1、現代電路理論與設計第章基于反饋結構的二階有源RC濾波電路的分析與設計3.1 理想運算放大器及其應用電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用 1兩個輸入端口的輸入阻抗均為無窮大。即同相端和反相端都沒有電流（I1=I2=0）(虛斷)； 2增益為無窮大。從而使兩個輸入端之間的電壓Va等于(虛短)；輸出阻抗為。即輸出電壓與輸出電流無關。電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用3.1.1 理想運算放大器 理想運算放大器工作在線性區域時，具有如下特性：_+VoVaI1I2 +ViR2_+VoR1R3 +ViR2_+VoR1R3R2_+VoR1R3 +Vi1 +Vi2反相比例運算電 路同相比例運算電

2、 路差分電路電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用3.1.2 理想運算放大器的應用例3-1由運算放大器組成的放大電路如圖所示。 (1) 求電壓增益的表達式； (2)若R1=51k，R2=R3=390k。當vo=-100vi時，求R4=? R1viR2vo-+i1i2R3R4NMi3i4電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用解：(1)求電壓增益的表達式 列節點N和M的節點方程：，即 ，即 解上述方程得：電壓增益為：R1viR2vo-+i1i2R3R4NMi3i4電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用（2）求R4即求得：R4=35.2kR1viR2vo-+i1i2R3R4NMi3

3、i4電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用例3.2 圖3.11是一個由集成運放組成的儀器放大器，試分析：(1)電路的結構和作用；(2)電路輸出電壓與輸入電壓的關系式。 v1v2R1R2R2A2R3R3R4R4-v3v3-v4v4A1A3+電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用解：（1）電路的結構和作用 運算放大器A1、A2組成第一級差分放大電路。R1和R2組成反饋網絡，引入負反饋以保證兩個運算放大器工作在線性狀態。運算放大器A組成第二級差分放大電路，實現對第一級差分放大器輸出信號v3、v4的相減運算；v1v2R1R2R2A2R3R3R4R4-v3v3-v4v4A1A3+電路理論與設

4、計3.1 理想運算放大器及其應用（2）電路輸出電壓與輸入電壓的關系 利用虛短特性可得電阻R1上的電壓降為v1v2。由于理想運放具有虛斷特性， 流過R1上的電流(v1v2)/R1就是流過電阻R2上的電流。即：v1v2R1R2R2A2R3R3R4R4-v3v3-v4v4A1A3+電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用 由A3、R3、R4組成差動放大器，電路的輸出電壓與輸入電壓的關系為：v1v2R1R2R2A2R3R3R4R4-v3v3-v4v4A1A3+電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用例3-3求圖示網絡的增益Vo/Vi。電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用 解：運放1由兩

5、個信號驅動，一個是輸入信號Vi，另一個是輸出信號Vo經運放2放大以后的一部分信號。它的輸入為這兩個信號之差。 運放2的輸入信號是Vo，其輸出為-(R2/R1)Vo。于是，圖(a)可以簡化為圖(b)。(b)(a)電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用因為Ia=0，所以電阻R4上的電壓為： 因為Va=0，所以電阻R4上的電壓必須等于輸入電壓Vi： 求得增益為： 電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用例3.4 差動式積分運算電路如圖所示。設運算放大器是理想的，電容上的初始電壓等于零，且C1=C2=C，R1=R2=R。求該電路的輸出電壓和輸入電壓的關系。C1-vi1R1+iCvovi2R2

6、vNvPC2電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用 解：輸入電壓vi2單獨作用即vi1=0時，電路為同相積分器電路。設此時的輸出為vo2，于是有： 因為1/s表示積分，所以有： C1-vi1R1+iCvovi2R2vNvPC2電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用 同理，當輸入電壓vi1單獨作用即vi2=0時，電路為反相積分器電路。設此時的輸出為vo2，于是有： 可見，此電路實現了差分式積分輸出。C1-vi1R1+iCvovi2R2vNvPC2電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用 當輸入電壓vi1和vi2共同作用于該電路時，其輸出vo為：例3-5差動放大電路如圖所示。（1）

7、當V2分別等于0、V1、-V1時，求從V1看進去的阻抗；（2）當V1分別等于0、V2、-V2時，求從V2看進去的阻抗。-kRVoI1RI2 +V1R+V2abkR電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用 解：（1）為了求從V1看進去的阻抗Z1，必須計算I1, 其中I1與V1 和a點的電壓有關。a點的電壓與b點的電壓相等.于是有： V1提供的電流I1為： 于是，可以求出Z1： -kRVoI1RI2 +V1R+V2abkR電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用 V2分別等于0、V1、-V1時，求從V1看進去的阻抗Z1分別為：（2）為了求從V2看進去的阻抗Z2，必須計算I2。因為b點通過電

8、阻KR接地, 所以I2與V1無關。于是當V1分別等于0、V2、-V2時，求從V2看進去的阻抗都相等。為：-kRVoI1RI2 +V1R+V2abkRV1=V2的情況下，阻抗Z1達最大值。電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用例3-6由運算放大器組成的放大電路如圖3-2所示,調整電位器可使放大器的增益在-10到+10 之間變化。 (a) 求r1和r2的值； (b) k為何值時放大器的增益等于零？ (c) 將求出的值轉換為實際值。r1r2K10(1-K)1010+Vi11211_+Vo電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用解：(1)求r1和r2的值因為圖(a)中信號源Vi的內阻為零，故

9、可以將它改畫為圖(b)(c)r1r2K10(1-K)1010+Vi11211_+Vo11r1r2K10(1-K)1011_+Vo+Vi+Vi2r1r2K10(1-K)1010+Vi11211_+Vo電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用(a)(b)(c)為了簡化電路，根據戴維寧定理，將圖(c)改畫為圖(d)11r1r2K10(1-K)1011_+Vo+Vi+Vi211r2K10(1-K)1011_+Vo2r1+(c)(d)電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用由圖(d)可以求出電路的反向增益G-和同相增益G+: 11r2K10(1-K)1011_+Vo2r1+電路理論與設計3.1

10、理想運算放大器及其應用由疊加原理得： 11r2K10(1-K)1011_+Vo2r1+電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用 在k=0的極端情況下，上式中第一項最大，第二項最小。因此，輸出最負，于是有：由此求得： r2=10/11r1r2K10(1-K)1010+Vi11211_+Vo電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用在k=1的極端情況下，輸出最正，于是有：由此求得： r1=20/99。r1r2K10(1-K)1010+Vi11211_+Vo電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用 （2） k為何值時放大器的增益等于零？將r1=20/99、r2=10/11代入G(k)的表達

11、式，得： 令G(K)=0, 可求得增益等于零時的k值： k=24/145。得：電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用 （3）將求出的值轉換為實際值。 如果Vi超過數十毫伏，則圖3-2中的電流很大，從而對信號源和運放的輸出增加不必要的負擔，運算放大器可能過激勵。為了解決這一問題，將圖中各電阻乘以1000。因為阻抗的定標并不影響電壓比，所以增益的表達式不變。 這一問主要是為了使學生了解運算放大器電路中實際元件值的實際范圍。電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用 在以上討論中，都假定運算放大器工作在線性狀態。 實際的運算放大器的工作狀態有三種： 線性狀態； 出現振蕩； 飽和狀態。 如果運

12、算放大器工作在飽和狀態或出現振蕩，則上面討論的方法不在適用。電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用 判斷算放大器到底是否工作在線性狀態的簡單方法是： 搭建電路并測試它。例如，對于反相運算放大電路，如果它工作在線性狀態，則其輸入和輸出的關系為： 如果測得的結果符合上述關系，則證明運算放大器工作在線性狀態； 如果輸入為直流電壓，而測得的輸出是正弦波，則證明運放大器出現振蕩； 如果無論輸入怎么變化，測得的輸出都是一個固定不變的直流電壓，則證明運放大器工作在飽和狀態。電路理論與設計3.1 理想運算放大器及其應用3.2 實際運算放大器對電路性能的影響電路理論與設計3.2 實際運算放大器3.2.1.

13、 實際運算放大器的單極點模型 1 實際運算放大器和理想運算放大器的不同: (1)增益不再是無窮大而是與頻率有關,即A(s). (2)輸入電壓不再是零而是Va(s). (3)輸出電壓也是頻率的函數Vo(s)=A(s)Va(s). 實際運算放大器的符號如圖3-8(a)所示。改進模型如圖3-8(b)所示.它是理想化模型的改進。 (a)電路符號(b)等效電路Vo(s)=A(s)Va(s)_+A(s)I1=0I2=0Va(s)12+Vo(s)_3+312Va(s)電路理論與設計3.2 實際運算放大器2 實際運算放大器的單極點下降模型 運算放大器的頻率特性： 一個實際的運算放大器的頻率特性如圖所示A010

14、|A(j)|A000A0020logA0|A(j)|/dB3dB-6dB/倍頻程-20dB/十倍頻程 實際的運算放大器的頻率特性具有歸一化的6dB/倍頻程或20dB/十倍頻程下降的特性。 電路理論與設計3.2 實際運算放大器 運算放大器的這種特性是由運算放大器及其它的內部或外部的頻率補償網絡共同實現的。 采用內部補償的運算放大器使用起來比較方便。采用內部補償的運算放大器具有更大的使用靈活性，可以增大運算放大器的工作頻率范圍。 實際運算放大器的缺點，恰恰就是因為A(s)、Va(s)、 Vo(s)都與頻率有關。 其它新型的有源器件如電流傳送器等, 恰恰就是為了克服這些缺點的。電路理論與設計3.2

15、實際運算放大器 單極點下降模型： 工作在小信號狀態下的運算放大器，其實際的增益(s)可以用一個主導極點表示，即 式（3-1）稱為實際運算放大器的單極點下降模型。它的幅度和相位特性如圖3-9所示.0A010|A(j)|0A0020logA0|A(j)|/dBA00電路理論與設計3.2 實際運算放大器0A010|A(j)|0A0020logA0|A(j)|/dBA00S=0 時: A(s)= A0S= 時: A(s)= 0S=W0時: A(s)= A0/2 上式稱為實際運算放大器的單極點模型。電路理論與設計3.2 實際運算放大器其中: A0:運放的開環直流增益. 典型值為105； 0:運放的3dB

16、頻率,也代表了3dB帶寬.典型值為10rad/S； GBA0 0運放的增益帶寬積.它是運放的開環增益等于1時的頻率;0A010|A(j)|0A0020logA0|A(j)|/dBA00電路理論與設計3.2 實際運算放大器(c)幅度特性(Bode圖)(a)幅度特性(b)相位特性00A000A01|A(j)|20logA0|A(j)|/dBA00單極點運算放大器的幅度和相位特性電路理論與設計3.2 實際運算放大器當0時實際運算放大器的單極點模型：當0時，式(3-1)簡化為 式（3-2）稱為0時實際運算放大器的單極點模型。其中A00=GB 稱為運算放大器的帶寬增益積； =1/ A00 稱為運算放大器

17、的時間常數。電路理論與設計3.2 實際運算放大器 結論： (1) 當0時，增益為 可見,當0時,實際運算放大器的增益與成反比,相位移為一個常數- /2.(4) 由圖3-9(c)的波特圖可見,實際運算放大器的增益特性是自然的低通特性。在高頻時，幅頻特性按6 dB /10倍頻程下降。所以它的這種模型稱為單極點下降模型。電路理論與設計3.2 實際運算放大器 在線性應用時，運算放大器不能在開環狀況下使用,而必須工作在閉環狀態。原因: (1)大的增益.特別是低頻信號時會引起放大器的過驅動，從而會使放大器超出它的動態范圍。例如，一個運算放大器的直流增益10，一個150的直流信號會產生-15的輸出，它會使運

18、算放大器產生飽和。 (2)大的信號會使運算放大器進入非線性區。在這種情況下,由式(3-1)表示的小信號模型不再適用。電路理論與設計3.2 實際運算放大器實際運算放大器模型的建立和簡化過程理想特性（線性的）0A0020logA0|A(j)|/dBA010|A(j)|A000A0020logA0|A(j)|/dB0|A(j)|A00實際特性（非線性的）分段線性模型（波特圖）線性模型（單極點下降模型）電路理論與設計3.2 實際運算放大器3.2.2 實際運算放大器對電路性能的影響 實際運算放大器的非理想特性為有源RC濾波器的分析和設計帶來了一定的復雜性。當電路的截止頻率達到運算放大器的帶寬增益積A00

19、的1/100時，采用理想模型分析實際放大器將帶來比較大的誤差。下面分析這種誤差。電路理論與設計3.2 實際運算放大器1. 同相放大器的帶寬和增益（1）電路 同相放大器的電路如圖 (a)所示。考慮它是一個實際的運算放大器組成的電路，而采用單極點模型時，該放大器的性能就與頻率有關。其等效電路如圖(b)所示.-A(s)VoR1+Vi1Va(s)2R2+31Va(s)2+Vo(s)=Va(s)A(s)+Vi3R1R2(a)同相運算電路(b)等效電路電路理論與設計3.2 實際運算放大器（2）增益的一般表示 為了求轉移函數Vo/Vi，先求出節點1的電壓V1: 于是增益為： 其中，K=1+(R2/R1)為A

20、=時的閉環增益。1Va(s)2+Vo(s)=Va(s)A(s)+Vi3R1R2電路理論與設計3.2 實際運算放大器 結論: 由理想運算放大器組成的同相運算放大電路的增益與運放的開環增益A有關.為: 在運算放大器為理想的情況下，開環增益|A|，增益Vo/ViK。 由實際運算放大器組成的同相運算放大電路的增益與運放的開環增益A有關.為:電路理論與設計3.2 實際運算放大器（3）增益的單極點模型表示 如果運算放大器的增益不但為有限值A,而且為頻率的函數A(s),可以用兩種模型來分析運算放大器所組成的電路的轉移函數: 則采用單極點模型A(s)=GB/(s+0)后，增益為：電路理論與設計3.2 實際運算

21、放大器電路理論與設計3.2 實際運算放大器 任何形式如K/(s+a)的函數，其3dB帶寬為=a。由式(3.27)可見，實際運算放大器組成的同相放大電路的3dB帶寬為： 可見，采用實際運算放大器以后，同相放大器增益由固定值K=(1+R2/R1)變為K/(1+sK)。或 如果運算放大器采用式(3.22)簡化的單極點模型A(s)=A00/s=1/s時，由式(3.26)可求得放大器的增益為： 設一個實際運算放大器的K=2，它的增益帶寬積A0f0=106Hz，由它組成的同相放大器在104-106范圍內的幅頻特性和相頻特性如圖所示。 由圖可見，當電路的工作頻率接近運算放大器的A0f0時，電路的特性與理想值

22、差別很大。 當K1時，可按前面兩式估算網絡函數幅度及相位的變化量。20.8104106理想特性K=2實際特性1040-90理想特性=0o實際特性（a）幅頻特性（b）相頻特性電路理論與設計3.2 實際運算放大器(5)小結 (a) 由式（3-10）可知，K0越大,(K0/A)越小，實際放大器的增益越接近理想放大器的增益K0。 (b) 由式（3-11）可知,運算放大器的3-dB帶寬為： 通常情況下，K/A03dB，則同相放大器的幅頻特性按6dB/10倍頻程下降. (e) 增益的相位從0變化到-/2， 3dB頻率處的相位為-/4。電路理論與設計3.2 實際運算放大器2 反相放大器（1）電路 反相放大器

23、的電路如圖3-12(a)所示。考慮它是一個實際的運算放大器組成的電路，而采用單極點模型時，該放大器的性能就與頻率有關。其等效電路如圖3-12（b）所示+Vi-A(s)VoR11Va(s)2R2+3(a)反相運算電路+Vo(s)=Va(s)A(s)+Vi3R1R2(b)等效電路1Va(s)2電路理論與設計3.2 實際運算放大器（2）增益的一般表示先求出運算放大器的輸入電壓Va: 設運算放大器的增益是有限的且為A 流過R1的電流為輸出電壓Vo為增益為電路理論與設計3.2 實際運算放大器 在運放為理想情況下，|A|，則有: 運放反相端的電壓Va0 為了減小運算放大器的開環增益A對電路的閉環增益Vo/

24、Vi的影響,需要使:電路理論與設計3.2 實際運算放大器 增益的另一種求法:為了求轉移函數Vo/Vi，需要先根據疊加原理求出運算放大器的輸入電壓Va: 又因為Vo=AVa,于是增益為： 在運放為理想情況下，|A|， Vo/Vi-K。電路理論與設計3.2 實際運算放大器（3）增益的單極點模型表示 運算放大器采用單極點模型A（s）=GB/(s+0)后，式（3-20）變為：一般情況下，0，則上式簡化為：電路理論與設計3.2 實際運算放大器 當采用簡化的單極點模型時：根據式（3-8）得Ks很小時網絡函數的變化量：根據式（3-6）和（3-7）以及式（3-23）得當Ks很小時網絡函數幅度及相位的變化量：電

25、路理論與設計3.2 實際運算放大器4 反相積分器的帶寬和增益（1）電路反相積分器的電路如圖3-13(a)所示。考慮它是一個實際的運算放大器組成的電路，而采用單極點模型時，該放大器的性能就與頻率有關。其等效電路如圖3-13（b）所示+ViA(s)VoR1Va(s)2C-+3+Vo(s)=Va(s)A(s)3R(a)反相積分器電路(b)等效電路+Vi1Va(s)2C電路理論與設計3.2 實際運算放大器（2）增益的一般表示為了求轉移函數Vo/Vi，需要先根據疊加原理求出運算放大器的輸入電壓Va，并令它等于-Vo/A： 于是增益為： 在運算放大器為理想的情況下，|A|， Vo/Vi-1/(sRC）。電

26、路理論與設計3.2 實際運算放大器（3）增益的單極點模型表示運算放大器采用單極點模型A（s）=GB/(s+0)后，式（3-28）變為： 當運算放大器采用簡化的單極點模型A（s）=A00/s=1/s時，式（3-28）變為：電路理論與設計3.2 實際運算放大器 根據式（3-8）得Ks很小時網絡函數的變化量： 根據式（3-6）和（3-7）以及式（3-23）得Ks很小時網絡函數幅度及相位的變化量：電路理論與設計3.2 實際運算放大器例3-4反相加法器電路如圖3-13所示。其中的運算放大器符合單極點模型。（1）求輸出電壓Vo的表達式；（2）求放大器的3-dB帶寬。(a)反相積分器電路(b)等效電路+V1

27、-+A(s)VoRaR+V2R(V1+V2)/2VoR/2A(s)-+aR電路理論與設計3.2 實際運算放大器解：（1）利用戴維寧等效定理將電源V1、V2等效以后的電路如圖3-13（b）所示。輸出電壓為：其中，K=aR/(R/2)=2a, 于是，上式簡化為：如果運算放大器為理想的，GB=,則輸出為：電路理論與設計3.2 實際運算放大器（2）任何形式如K/(s+a)的低通函數，其3-dB帶寬為=a. 因此，根據Vo的表達式可知，該放大器的3-dB帶寬為 3dB=GB/(1+2a)根據上述推導，如果有n個相同的信號源同時作用在相加器的反相輸入端，則該放大器的3-dB帶寬為 3dB=GB/(1+na

28、)電路理論與設計3.2 實際運算放大器3.3 一階系統和二階系統電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統3.3 一階系統和二階系統 含有一個不可合并的動態元件的系統稱為一階系統，描述一階系統電壓電流關系的方程是一階微分方程。 含有兩個不可合并的動態元件的系統稱為二階系統，描述二階系統電壓電流關系的方程是二階微分方程。 一階系統和二階系統是組成高階系統的基礎。本節討論簡單的一階系統和二階系統。電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統3.3.1 一階系統 典型的一階系統是雙線性系統，它的轉移函數如下： 上式所描述的系統之所以稱為雙線性系統，是因為這種系統的轉移函數的分子和分母都是s的線性函數。雙線

29、性函數描述的是一個一階濾波電路，該濾波電路的傳輸極點為s=-b0，傳輸零點為s=-a0/a1。上式也可表示為截止頻率0的形式。電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統 分子的系數a0和a1決定濾波器的類型。當a1=0時，為低通濾波器；當a0=0時，為高通濾波器；當a0=- a10時，為全通濾波器。下面對這些濾波器的特性分別進行討論。 電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統1. 一階低通濾波器(a1=0) 一階低通濾波器的轉移函數為： 一階低通濾波器轉移函數的波特圖如圖3.21(a)所示。由圖可見，它的截止頻率為0，它的低頻(00)增益隨著的增大而衰減，斜率為-6dB/(倍頻程)或-20dB/

30、(10倍頻程)。一階低通濾波器的零極點分布如圖3.21(b)所示。由圖可見，它有一個位于-0處的極點和位于無窮大頻率處的零點。電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統|H|/dB斜率=-20dB/10倍頻程(log)j 下圖為用無源元件和有源元件實現的一階低通濾波器的電路。電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統 一個轉移函數可以用無源電路實現，也可以用有源電路實現。但是有源電路有很多優點：一是體積小、重量輕；二是可獲得一定的增益，使電路更加靈活；三是轉移函數各參數可以做到獨立調節，而不互相影響；四是當電路的輸出量從運算放大器的輸出端取出時，整個電路具有低的輸出阻抗。這樣，在電路接上負載以后，

31、不會影響電路的轉移函數，便于各電路的直接級聯。這一特性在濾波器中尤為重要。有源濾波器的不足之處是由于受到有源器件有限帶寬的影響，因而它的工作頻率較無源電路要低。另外，由于使用的元件比無源濾波器多，因而它的靈敏度比較高。電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統2. 一階高通濾波器 (a0=0) 一階高通濾波器的轉移函數為： 一階高通濾波器轉移函數的波特圖和零極點分布如圖所示。|H|/dB斜率=-20dB/10倍頻程(log)j電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統一階高通濾波器 電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統3. 一階全通濾波器 （ ）一階全通濾波器的轉移函數為電路理論與設計3.3

32、一階系統和二階系統一階全通濾波器 電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統低通（LP）高通（HP）全通（AP）濾波器類型和轉移函數零點和極點分布轉移函數的波特圖一階系統小結電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統3.3.2 二階系統 二階系統結構簡單，它的數學性質人們已經很熟悉，它的物理特性不但容易測量而且容易調整。它是構成高階系統的基本模塊，是非常重要的。1. 二階系統及其一般描述 一般的二階系統的轉移函數是復變量s的兩個二次多項式之比。即電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統 其中，z和p分別為系統的零點頻率和極點頻率，Qz和Qp分別為系統的零點Q值和極點Q值。由式(3.44)可見，二階

33、系統轉移函數的分子和分母都是復變量s的二次函數，稱為雙二次函數。電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統 通過合理設置轉移函數的極點并調整二階系統表達式的分子可實現各種二階濾波函數。 當a1=a2=0時，可實現二階低通濾波函數。 當a0=a1=0時，可實現二階高通濾波函數。 當a0=a2=0時，可實現二階帶通濾波函數。 當a1=0時，可實現二階帶阻濾波函數。 當a0=b0，a1=b1， a2=1時，可實現二階全通濾波函數。 電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統 2. 二階低通濾波器(a1=a2=0) 式中，當a1=a2=0時，可實現二階低通濾波函數。它的轉移函數為： 它的低頻增益為0dB（

34、放大倍數為1）； 它的高頻增益隨s的增大而衰減，斜率為40dB/(10倍頻程)。 電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統 幅頻特性 低頻增益：為0dB(s=0時,若K=1,則H(s)=1即0dB) 高頻增益：隨s2而衰減，斜率為-40dB/10倍頻程。 零極點分布：有一對復數極點。在無窮遠處有二階零點。 電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統增益/dB斜率=-40dB/10倍頻程j0 它有一對復數共軛復數極點，在無窮遠處還有一個二階零點。式(3.45)的極點位置決定了通帶內濾波器響應的形狀。對于高Q的極點，通帶內的隆起出現在極點頻率p處。 p而隆起處的陡度隨著Q值的增大而增大。電路理論與設

35、計3.3 一階系統和二階系統附:各種因式的幅頻特性:(1)常數K的幅頻特性是一個常數(2)因式s的幅頻特性是一條隨s變化的 直線(3)因式s2的幅頻特性是一條隨s變化的直線常數、1/s、1/s2的幅頻特性曲線1/(s+a)、1/(s2+a2)的幅頻特性曲線比較dB40200.11101/(s2+a2)1/(s+a)adBK4020-20-400.11101/s21/s(斜率= -40dB/10倍頻 程)(斜率= -20dB/10倍頻 程)3. 二階高通濾波器(a0=a1=0)二階系統表達式中，當a0=a1=0時，可實現二階高通濾波函數。它的轉移函數為： 二階高通濾波器的幅頻特性如圖所示。它的高

36、頻增益為0dB， 它的低頻增益隨s的增大而增加，斜率為40dB/(10倍頻程)。電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統增益/dB斜率=40dB/10倍頻程j0dB 它的高頻增益為0dB， 它的低頻增益隨s的增大而增加，斜率為40dB/(10倍頻程)。 二階高通濾波器的零極點分布如圖3.25(b)所示。由圖可見，它有一對復數極點，并在原點處有二階零點。電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統4. 二階帶通濾波器(a0=a2=0) 二階系統表達式中a0=a2=0時，可實現二階帶通濾波函數。它的轉移函數為：斜率=20dB/10倍頻程j斜率=-20dB/10倍頻程0dB增益/dB 在低頻段，它的增益

37、隨s的增大而增加，斜率為20dB/(10倍頻程)。而在高頻段，它的增益隨s的增大而減小，斜率為-20dB/(10倍頻程)。在中心頻率p處，它的增益為0dB。電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統 它有一對復數極點，并在原點處和頻率無窮大處各有一個零點。式(3.47)極點的位置和Q值決定了通帶內濾波器響應的形狀。對于高Q的極點，通帶內的隆起出現在中心頻率p處。中心頻率p、3dB帶寬BW和Q值之間符合下列關系：電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統斜率=+20dB/10倍頻程j增益(a)增益特性 (b)零極點圖斜率=-20dB/10倍頻程0dB增益/dB圖6-3 二階帶通濾波器 電路理論與設計

38、3.3 一階系統和二階系統(a) 3dB帶寬: 在圖6-7中，在0的兩側有兩個頻率，它們的幅度都是峰值的1/2這兩個頻率之差用BW表示，稱為3dB帶寬。(b) BW與Q的關系：(c) 公式的應用: 通過測量BW和Q可以確定復極點的位置p. 通過測量峰值頻率p,和3dB帶寬BW,從而可以確定Q值。 Q值越高，帶寬越窄，說明極點非常靠近虛軸。系統對正弦信號的選擇性越好。（Q10）電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統5 二階帶阻濾波器（a1=0）幅頻特性 低頻增益： 0dB； 高頻增益： 0dB； 在中心頻率Z處，它的衰減為無窮大； 零極點分布：在s左半平面有一對復數極點，并j軸上有一對共軛復數

39、零點。電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統增益/dBj(a)增益特性 (b)零極點圖0dB圖6-4 二階帶阻濾波器電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統6 二階全通濾波器（a2=1，a1=-b1，a0=b0）電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統(1)二階系統及其一般描述含有兩個動態元件的系統稱為二階系統。描述二階系統的函數是二階函數。最基本的二階函數是雙二次階函數。它是兩個二次多項式之比。可以用和或者0和兩套參數來表征7.表征雙二次階函數的兩套參數電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統兩套參數的關系:分母的兩種表示:(2)表征雙二次階函數的兩套參數電路理論與設計3.3 一階系統和二

40、階系統 代表極點的實部； 代表極點的虛部；p代表極點的幅度（從原點到極點的距離），Q 代表從原點到極點所連接的射線斜率。Q越高，射線越陡，表示極點越靠近虛軸。 二階系統的極點: 一對共軛復數極點位于s左半平面ReImj-jpp二階系統的極點電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統3.各種濾波函數的實現： 當合理設置極點(分母的形式)以后，通過調整零點(分子的形式)可實現各種濾波函數：電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統電路理論與設計3.3 一階系統和二階系統3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計3.4.

41、1正反饋雙二次型電路結構電路結構 電路結構如圖：+Vi A RCVV123+Vor1r2=(k-1) r1 實際上，輸出電壓的一部分也經過電阻r1和r2構成的分壓器反饋到運算放大器的負端，構成負反饋。從這種意義上講，該電路實際上是一種混合反饋的結構。 電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計 作為反饋路徑的RC網絡接到運算放大器的同相端,形成正反饋,所以稱為正反饋結構。 轉移函數 為了研究這種電路結構的轉移函數，首先定義RC網絡的前饋轉移函數TFF和反饋轉移函數TFB：V1、V2、V3分別為RC網絡1、2、3端對地的電壓.2、3端為輸入端(有電源接入)1端為輸出端

42、(信號從該端取出,送入運放的輸入端.+Vi A RCVV123+Vor1r2=(k-1) r1電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計在該電路中，+Vi A RCVV123+Vor1r2=(k-1) r1電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計其中，k=1+r2/r1若運算放大器是理想的，A=,則+Vi A RCVV123+Vor1r2=(k-1) r1電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計 4 用于正反饋網絡結構中的無源RC電路 能夠實現上述帶通函數的一些RC電路如圖3-6所示。圖3-6 用于正反饋網

43、絡結構的無源RC帶通電路 132221322（c）（b）1322(a)電路理論與設計3.4 正反饋網絡結構電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計 傳遞函數TV的零點是通過在RC網絡中引入輸入信號來形成的。但該信號的引入必須不影響RC網絡的極點。因為輸入信號通常是一個低阻抗的一端接地的電壓源, 所以，唯一允許引入輸入信號而又不不影響RC網絡的極點的地方是從接地點拆開的元件端子處。這些端子如圖8-2中的2、2、2所示。 這些電路都使用了兩個電容器，這是實現二階函數所需要的最少電抗元件數。電路通過一個電容來獲得低頻時的衰減，用另一個電容來獲得高頻時的衰減。電路理論與設

44、計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計3.4.2 負反饋雙二次型電路結構電路結構負反饋網絡的結構如圖3-7 所示。之所以稱為負反饋，是因為是因為在這種結構中，作為反饋路徑的RC網絡接到運算放大器的負端（即反相輸入端）。+Vi-+A RCV-V+123+Vo電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計 轉移函數 為了研究這種電路結構的轉移函數，首先需要定義RC網絡的前饋轉移函數TFF和反饋轉移函數TFB。它們的定義與正反饋網絡結構的相同：電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計 如果將TFF和TFB都表示成分數的形式，則

45、由于它們的分母都是從RC網絡的節點行列式中得出的，而該行列式與取誰作輸入和輸出端口無關，所以TFF和TFB的分母D是相同的。即 因此，式（3-13）可表示為 在該電路中，其中，k=1+r2/r1 若運算放大器是理想的，A=,則電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計(c)(a)132(b)132132(d)132電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計 用于負反饋網絡結構中的無源RC電路3.4.3 低通濾波器的設計1. 利用正反饋結構實現的低通濾波器 (1)電路組成 利用圖3-5的正反饋結構和圖3-6（C）的RC網絡實現的低通濾波器如

46、圖3-9所示。稱為Sallen-Key（薩倫和凱）低通濾波器。 輸入信號是在RC網絡的節點2處引入的。其組成原理電路如圖3-9(a)所示，電路改畫為圖3-9 (b)。電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計 Ra+VoRb(1)+-(b)(2)+ViR1R2C2C1 Ra+VoRb1322+-(a)R1R2C1C2+Vi AVV123+Vor1r2=(k-1) r1 RC1322（c）電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計(2) 轉移函數該電路的轉移函數推導如下： 對節點1和節點2列節點方程如下 Ra+VoRb(1)+-(2)+Vi

47、R1R2C2C1電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計將上述關系代入節點（1）的方程得： 根據運算放大器同相端的關系有: 由節點（2 )的方程得: 電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計合并同類項得: 整理得: 電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計其中，K=1+(Ra/Rb)。電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計電路的轉移函數為：(3) 電路設計如果要設計的低通濾波器的轉移函數形式為將式（3-17）和式（3-16）進行比較，可得電路參數與元件值的關系如下：電路理論

48、與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計 從原理上講，為了設計圖3-9所示電路元件的參數，可以將式（3-17）和式（3-16）進行比較，并令兩式中s同次冪項的系數相等，即可求得元件值。但這樣設計出的電路元件值的分散性較大。實際設計還有一些技巧。下面介紹兩種設計方法：電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計（a）設計1 為了減小元件的分散性，取R1=R2=R, C1=C2=C, 再根據式(3-18),(3-19),(3-20)進行設計。 Ra+VoRb(1)+-(2)+ViR1R2C2C1電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波

49、器的分析與設計設計步驟如下： a) 取R1=R2=R, C1=C2=C; 并選取適當的C值; b) 根據給定的p, 求出R; c) 根據給定的Q, 求出K; d) 根據求出的K, 確定Ra和Rb。電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計例3.6 已知：Sallen-Key低通濾波器如圖所示，其電壓轉移函數如下式所示。要求：用設計1 的方法設計一個p=104rad/S, Q=1/2的Sallen-Key低通濾波器。 Ra+VoRb(1)+-(2)+ViR1R2C2C1電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計解：（1）電路參數與元件值的關

50、系如下：電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計（2）取R1=R2=R, C1=C2=C。并選取C1nF。（3）根據給定的p, 求出R : 根據題意有： （4）根據給定的Q, 求出K; 取k=2電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計（5）根據求出的K值, 確定Ra和Rb;電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計（b）設計2 為了將電容的比值控制在一定的范圍內，常采用設計2。設計步驟如下： a) 給定電容的比值, 即令C1= C ，C2=C; b) 由給定的p、Q和K, 根據式（3-18）、（3-19）、

51、（3-20）求出其它元件值; 這樣求出的電阻值R1和R2一般是不相等的，其比值符合下列關系：電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計 c) 的取值: k=1時, ; k=2時, 電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計例3.7 已知條件與例3.相同，要求：用設計2 的方法設計一個p=10rad/S, Q=1/2,的Sallen-Key低通濾波器。解：（1）電路參數與元件值的關系如下：電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計（2）取C2=C1=C， 其中應滿足4Q2=4(1/2)2=2.取2。即設C2=2C

52、1=2C若取C0.01F, 則有C10.01F，C20.02F（3）根據給定的p和k值, 求出R : 設兩電阻之比為，即設R1=R， R2=R.再設k=1 根據題意必須滿足：電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計根據題意有：（4）根據給出的K值, 確定Ra和Rb;電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計2. 利用負反饋結構實現的低通濾波器 (1)電路組成 負反饋結構的低通濾波器如圖所示。 它實際上是一種多路反饋低通濾波器.從運算放大器的輸出端到反相輸入端有兩個反饋通路.由于電路為負反饋結構,不會出現振蕩或不穩定的現象.-+Vo+Vi

53、R1R3C2C1R212電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計(2) 轉移函數 電路的節點方程為-+Vo+ViR1R3C2C1R212整理得：電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計電路的轉移函數為 將上式與標準的二階低通函數比較，可求得電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計3.4.4 帶通濾波器的設計電路理論與設計3.4 基于反饋結構的雙二次型有源RC濾波器的分析與設計利用正反饋結構實現的帶通濾波器 (1). 電路組成反饋結的Sallen-Key帶通濾波器如圖所示。+-+ViRa+VoR2R1C1C