1、完美整理函數的概念和性質考點分段函數分段函數是指自變量在兩個或兩個以上不同的范圍內,有不同的對應法則的函數,它是一個函數,卻又常常被學生誤認為是幾個函數;它的定義域是各段函數定義域的并集,其值域也是各段函數值域的并集.由于它在理解和掌握函數的定義、函數的性質等知識的程度的考察上有較好的作用,時常在高考試題中“閃亮”登場,本文就幾種具體的題型做了一些思考,解析如下：1求分段函數的定義域和值域2x2xe-1,0;例.求函數f(X)斗+xxe(0,2);的定義域、值域23xe2,+s);2求分段函數的函數值Ix-11，2,(Ix11)211+x2求分段函數的最值4x3(x0)例.求函數f(x)=x3

2、(0 x1)4求分段函數的解析式例.在同一平面直角坐標系中函數yf(x)和yg(x)的圖象關于直線yx對稱現將yg(x)的圖象沿x軸向左平移個單位再沿y軸向上平移個單位所得的圖象是由兩條線段組成的折線(如圖所示)則函數f(x)的表達式為()A.B.C.D.2x2(1x0)x22(0 x2)2x2(1x0)22(0 x2)2x2(1x2)比12(2x4)2x6(1x2)說32(2x4)f(x)f(x)f(x)f(x)完美整理完美整理作分段函數的圖像完美整理例.函數ye|lnx|-1x一1丨的圖像大致是()C完美整理完美整理求分段函數得反函數例已知y=f(x)是定義在R上的奇函數且當x,0時f(x

3、)3x-1設f(x)的反函數為y=g(x)求g(x)的表達式判斷分段函數的奇偶性x2(x-1)(x0)例.判斷函數f(x)=j-x2(x+1)(x0)的奇偶性判斷分段函數的單調性的單調性X3+X(X，0)例.判斷函數f(x)仁(0)例.寫出函數f(x)=11+2xI+12-xI的單調減區間解分段函數的方程2-X.設函數f(x)=|IlogX81TOC o 1-5 h zxe(一8,1“1則滿足方程f(X)=二的X的值為xe(1,+8)40解分段函數的不等式2-X-1(X1則X得取值范圍是()1/小00IX2(X0)完美整理完美整理A.(-1,1)B.(-1,+8)C.(8,-2)U(0,+8)

4、D.(-8,-1)U(1,+8)(X+1)2設函數f(x)=4-毎1(x0.的取值范圍是.(01.(01.(01.1.(裝第.(O,03福建，3北京，2江西，101分）分）分）011北京，5分）OO0，已知函數）=，,ow則函數若函數根據統計，件產品用時15分鐘，那么012江蘇，5分）+1,1WV0,-+-,owW1,.（2011江蘇，5分）,則的值為日，的值域為f+1,w1，.0一名工人組裝第10)=)件某產品所用的時間（單位：分鐘）為為常數）.已知工人組裝第4件產品用時30分鐘，組的值分別是設）是定義在其中，上且周期為的函數，在區間一11上，）=若-）=3,則+的值為已知實數壬0,函數+,

5、V1,$1.若一）=+完美整理函數的概念和性質考點一分段函數分段函數是指自變量在兩個或兩個以上不同的范圍內,有不同的對應法則的函數,它是一個函數,卻又常常被學生誤認為是幾個函數;它的定義域是各段函數定義域的并集,其值域也是各段函數值域的并集.由于它在理解和掌握函數的定義、函數的性質等知識的程度的考察上有較好的作用,時常在高考試題中“閃亮”登場,本文就幾種具體的題型做了一些思考,解析如下：求分段函數的定義域和值域2x2xe1,0;例.求函數f(x)斗一+xxe(0,2);的定義域、值域23xe2,+s);解析】作圖利用“數形結合”易知f(x)的定義域為1,+8)值域為(1,3求分段函數的函數值I

6、x-11，2,(Ix11)例.已知函數f(x)=1)211+x211+(-3)2213解析】因為f(+)11II2一&2223求分段函數的最值4x+3(x0)例.求函數f(x)=x+3(0 x1)【解析】當x0時f(x)f(0)3當0 x1時一x+5，1+54綜上有f(x)4max4求分段函數的解析式例.在同一平面直角坐標系中函數yf(x)和yg(x)的圖象關于直線yx對稱現將yg(x)的圖象沿x軸向左平移個單位再沿y軸向上平移個單位所得的圖象是由兩條線段組成的折線(如圖所示)則函數f(x)的表達式為()2x+2(一1x0)f(x)l-x+2(0 x2)22x一2(，1x0)f(x)二x2(0

7、 x2)2f(x)f(x)x一2(1x2)十+1(2x4)22x一6(1x2)3(2x4)2當xe一2,0時解析】y1x+1將其圖象沿x軸向右平移個單位再沿y軸向下2平移個單位得解析式為y1(x2)+111x122所以完美整理完美整理f(x)個單位再沿y軸向下平移個單位得解析式y2(x2)+1，12x4所以當xe0,1時y2x+1將其圖象沿x軸向右平移完美整理完美整理f(x)x+2(xe0,2)2x+2(，1x0)綜上可得f(x)二故選l天+2(0 x0時f(x)3x一1f(x)的反函數為yg(x)求g(x)的表達式解析】設x0則一x0所以f(x)3-x1又因為f(x)是定義在R上的奇函數所以

8、f(，x)，f(x)且f(0)0所以f(x)1-3-x因此3x-1(x0)f(x)=o(x0)1，3,x(x0)log(x+1)(x0)3從而可得g(x)0)例.判斷函數f(x)f的奇偶性-x2(x+1)(x0)【解析】當x0時一x0f(-x)-(-x)2(-x+1)x2(x一1)f(x)當x0時f(-0)f(0)0當x0-x0f(-x)(-x)2(-x一1)-x2(x+1)f(x)因此對于任意xR都有f(-x)，f(x)所以f(x)為偶函數判斷分段函數的單調性例8判斷函數f(x)=x3+x(x0)的單調性-x2(x0恒成立f(x)也是單調遞增函數所以f(x)在R上是單調遞增函數或畫圖易知f(

9、x)在R上是單調遞增函數例.寫出函數f(x)=11+2xII2-xI的單調減區間【解析】f(x)3x+1(x+)23+x(1x2)2x1(x2)減區間為(一-+2畫圖易知單調x解分段函數的方程I2-x例.(年上海)設函數f(x)，log81x(一8,1“1則滿足方程f(x)，丁的x的x(1,+8)4Word格式完美整理Word格式1完美整理Word格式完美整理Word格式1完美整理值為解析】若2-x，1則2-x，2-2得x，2電(一8,1所以x，2(舍去)若logx481丄則x，814解得x，3(1,+8)所以x，3即為所求0解分段函數的不等式例.設函數f(x)，2-x-1(x0)0)若f(x

10、0)1則得取值范圍是(A.(-1,1)B-(-1,+,)(,2)u(0,+,)(，,1)u(1,+,)【解析1】y首先畫出yf(x)和y1的大致圖像易知f(x)1時所對應的x的取值范圍是(,1)u(1，+,)解析2】因為f(x0)12-x11解得xo-1當x0時01解得1綜上x的取值范圍是(-，,1)u(1,+，)故選0(x+1)24Jx1(x1)(x1)則使得f(x)1的自變量x的取值范圍為(，,2u0,10(，,2u0,12,0u1D,1.0(，,2u1,10解析】當x1時f(x)1o(x+1)21ox2或x0所以x2或x1當x1時f(x)1o4Jx11oJx13ox10所以1x10綜上所

11、述x2或0 x0的取值范圍是（.（一8,0（8一2一2,0解析：本題考查一次函數、二次函數、對數函數、分段函數及由不等式恒成立求參數的取值范圍問題，意在考查考生的轉化能力和利用數形結合思想解答問題的能力.當W0時,（）=2十2=（1）2+1W0,所以I（）1$化簡為2-2，即2$（+2）,因為W0,所以+2$恒成立，所以$2；當0時，（）=+1）0,所以|（）|$化簡為+1）恒成立，由函數圖象可知W0,綜上，當一2WW0時，不等式I（）|$恒成立，選擇2x3，2.（201福建，分）已知函數（）=,答案：Word格式完美整理Word格式1完美整理Word格式完美整理Word格式1完美整理解析：本

12、題主要考查分段函數的求值，意在考查考生的應用能力和運算求解能力.JWord格式完美整理Word格式1完美整理Word格式完美整理Word格式1完美整理答案：2.（201北京，分）函數（）=，的值域為Word格式完美整理Word格式1完美整理2），解析：本題主要考查分段函數的概念、性質以及指數函數、對數函數的性質，意在考查考生對函數定義域、值域掌握的熟練程度.分段函數是一個函數，其定義域是各段函數定義域的并集，值域是各段函數值域的并集.當$1時，IW0,當1時，022故值域為（02U（8,0=（8,2）.答案：（8，2）.（2012江西，分）若函數（）2+1，則（10）=（Word格式完美整理Word格式1完美整理Word格式完美整理Word格式1完美整理.1101.2.0解析：（10）=0,故（10）=（1）=12+1=2答案：.（2011北京，5分）根據統計，一名工人組裝第）件某產品所用的時間（單位：分鐘）為Word格式完美整理Word格式1完美整理Word格式完美整理Word格式1完美整理為常數）已知工人組裝第4件產品用時30分鐘，組裝第件產品用時1分鐘，那么和的值分別是解析：因為組裝第件產品用時10（2，聯立（1，（解2得，0=1答案：.（01江蘇，分）設是定義在+1,1WV0,-+,00W1,解析：因為由得分