1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)全等三角形與旋轉(zhuǎn)問題1、如圖，C是線段BD上一點(diǎn)，分別以BC、CD為邊在BD同側(cè)作等邊ABC和等邊CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，則圖中可通過旋轉(zhuǎn)而相互得到的三角形對(duì)數(shù)有_。A1對(duì) B2對(duì) C3對(duì) D4對(duì)2、已知：如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形求證：、是等邊三角形，3、如圖，三點(diǎn)共線，且與是等邊三角形，連結(jié)，分別交，于，點(diǎn)求證：與都是等邊三角形，及，三點(diǎn)共線，在與中 ，在與中 ，4、已知：如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形求證：平分 過點(diǎn)作于，于，由，利

2、用進(jìn)而再證，可得到，故平分如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形請(qǐng)你證明：；平分此圖是旋轉(zhuǎn)中的基本圖形其中蘊(yùn)含了許多等量關(guān)系與三角形各內(nèi)角相等，及平行線所形成的內(nèi)錯(cuò)角及同位角相等；全等三角形推導(dǎo)出來的對(duì)應(yīng)角相等推到而得的：；，；，；，；為等邊三角形、是等邊三角形，由易推得，所以，又，進(jìn)而可得為等邊三角形易得過點(diǎn)作于，于，由，利用進(jìn)而再證，可得，故平分5、如圖，四邊形、都是正方形，連接、求證：在和中 6、如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，求證：是等邊三角形，又、分別是、的中點(diǎn)，是等邊三角形7、如下圖，在線段同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形和()，點(diǎn)與點(diǎn)分別是線段和的中點(diǎn)，則是_。A鈍角三角

3、形 B直角三角形C等邊三角形 D非等腰三角形如圖，等邊三角形與等邊共頂點(diǎn)于點(diǎn)求證：是等邊三角形，同理，在與中， ，9、如圖，是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且，問的度數(shù)是否一定，若一定，求它的度數(shù)；若不一定，說明理由 連接，將條件，這兩個(gè)條件，易得()，得，由，(公共邊)，知()，故的度數(shù)是定值10、如圖，等腰直角三角形中，為中點(diǎn)，求證：為定值 連結(jié)由上可知，而，如圖，正方形繞正方形中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其交點(diǎn)為、，求證：正方形中，而，11、如圖，已知點(diǎn)是正方形的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是的延長線上一點(diǎn)，且 求證：證明：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，因?yàn)?，所以，所?，故，故 如圖所示，在四邊形中，于，若四邊形 的面積是16，求的長_。

4、、如圖，過點(diǎn)作，延長交于點(diǎn)，容易證得(實(shí)際上就是把逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形)正方形的面積等于四邊形面積為，12、分別是正方形的邊、上的點(diǎn)，且，為垂足，求證： 延長至，使，連結(jié)，易證，再證，全等三角形的對(duì)應(yīng)高相等(利用三角形全等可證得)，則有13、在等腰的斜邊上取兩點(diǎn)、，使，記，則以、為邊長的三角形的形狀是_。 A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D隨、的變化而變化 如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，連結(jié)，則，又易得，在中，有，故應(yīng)選(B)如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，平分交邊于點(diǎn)求證：設(shè)()，與的面積和是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)的值及若不存在，請(qǐng)說明理由 證明： 如圖，延長至點(diǎn)，使得

5、，連結(jié)因?yàn)槭钦叫?，所以在和中，?是的平分線，即，即，得證 ，由知，所以在中，由上式可知，當(dāng)達(dá)到最大值時(shí)，最大而，所以，當(dāng)時(shí)，最大值為14、請(qǐng)閱讀下列材料：已知：如圖1在中，點(diǎn)、分別為線段上兩動(dòng)點(diǎn)，若探究線段、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系小明的思路是：把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連結(jié)，使問題得到解決請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問題： 猜想、三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對(duì)你的猜想給予證明； 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段上，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在線段延長線上時(shí)，如圖2，其它條件不變，中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明你的猜想并給予證明 證明：根據(jù)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在中即又即 關(guān)系式仍然成立證明：將沿直線對(duì)折，得，連，又，又，

6、 在中即15、 如圖所示，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的，點(diǎn)、分別在、上，求的周長_。 如圖所示，延長到使在與中，因?yàn)椋?，故因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所?在與中，所以，則，所以的周長為16、在等邊的兩邊AB，AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M，N，D為外一點(diǎn)，且，探究：當(dāng)點(diǎn)M，N分別愛直線AB，AC上移動(dòng)時(shí)，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長與等邊的周長L的關(guān)系_。如圖，當(dāng)點(diǎn)M，N在邊AB，AC上，且DM=DN時(shí)，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系式_；此時(shí)=_如圖，當(dāng)點(diǎn)M，N在邊AB，AC上，且時(shí)，猜想(1)問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；如圖，當(dāng)點(diǎn)M，N分別

7、在邊AB，CA的延長線上時(shí)，若AN=x，則Q=_(用x，L表示)BM+NC=MN;(2)猜想：仍然成立證明：如圖，延長AC至E，使CE=BM，連接DE 由是等邊三角形，在與中的周長=而等邊的周長(3)(1)如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，BD，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD求證：EFBEFD;(2) 如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，B+D，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD， (1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明 證明：延長EB到G，使BG=DF，聯(lián)結(jié)AG ABGABC=D， ABAD，AGAF， GAE=EAF又AEAE，EGEF EG=BE+BGEF

8、= BEFD (2) (1)中的結(jié)論仍然成立 17、平面上三個(gè)正三角形，兩兩共只有一個(gè)頂點(diǎn)，求證：與平分連接與，在與中在與中為平行四邊形，互相平分18、已知：如圖，、都是等邊三角形，且、共線，求證：也是等邊三角形連結(jié)，所以，并且與的夾角為，延長交于，則又因?yàn)?，所以所以?9、如圖，在外面作正方形與，為的高，其反向延長線交于，求證：(1);(2)證明;(2)作，先證，再證以ABC的兩邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE、ACFG，求證：CE=BG，且CEBG 易證，故，又，故20、 如圖所示，在五邊形中，求此五邊形的面積_。 我們馬上就會(huì)想到連接、，因?yàn)槠渲杏袃蓚€(gè)直角三角形，但又發(fā)現(xiàn)直接求各三角

9、形的面積并不容易，至此思路中斷我們回到已知條件中去，注意到，這一條件應(yīng)當(dāng)如何利用？聯(lián)想到在證明線段相等時(shí)我們常用的“截長補(bǔ)短法”，那么可否把拼接到的一端且使呢(如圖所示)？據(jù)此，連接，則發(fā)現(xiàn)，且，是底、高各為的三角形，其面積為，而與全等，從而可知此五邊形的面積為21、在五邊形中，已知，連接求證：平分 連接由于，我們以為中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置因，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合，而，所以、在一條直線上，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后落在點(diǎn)的位置，且，所以在與中，因?yàn)?，故，因此，即平?2、如圖，已知和都是等邊三角形，、在一條直線上，試說明與相等的理由答案：，又23、已知：如圖，點(diǎn)是正方形的邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)求證：答

10、案：在和中24、在梯形中，是中點(diǎn)，試判斷與的位置關(guān)系，并寫出推理過程 答案：延長交延長線于點(diǎn)是中點(diǎn)，在和中，又，在和中，25、已知：如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形、分別是、 的高求證：答案：由，利用進(jìn)而再證，可得到26、在等腰直角中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)從出發(fā)向運(yùn)動(dòng)， 交于點(diǎn)，試說明的形狀和面積將如何變化 答案：連接因?yàn)榍?，所以因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且，則因?yàn)?，所以，所以，所以因此是等腰直角三角形，在的運(yùn)動(dòng)過程中形狀不變的面積與邊的大小有關(guān)當(dāng)點(diǎn)從出發(fā)到中點(diǎn)時(shí)，面積由大變小；當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，三角形的面積最??；繼續(xù)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，面積又由小變大27、如圖，正方形中，求證： 答案：延長至，使得，連接易證得：，從

11、而可得：，故28、等邊和等邊的邊長均為1，是上異于的任意一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，滿足，當(dāng)移動(dòng)時(shí)，試判斷的形狀答案：由條件，且，得因?yàn)椋裕虼耍驗(yàn)?，所以為等邊三角?9、操作：在ABC中，ACBC2，C900，將一塊等腰三角形板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點(diǎn) （1）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖加以證明（2）圖中，PD與PE之間是否還有上述數(shù)量關(guān)系？結(jié)合圖加以證明 30、如圖，P是正三角形 ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，且PA6，PB8，PC10若將PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到PAB ，則點(diǎn)P與點(diǎn)P 之

12、間的距離為多少，APB？31：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，滿足EAF=45， 求證:EF=DE+BF 32：在等邊ABC中，O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AO、BO、CO且AO=2,BO=1,CO= 3 ,求AOB，BOC的度數(shù)分別是多少？33已知： PA=2 ，PB=4 ，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè). （1）如圖，當(dāng)APB=45時(shí)，求AB及PD的長；（2）當(dāng)APB變化，且其它條件不變時(shí)，求PD 的最大值，及相應(yīng)APB的大小. 34.點(diǎn)B、C、E在同一直線上，點(diǎn)A、D在直線CE的同側(cè)，ABAC，ECED，BACCED，直線AE、BD交

13、于點(diǎn)F。(1)如圖，若BAC60，則AFB_；如圖，若BAC90，則AFB_；(2)如圖，若BAC，則AFB_(用含的式子表示)；(3)將圖中的ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)(點(diǎn)F不與點(diǎn)A、B重合)，得圖或圖。在圖中，AFB與的數(shù)量關(guān)系是_；在圖中，AFB與的數(shù)量關(guān)系是_。請(qǐng)你任選其中一個(gè)結(jié)論證明。 35：如圖所示，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為一個(gè)頂點(diǎn)作正方形ABCO,說明正方形ABCO繞點(diǎn)O無論怎樣旋轉(zhuǎn)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積不變。36.如圖241，正方形ABCD和正方形QMNP， M是正方形ABCD的對(duì)稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E （1）猜想：ME 與MF的數(shù)量關(guān)系 （2）如圖

14、242，若將原題中的“正方形”改為“菱形”，且M =B，其它條件不變，探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明 （3）如圖243，若將原題中的“正方形”改為“矩形”，且AB:BC=1:2，其它條件不變，探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由 （4）如圖244，若將原題中的“正方形”改為平行四邊形，且M =B ，AB:BC = m，其它條件不變，求出ME：MF的值。（直接寫出答案） 類型四：倍長中線 37：如圖1，已知點(diǎn)D在AC上，ADE 和ABC 都是等腰直角三角形，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn). （1）求證： BMD 為等腰直角三角形. （2）將ADE 繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，如圖2，（1）中的

15、“BMD 為等腰直角三角形”是否仍然成立？請(qǐng)說明理由. （3）將ADE 繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖3，（1）中的“BMD 為等腰直角三角形”成立嗎？38、原題：在ABC中，AC=BC,ACB=90O, ADE為等腰直角三角形，DEAD。M為線段EB的中點(diǎn), 連結(jié)DM、CM。請(qǐng)?zhí)骄緿M與CM的關(guān)系（如圖1）。證明分析：利用直角三角形斜邊中線性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角和定理不難證明DM與CM垂直且相等。問題：把等腰直角ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，其它條件不變，則上述命題的結(jié)論仍然成立嗎？一、特殊位置時(shí)結(jié)論的證明圖3旋轉(zhuǎn)一：當(dāng)線段AD旋轉(zhuǎn)到線段AC上時(shí)（如圖2）。圖2圖1圖5證明分析（如

16、圖3）：設(shè)線段AE與線段BC的延長線相交于點(diǎn)N。由直角三角形斜邊中線性質(zhì)可得，AMEM；由等腰直角三角形的定義可得，AD=ED，所以，根據(jù)“到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”可得DMAE，可證DMAB。 同理，CMAN，綜合可證CDM是等腰直角三角形。于是，命題得證。圖4旋轉(zhuǎn)二：當(dāng)E、D、B三點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到同一條直線上時(shí)（如圖4）。證明分析（如圖5）：延長AD至N，使DN=DM，連結(jié)CN。EDA是等腰直角三角形，所以可證得AN=EM=BM。由三角形內(nèi)角和可證NAC=CBM，用“SAS”證明CBMCAN。得MCB=NCA，證出NCM=90O，再由CBMCAN可得N=DMC,由四邊形內(nèi)角和可

17、證得N=DMC =90O，從而證明四邊形DMCN為正方形。于是命題得以證明。圖6旋轉(zhuǎn)三：當(dāng)點(diǎn)E、A、B三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)（如圖6）。圖7證明分析(如圖7)：作DFBE于F，CNAB于點(diǎn)N，設(shè)DF =a，CN=b，根據(jù)等腰直角三角形的定義與性質(zhì)可得BE=2(a+b)，所以有EM=BM=a+b。計(jì)算證出DF=NM，F(xiàn)M=CN。用“SAS”證MDFCMN，可證結(jié)論成立。下列四種情況，請(qǐng)讀者證明結(jié)論的正確性。已知ABC和ADE為等腰直角三角形， M為線段EB的中點(diǎn), 連結(jié)DM、CM。請(qǐng)?zhí)骄緿M與CM的關(guān)系。1）當(dāng)D、A、B三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)（如圖8）圖9圖82）當(dāng)D、A、C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)（如

18、圖9）3) 當(dāng)D、E、B三點(diǎn)在同直線時(shí)（如圖10）圖114）當(dāng)A、E、B三點(diǎn)在同直線時(shí)（如圖11）圖10圖13圖12二、一般位置時(shí)結(jié)論的證明旋轉(zhuǎn)四：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度小于45O時(shí)（如圖12）。證明分析：（如圖13）作DNDM，取DN=DM。連結(jié)AN交BE于點(diǎn)P,連結(jié)CN。用“SAS”證ADNEDM，則PNO=DMO，在NPO和ODM中利用內(nèi)角和定理證明NPO=90O,同理在PAQ和BQC中證明PAQ=CBQ。另一方面由ADNEDM可證明AN=EM=BM。用“SAS”證明CBMCAN，仿前變式二證明NCM=90O，連結(jié)DC，證DNC=DMC，利用四邊形內(nèi)角和證DNC=DMC=90O，于是可證四邊形DMCN為正方形，得DM=CM,且DMCM。請(qǐng)讀