非零解。a cos B b cos A - c = 0知上面齊次線性方程組有非零解a,b,c o故命題得證。規(guī)律:具有f x =axnn -1a1x anJxan形式的多項(xiàng)式可表示成一個(gè)行列式:Dn 1an 4an0-100-1 利用這個(gè)代換，可以解決一些多項(xiàng)式問題，比如多項(xiàng)式的因式分解解方等等。定

20、理：方程fl(x)f2(x)的所有解都是方程fi(x)f2(x)gi(x)g2(x)gi(x)g2(x)=0的解由定理可知 凹二衛(wèi)二fl(X)以“二。的化歸是半等價(jià)化歸，gi(x) g2(x)g(x) g2(x)行列式方程的根必須代人原方程驗(yàn)根。(6)微分中值定理應(yīng)用中輔助函數(shù)的構(gòu)造在應(yīng)用中值定理證題時(shí)，有時(shí)需要構(gòu)造一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件 的輔助函數(shù)。在證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理時(shí)，分別利用了一下兩個(gè)輔助函數(shù)：F x 二 f x f a 上 H xa ,g(b)-g(a )F f x - f a 一斗 dg x g a 】,，g(b)-g(a)然后利用羅爾定理去證明。由于微分和積分是互逆

21、的運(yùn)算，因此可以從兩個(gè)中值定理的結(jié) 論入手，通過積分去尋找輔助函數(shù)。事實(shí)上，由拉格朗日中值定理的結(jié) 論：f b 二 a , a,b ,b a兩邊取不定積分fd丄f b f a d ,b -a得 f =4! c.b a將換成x，得f x二丄衛(wèi) 8x c,b a兩邊作差就是證明拉格朗日中值定理所需的輔助函數(shù)。同樣，對(duì)柯西中值定理兩邊積分，得f 二 f b f a g d，即、g（b）g（a），f J b r A g .c，從而得。g（b）-g（a）這樣，就得到了解決這類問題時(shí)構(gòu)造輔助函數(shù)的一般方法，即從待證明 的問題結(jié)論出發(fā)，通過積分區(qū)尋求輔助函數(shù)。例10.設(shè)f x在0,1上可導(dǎo)，且f 0 =0,

22、 f 1=；。試證：必存在二10,1，使 二 2（1 + 2）2。1 _匕2分析：由f = 2，將換為X后取不定積分，得（1+呼）1 2f x dx 二 一 dx ，解得 f x 紜 +C。 （1+x2）1+x所以得輔助函數(shù)F x二f x -亠。1+x證明：構(gòu)造輔助函數(shù)F x二f x, 易驗(yàn)證F x滿足羅爾定理?xiàng)l件,因此存在-0,1，使F=0，1 _ E2 即得f。（二）映射化歸 1.恒等變換在集合A中定義一個(gè)變換 ：aA ,即J把每個(gè)A中的元素與自身對(duì)應(yīng)起來，稱為集合A上的恒等變換。因此，集合 A中 的恒等變換，是A到A的等價(jià)化歸。下面是常用的恒等變換方法。（1）配方法配方法是數(shù)學(xué)中一種重要

23、的恒等變形方法， 在因式分解、根式化簡、 解方程、證明等式及不等式、求函數(shù)的極值、化簡二元二次方程等方面 者E有廣泛的應(yīng)用。由于配方是在定義域不變的情況下進(jìn)行的，因此是等 價(jià)化歸。例 11 .已知 x y z = 3, xy 5z = 1。求 x2 y2 z2 的最小值。解：由 x y z = 3,x 一 y 5z =1，得 x = 2 一3z,y = 1 2z 222 2 2 2xyz= 2 - 3z 亠1 2z 亠 zf 2 J4z 時(shí)5=1平-刁o6 一 73-時(shí),八1；,1； , x2 y2 z2取得最小值3；“ 1”的巧用1”在數(shù)系中占有重要地位，作為數(shù)域里面的元素，它是單位元因此產(chǎn)

24、生了許多關(guān)于“ 1”的恒等式，如：仁a“aa = O ,a1 =sin2 a - cos2 a,1 二 tan , tan a cot a = 1, log a a = 1 a 0,a = 1 , 等等。因此在解題 4時(shí)，有時(shí)利用這些恒等式，往往事半功倍。dx例 12 .解 kT。A八=4一1 ，1bAB BDsinS Bcd _ 22S1s bcd ad BDsin：2AB又T AB BC /. 0 AB1。BC.仁俎 CD CD。故 adcd。BC AD AD-1 _ S ABDS ABD1BD CD sin 180 -:BBC BD sin2ABBCCDAD公式巧用公式的逆用、變形時(shí)恒等

25、變換的一個(gè)重要技巧。例如：等比數(shù)列的求和公式，逆用便成了因式分解公式;二項(xiàng)式定理逆用便是一類特殊數(shù)列的求和公式;隸莫佛公式Cos： isi門 訂 二cosisinn經(jīng)變形Z“ 二 cosn v i sin n-= cosn v - i sin nr ,可得Z z ，sinn =2 z z2in 1Zz丿從而使復(fù)數(shù)運(yùn)算成為解決三角式化簡、求值的有力工具。1X8 1-X81 -X2例 14.因式分解 x14 x12 一 x2 1 x2 = 1。解:x14 - X12X2 1 二 11 -xx81 xx2 -m x2。1X總結(jié)：本題的解答，巧用了等比數(shù)列的求和公式:恒等分割nA = A型，其框圖為:

26、i 4例15.求一dx(x-Ux1)解:2x 2j , 22 dx (x 1 x2 +1 2=ln x -1 - ln(x2 +1 )arctan2dxx -1x2 1, 2xdxdx2(x2 +1)x J C。 x212點(diǎn)數(shù)映射化歸我們把平面上的點(diǎn)集到實(shí)數(shù)集a,b ?的化歸，稱為點(diǎn)數(shù)映射化。歸。因此，可以建立平面上的點(diǎn)集到實(shí)數(shù)偶集的映射。實(shí)數(shù)偶集a,b 到平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集的化歸是等價(jià)化歸；平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集到實(shí)數(shù)偶集a,b泊勺化歸也是等價(jià)化歸。因此，我們可以使幾何問題與代 數(shù)問題互相化歸。這種化歸，往往可以使欲解決的問題簡單化。(1)幾何問題代數(shù)化例16.已知M,N分別是正方形AB

27、CD的鄰邊AD和CD的中點(diǎn)，連結(jié)CM , BN相交于點(diǎn)P。求證：PA = AB證明：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，則正方形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A0,0,B1,0,C 1,1 ,D 0,1 ,點(diǎn)M ,N的坐標(biāo)分別為所以，直線CM的方程為y=1x 1，直線BN的方程為y=2x1 ,將兩方程聯(lián)立求得噹勺PA916=1X 2525AB = PA。映射由此，可歸納出幾何問題代數(shù)化的圖釋:點(diǎn)C ,使.ACB取得最大值，并求出該最大值。解：如圖，過AB的中點(diǎn)R作直線RD / x軸，以A為圓心，OR 為半徑作弧交直線RD于D，再以D為圓心，DA為半徑作圓/ RD / x車由， 二D至U x車由的距

28、離為OR二DA 二圓D過點(diǎn)代B且與x軸相切。設(shè)切點(diǎn)為C ,則點(diǎn)C即為所求。因?yàn)槿粼O(shè)點(diǎn)C /為x軸正半軸上異于點(diǎn)C的任一點(diǎn)，則C /必在圓D夕卜, 由平面幾何知識(shí)易知，.AC B . ACB。現(xiàn)設(shè)OA =a,OB| =坑043 ），則由上述作法可知:AD=OR =a minARa -b2amaxoo 二 2。a max這種方法的模式為：幾何表示實(shí)復(fù)數(shù)映射化歸實(shí)際上，三者可以相互化歸。例18.求譏3 -x y +i + Jx2 +4的最小值。解：設(shè)乙=3 - x i, z x 2i。z+|z2 乙 +z2 =|（3 x ）+i+x+2i = 3 + 3 =3（2。而在 乙+ z2|X乙+z2中，當(dāng)

29、且僅當(dāng) 乙=kz2（k乏R）時(shí)取等號(hào)，即 3 - x i = k x 2i 。解得：k = 1, x = 2。2.當(dāng)x = 2時(shí)，.3 - x2 14的最小值為3 2向量化歸復(fù)數(shù)集到以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量集的化歸是等價(jià)化歸，反之亦然。 復(fù)數(shù)集到向量集的化歸是等價(jià)化歸，反之亦然。因此，平面點(diǎn)集、實(shí)數(shù) 偶集、復(fù)數(shù)集、向量集之間可以互作等價(jià)化歸。例19.如圖，設(shè)AC是平行四邊形ABCD的較長的對(duì)角線，CE _ AB于E , CF _ AD 于 F。求證：AB AE AD AF = AC 2。證明：取AB, AC,AD,CE,CF為基本向量,貝卩 AE 二 AC CE,AF 二 AC CF.AC AB A

30、D 二 AC 彳,即 AB AC AD AC 二 ACFCDBr - 2 二 AB AC AB CE AD AC AD CF = AC。得 AB AC CE AD AC CF AC?, 即 AB AE AD AF 二 AC?。由此得： AB AE AD AF =AC2。反函數(shù)化歸設(shè)函數(shù)f ：A，B是雙射，若f的逆映射L存在，則 L也是 雙射，則稱f4為f的反函數(shù)。所以，函數(shù)f的反函數(shù)L存在當(dāng)且僅當(dāng)f 是雙射。若函數(shù)f存在反函數(shù)f ，則從f的定義域A到值域B的化歸是 等價(jià)化歸，從值域B到定義域A的化歸也是等價(jià)化歸。例20.設(shè)a,b,c是不等于1的正數(shù)。證明：.b. c.alglglgcaba b

31、 ci。分析：因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，而一個(gè)函數(shù)如果存在反函數(shù)，則是唯一的，即是惟一的，即函數(shù)與其反函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的, 因此可以在兩者之間互相化歸，且這種化歸是等價(jià)化歸。b2.丿bcalglglg.令 x=a c,y = b a,z = c ,貝 U lg x = lglg y = lg c - lg a llg b , lg z - Ug a - lg b llg c。三式相加,得 lg x lg y lg z = 0 , 即 lg xyz = 0 ,二 xyz = 1 ,alg. c b =1。clglg即 a c b a此外，在處理反三角函數(shù)問題時(shí)，往往采用反函數(shù)化歸，化問題為

32、三角函數(shù)討論。但解反三角函數(shù)問題必須注意反函數(shù)的主值區(qū) 間，否則函數(shù)不可逆，此時(shí)的化歸是半等價(jià)而不是等價(jià)的。（三）變量替換所謂變量替換，是指把一個(gè)數(shù)學(xué)式子中的某一些量以另一些與 此相關(guān)的量去替代，從而使該數(shù)學(xué)式子變得較為簡單或易于解決的化歸 過程，其實(shí)質(zhì)是數(shù)集到數(shù)集的映射化歸。變量替換是數(shù)學(xué)解題的一種重要化歸方法。在討論幾種常用的變量替換之前，首先了解一下變量替換的分類。一種分類，根據(jù)替換的變?cè)膫€(gè)數(shù)，變量替換可分為一元和多 元變量替換。 另一種，若是“以元代式”的替換則叫做第一類變量替 換，若是“以式代元”的替換則叫做第二類變量替換。由此，可以得出變量替換的化歸原理：,.g(x)=ty二 f

33、lgxJ*#y二 ft這是一個(gè)互逆化歸過程。通過變換t = g x ,可以把y = f x】化 歸為y二f t，這是第一類變量替換；反之，通過t二g x，把y二f t化為 y = f g x 1,這是第二類變量替換。下面討論幾種常用的變量替換。整式變換在 八f g x g x =t 卜y = f t中，若g x為整式，則稱該變換 為整式變換。例：在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解 x2 5x 6 x2 7x 6 -3x2。設(shè)y = x2 6x 6，則原式=yx y x j3x2 二 y24x2 二 y2x y 2x = x2 4x 6 x2 8x 6。由上題可以看出，變量替換關(guān)鍵在于通過觀察式子的規(guī)律設(shè)出

34、g x，使計(jì)算和證明過程加以簡化。分式變換在解方程、證明不等式、求函數(shù)值域、解不等式、證明恒等式等化 歸中往往采用分式作變換替換，這種分式的變量替換包括第一類變量替 換和第二類變量替換。以解方程為例，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求方程 3x4 -7x3 8x2 -7x 0的解。采用倒數(shù)方法，方程兩邊同除以x2，得f1、 f 1 13 x2 = 7 x+_ | + 8 =0。 令 y=x+_ ， 得 3y2_7y + 2=0 。 當(dāng)Ix丿 i x丿xy -：,-21，3y2 -7y 2=0 與原方程同解，解得 y 2，y-（舍3去）。所以x - = 2，即x=1。故原方程的根為x = 1。x無理變換無理變換在解

35、無理方程時(shí)經(jīng)常使用。下面是適用于無理變換的無理 方程的形式及變換方法。（1）F=AnfxLB2nfx C=0，設(shè) y = gx = 2n f x 。 F = An f (x )十 Bn+ c = 0，設(shè) y = g(x )= ；： f (x )。 f(x)F=nfxA2nnfxB2mC=0，設(shè) y = nfx例 21 .解方程 65 x 2 - 43. 65 - x 2 = 53 652 - x2 。解：根據(jù)分式變換，方程兩邊同除以3 65 x 2 ,得旦1(65 -x 丿5岳設(shè)心65 x ,65-x解得 y7 八4，即 x=o,x=63。經(jīng)驗(yàn)根，x =0,x =63均為原方程的根。形如fx,nb ex + d，通常作代換g；：.；(a,c不同時(shí)為0)三角變換下列形式，通常采用三角變換求解。(1) f x, a2 -x2 a 0，其中f是x和、a2 - x2的代數(shù)函數(shù)。令 x = asin t = g(t j a ：0,一 蘭t 蘭 一 |或令 x