1、關于數理方程第四章 格林函數法第一張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.20221格林函數又稱為點源函數或影響函數。顧名思義，它表示一個點源在一定的邊界條件和(或)初值條件下所產生的場或影響。由于任意分布的源所產生的場均可看成許許多多點源產生的場的疊加，因此格林函數一旦求出，就可算出任意源的場。格林函數法以統一的方式處理各類數學物理方程，既可以研究常微分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齊次方程又可以研究非齊次方程；既可以研究有界問題，又可以研究無界問題。它的內容十分豐富，應用極其廣泛。這一章，我們主要介紹用格林函數求解拉普拉斯方程的邊值問題。第二張，PPT共三十九頁，創作

2、于2022年6月25.08.202224.1 格林公式及其應用4.1.1 基本解對拉普拉斯方程, 其球坐標形式為：(4.1.1)求方程(4.1.1)的球對稱解(即與和無關的解) ,則有： 其通解為： 為任意常數)。 若取 ,則得到特解 ,稱此解為三維Laplace 方程的基本解,它在研究三維拉普拉斯方程中起著重要的作用.第三張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.20223對二維拉普拉斯方程 ,其極坐標形式為:(4.1.2)求方程(4.1.2)的徑向對稱解(即與無關的解) ,則有： 其通解為： 為任意常數)。 若取 , 則得到特解 , 稱此解為二維Laplace方程的基本解.第四

3、張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202244.1.2 格林公式由高斯公式 ,則得到格林第一公式： 令 將以上兩公式相減，得到格林第二公式： 調和函數：具有二階偏導數并且滿足拉普拉斯方程的連續函數。第五張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202254.1.3 調和函數的積分表達式由Green公式可導出調和函數的積分表示。由于函數： 除在 點外處處滿足三維Laplace方程 ，于是有 定理：若函數 在 上有一階連續偏導數，且在 內調和，則 調和函數在區域內任一點的值可以通過積分表達式用這個函數在區域邊界上的值和邊界上的法向導數來表示。第六張，PPT共三十九頁

4、，創作于2022年6月25.08.20226 若函數 在 上有一階連續偏導數，且在 內滿足Poisson方程 ，則同樣有 4.1.4 調和函數的性質 性質1. 設 是區域 內的調和函數，它在上有一階連續偏導數，則其中 的外法線方向。 是證明 只要在Green公式中取 即證。 注：此性質表明調和函數的法向導數沿區域邊界的積分為零。對穩定的溫度場，流入和流出物體界面的熱量相等，否則就不能保持熱的動態平衡，而使溫度場不穩定。 第七張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.20227 思考：Laplace方程Neumann問題有解的必要條件是什么？性質2 (平均值定理) 設函數在區域 內調

5、和，是 內任意一點，若是以 為中心，a為半徑的球面，此球完全落在區域 的內部，則有證明： 由調和函數的積分表示： 及由性質1，有 第八張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.20228上式稱為調和函數的球面平均值公式。又因為，在 上有，所以 性質3 (極值原理) 設函數在區域 內調和，它在上連續且不為常數，則它的最大值與最小值只能在邊界上達到。 推論1 設在 內有在上連續且在邊界上有，則在內有推論2 Dirichlet問題 的解是唯一的。第九張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.20229第十張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202210第十一

6、張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.2022114.2 格林函數由于調和函數有積分表示: 又因為Dirichlet邊值問題 的解唯一,故希望將此問題的解用積分表示出來。但由于在積分表達示中，u在邊界上的值雖然已知,而 在邊界上的值卻不知道.那么,能否作為邊界條件加上 的值呢？ 因為,此時的解已經是唯一的了.那么只有想辦法去掉 為此，引入格林函數的概念。 顯然這是行不通的，(4.2.1)第十二張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202212格林函數的物理背景原點處點電荷電量 ，點電荷密度處點電位即 處點電荷電量點電荷密度處點電位第十三張，PPT共三十九頁，創作

7、于2022年6月25.08.2022134.2.1 格林函數的定義設在 內有在上有一階連續偏導數，則由格林第二公式有 (4.2.2)將（4.2.1）和 (4.2.2)兩式加起來： (4.2.3)選擇調和函數v滿足 ,于是有： (4.2.4)第十四張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202214記 (4.2.5)則有 (4.2.6)稱 為Laplace方程的格林函數。若上有一階連續偏導數，則當Dirichlet問題且在 上具有一階連續偏導數的解存在時，解可以表示為在(4.2.7)存在 第十五張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202215對Poisson方程的

8、Dirichlet問題 上存在具有一階連續偏導數的解，則解可以如果在表示為由此可見,求解Dirichlet問題,關鍵是求Green函數(4.2.5),其中v滿足一個特殊的Dirichlet問題： (4.2.8)稱由函數v確定的格林函數為第一邊值問題的格林函數。第十六張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.2022164.2.2 格林函數的性質1. 格林函數在除去點 外處處滿足 Laplace方程，當 時，其階數與 相同。 2. 在邊界上，格林函數恒等于零：3. 在區域 內成立不等式： （用極值原理證明） 4. （由格林第二公式證明） 5. 第十七張，PPT共三十九頁，創作于202

9、2年6月25.08.2022174.3 格林函數的應用 用鏡象法求特殊區域上的函數。 4.3.1 上半空間內的Green函數及Dirichlet問題 求解上半空間 內的Dirichlet問題 先求上半空間 內的Green函數 （4.3.1） ，即求解問題 第十八張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202218 在區域外找出區域內一點關于邊界的象點，在這兩個點放置適當的電荷，這兩個電荷產生的電位在曲面邊界上相互抵消。這兩個電荷在區域中形成的電位就是所要求的格林函數。第十九張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202219于是，半空間上的格林函數為(4.3.2)

10、從而，問題(4.3.1)的解可表示為: 由于平面z=0上的外法線方向即oz軸的負向,所以 即 所以，問題(4.3.1)的解為: 第二十張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202220例2 求解下列定解問題解：第二十一張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.2022214.3.2 球域上的Green函數及Dirichlet問題 其中， （4.3.3） ，即求解問題 求解球域上的Dirichlet問題 是以坐標原點O為球心，R為半徑的球域。 先求球域上的Green函數第二十二張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202222第二十三張，PPT共三十九

11、頁，創作于2022年6月25.08.202223球內的格林函數 M0點處點電荷電量 ，M1點處點電荷電量 第二十四張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202224第二十五張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202225從而，問題(4.3.3)的解可表示為： 因其中是與的夾角，于是： （4.3.4） 此公式稱為球域上的泊松積分公式。如果用球坐標表示，則有 （4.3.5） 其中 是點 的球坐標， 是 上動點的坐標， 第二十六張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202226是與的夾角。由于 所以 (4.3.6) 第二十七張，PPT共三十九頁，創作

12、于2022年6月25.08.202227例1. 設有一半徑為R的均勻球，上半球面的溫度保持為 。求球內溫度的穩定分布。 下半球面的溫度保持為 解：考慮定解問題 由球域上的泊松積分公式(4.3.5)，得 第二十八張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202228由于此積分的計算很困難，下面我們只考慮一些特殊位置的溫度分布。比如，求溫度在球的鉛垂直徑 （直徑的上半部）和（直徑的下半部分）上的分布。 當 時， (見(4.3.6)式)，故有： 第二十九張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202229當 時， ,故有 在以上兩個公式中，當 時，球的溫度為 . 第三十張，

13、PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.2022304.3.3 四分之一空間的格林函數 第三十一張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.2022314.4 試探法及Poisson方程的求解 4.4.1 試探法 對某些定解問題,根據問題的物理意義和幾何特征，可假設解具有某種特殊形式，將這種形式的解代入方程進行試探直至求出特解。這種方法稱為試探法。 第三十二張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202232例1. 設有一半徑為R的無限均勻圓柱體,已知圓柱內無熱源,圓柱面上的溫度分布為 ,試求圓柱內溫度的穩定分布. 解：因柱面上溫度與z無關,則域內溫度也應與z

14、無關,故原問題可簡化為求解圓域上Laplace方程的第一邊值問題,采用極坐標,我們考慮問題: 由(4.4.2),設 (4.4.1)得 ,代入, 再由(4.4.2)得 由 的任意性得: 第三十三張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202233例2 求圓柱域 內的電位u,使在柱面上有給定的電場強度的法向分量,即 解: 由邊界條件知，問題可化為平面問題：由邊界條件(4.4.4),設 , 顯然 滿足方程(4.4.3)及條件(4.4.4)，于是問題的解為： 第三十四張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202234例3 求由兩同心球面導體 和 構成的電容器內的電位，使內球面 保持常電位 外球面接地。 解: 采用球坐標，考慮定解問題 由邊界條件知，球內電位的分布僅與r有關，即電位函數是球對稱的，而電位與r成反比，故可設 第三十五張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202235顯然 滿足(4.4.5), 這是因為, 是三維Laplace方程的基本解。由(4.4.6) 于是(4.4.5) (4.4.6)的解為：第三十六張，PPT共三十九頁，創作于2022年6月25.08.202236如果知道Poisson方程的一個特解，則通過函數代換，4.4.2 Poisson方程的求解 就可將Poisson