1、光波導12平板波導電磁場分析1102精 物質特性方程： 其中， 為媒質的極化強度矢量； 為磁化強度矢量； 為媒質的電導率(良好的介質可以近似為0)； 為真空中的介電常數 為真空中的磁導率。 對于非磁性介質， ，從而 電極化強度線性介質： 那么設 相對介電常數 3各向同性 2無源、無損耗的良好介質 電流密度 ，電荷密度 Maxwell 方程考慮介質是 1非磁性的 (二)亥姆霍茲方程 解的時間局部以簡諧振動的波動方程。 得到波動方程 并可以得到分量方程 再考慮Y方向無限制，可以得到分量關系：EyHy此分量關系，適用于：1介質是非磁、無源、各向同性2解的時間局部為簡諧振動3Y方向無限制4介質是均勻的

2、，或非均勻4介質是均勻的(平板波導)，或非均勻漸變波導三平板波導波動方程 平板波導： 1介質是非磁、無源、各向同性 2考慮解的時間局部為簡諧振動 3 Y方向無限制 4介質是均勻的 可以得到1波動方程考慮到：解為時諧形式 波動方程可以寫為再利用： 得到波動方程下頁證明真空中的光速 折射率為n的介質中的光速折射率與介電常數的關系的證明：2 可以證明，對于平板波導僅存在橫電TE模，只有Ey、Hx、Hz分量，只需求Ey 橫磁TM模 只有Hy、Ex、Ez分量，只需求Hy 其余場分量可以由Ey或Hy推導得到。注意： Ey或Hy的下標y表示是場分量的方向。對TE模，考慮 中的分量Ey滿足的方程(四)TE、T

3、M模方程及場解形式分析1、方程直角坐標系下設 Ey隨坐標的變化：Z方向反映在相位落后上Z， 。Y方向無變化。僅有振幅Ey0隨x變化。 而且，代入波動方程 約去ei(t-Z)， 一般把振幅(場隨著x的分布) Ey0(x)寫出Ey(x)，又稱為不考慮時間和縱向的橫向場分布。 所以，TE模 Ey滿足類似，TM模 Hy滿足2、場解形式分析1數理方程要求 滿足數學方程：得到通解滿足物理要求(邊界條件)： A、有限(包括坐標時，場應該有限) B、分界面切向量連續(導數)；垂直于分界面法線X方向的Y、Z方向，Ey、 Hy解為指數形式；，Ey、 Hy解為正弦或余弦形式； 2方程解的形式分析 是二階常系數齊次線

4、性微分方程，解的形式取決于當當 假設 n1k0，顯然， n1k0 n2k0 n3k0 ，此時，在薄膜、襯底、覆蓋層，沿X方向都具有指數的形式，不滿足無窮遠處的邊界條件(波函數有限)，無意義。因而, n1k0不可能存在，因此 n1k0為禁區。(3)場解具體形式 導模： 假設 n1k0 n2k0 n3k0，此時， 在薄膜層， ，Ey、 Hy為正弦或余弦形式； 在襯底、覆蓋層 ，Ey、 Hy解為負指數形式； 薄膜、襯底， ，Ey、 Hy為正弦或余弦指數的形式； 覆蓋層， , Ey、 Hy解為負指數形式。 襯底輻射模 ： 假設 n1k0 n2k0 n3k0， 輻射模： 假設 n1k0 n2k 0 n3

5、k0 ，此時 薄膜、襯底、覆蓋層，為正弦或余弦指數的形式二、平板波導中導模的場解 (一)TE模1、Ey場解波動方程 j = 1，2，3代表薄膜、襯底、覆蓋層。坐標如下圖 。 導模 n1k0 n2k0 n3k0 j =3通解j =1，通解 j =2， 通解邊界條件(1) : x為了保證場解有限，令 ，所以，式中，q、p、h均為正實數邊界條件(2) : x0處，切向量Ey連續：Ey3= Ey1 令 B=(2F - A)i。 邊界條件(3) x = -d處，切向量Ey連續：Ey1= Ey2, 歸納：平板波導TE導模場解 式中， -覆蓋層沿X方向衰減系數 -襯底層沿X方向衰減系數 -薄膜層沿X方向振蕩

6、系數 A、B為待定常數，由波導傳輸的光場的能量確定。2、HZ(x)場解應用各場分量的關系，得到 其它場解也可得到: 3、特征方程運用邊界條件(1) x0、xd，切向量HZ(x) 連續： A、B不能全為0，其系數行列式0，得到平板波導TE模導模的特征方程化簡: 特征方程橫向諧振條件 、m在哪里？ 隱含在h、p、q中。 m 隱含在tg函數的周期性之中。 4、TE模場分布(1)薄膜內振蕩、呈駐波形態。模階數m節點數。根據模場，可以求出極值點位置。 節點：場量=0的點。(2)消逝場襯底、覆蓋層中指數衰減 在 處，衰減到x = 0處、x = -d處的1/e。消逝場 可以定義波導說明，導模場被限制在薄膜中

7、及其附近。有效厚度 (3)衰減與導模場的約束 一樣，n2n3, 所以， p q 同一導模在襯底衰減慢，在覆蓋層衰減快。 推廣：其它層與薄膜層折射率差如(n1-n2)、 (n1-n3)越大，導模場在其它層(覆蓋、襯底)衰減得越快，電磁場在波導薄膜層中約束得越好。 高階導模比低階導模在襯底、覆蓋層衰減慢,約束差。 因為導模階數m越高，入射角1越小，n1k0sin1越小，p、p越小。 從波導的功能來，要求約束好。 (4)消逝場的衰減與截止的關系 截止幾何光學觀點： 1C12波動光學觀點： p由實數變為虛數。截止條件 p2 0 【因為p q，所以考慮p】p 、 q0實數虛數導模輻射模(二)TM模 分析

8、方法同TE模。(三)導模攜帶的功率 由電磁場理論，導模在單位寬度上攜帶的功率式中， 為玻印廷矢量Z方向分量。對TE模， 代入Ey，得到各層的功率 總功率 由總功率P可以求出TE模場的振幅系數TM模的總功率、模場振幅系數求解方法類似。 三、平板波導中輻射模的場解 1、Ey場解設TE模場解為波動方程 1襯底輻射模 n3k0 n2k0j =3，覆蓋層 波動方程j =1，薄膜層 波動方程j =2，襯底層 波動方程 通解通解通解式中 襯底輻射模場解在n3區：沿正X方向衰減在n1區：沿X振蕩在n2區：沿X振蕩能量有效沿X方向傳輸 2輻射模 n3k0 n2k0 j =3，覆蓋層 波動方程通解j =1，薄膜層

9、 波動方程通解j =2，襯底層 波動方程 通解式中輻射模場解在n3區：沿正X方向振蕩能量有效沿X方向傳輸在n1區：沿X振蕩在n2區：沿X振蕩能量有效沿X方向傳輸 四、波導損耗波導損耗分類：散射損耗、輻射損耗。損耗描述： 損耗系數。1、散射損耗： (1)波導體內缺陷，雜質原子、氣泡、晶格缺陷材料、波導技術可以將這些缺陷控制在相當輕微的程度，一般可略。 (2)外表粗糙形成的瑞利散射損耗。波導外表光滑，但是，光場在上下界面頻繁反射，外表輕微的粗糙，引起損耗。散射損耗系數： 12、13波導兩界面粗糙度的方差。可見，波長越長，粗糙散射損耗越小；模的階數越高，1越小，粗糙散射損耗越大。 2、輻射損耗波導彎曲損耗 波導彎曲時，光束的相速假設能正比于波導彎曲的曲率半徑，那么導模光場的相前不畸變，無損耗。但是，實際彎曲波導，離彎曲中心越遠處，相速達不到此要求。導模中局部光跟不上其它局部光的傳輸，而被別離、輻射出去，形成彎曲損耗。 模的正交歸