1、.七升八數學暑假講義目錄第一講相交線與平行線的相關概念第二講第三講第四講第五講第六講第七講第八講第九講第十講第十一講第十二講第十三講第十四講直線相交時有關角的求法相交線與平行線中的拐角問題相交線與平行線中的折疊問題平面直角坐標系中的相關結論圖形的平移及點的坐標的變化實數中分類討論的數學思想實數中數形結合的數學思想實數中整體代入的數學思想方程組的解法（代入、加減）用二元一次方程組解應用題不等式的解及不等式的解集實際問題與一元一次不等式組抽樣調查與頻數分布直方圖.第一講：相交線與平行線的相關概念一、知識框架兩條直線相交鄰補角、對頂角對頂角相等垂線及性質點到直線的距離相交線兩條直線被第三條直線所截同

2、位角、內錯角、同旁內角判定平平行公理行線性質平移二、典型例題1.下列說法正確的有()對頂角相等;相等的角是對頂角;若兩個角不相等,則這兩個角一定不是對頂角;若兩個角不是對頂角,則這兩個角不相等.ADA.1個B.2個C.3個D.4個BC2.如圖所示,下列說法不正確的是()A.點B到AC的垂線段是線段AB;B.點C到AB的垂線段是線段ACC.線段AD是點D到BC的垂線段;D.線段BD是點B到AD的垂線段.3.下列說法正確的有()在平面內,過直線上一點有且只有一條直線垂直于已知直線;在平面內,過直線外一點有且只有一條直線垂直于已知直線;在平面內,過一點可以任意畫一條直線垂直于已知直線;在平面內,有且

3、只有一條直線垂直于已知直線.A.1個B.2個C.3個D.4個F4一學員駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，CD這兩次拐彎的角度可能是（）ABEA.第一次向左拐30第二次向右拐30B.第一次向右拐50第二次向左拐130C.第一次向右拐50第二次向右拐130D.第一次向左拐50第二次向左拐13056如圖,已知ABCD,直線EF分別交AB,CD于E,F,EG平分BEF,若1=72,則2=_.7如圖,ABEFCD,EGBD,則圖中與1相等的角(1除外)共有()A.6個B.5個C.4個D.3個8如圖，直線l1、l2、l3交于O點，圖中出現了幾對對頂角，若n條直線相交呢？l2l1Ol3.10

4、.如圖所示,L1,L2,L3交于點O,1=2,3:1=8:1,求4的度數.(方程思想)l14321l2l311如圖所示,已知ABCD,分別探索下列四個圖形中P與A,C的關系,請你證明所得的四個關系.ABABPABPPABCDCDCDCDP(1)(2)(3)(4)12如圖，若AB/EF，C=90，求x+y-z度數.分析：如圖，添加輔助線證出：x+y-z=90A1EB13已知：如圖，BAPAPD180，12求證：EFFC2PD.第二講：平面直角坐標系一、知識要點：1、特殊位置的點的特征（1）各個象限的點的橫、縱坐標符號（2）坐標軸上的點的坐標：x軸上的點的坐標為(x,0),即縱坐標為0;y軸上的點

5、的坐標為(0,y)，即橫坐標為0;2、具有特殊位置的點的坐標特征.設P(x,y)、P(x,y)111222P、P兩點關于x軸對稱xx，且yy;121212P、P兩點關于y軸對稱xx，且yy;121212P、P兩點關于原點軸對稱xx，且yy。1212123、距離（1）點A(x,y)到軸的距離：點A到x軸的距離為|y|；點A到y軸的距離為|x|；（2）同一坐標軸上兩點之間的距離：A(x,0)、B(x,0)，則AB|xx|；A(0,y)、B(0,y)，則AB|yy|；ABABABAB二、典型例題1、已知點M的坐標為（x，y），如果xy0,則點M的位置()A第二、第三象限B第三、第四象限C第二、第四象

6、限D第一、第四象限2點P（m，1）在第二象限內，則點Q（-m，0）在（）Ax軸正半軸上Bx軸負半軸上Cy軸正半軸上Dy軸負半軸上3已知點A（a，b）在第四象限，那么點B（b，a）在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4點P（1，-2）關于y軸的對稱點的坐標是（）A（-1，-2）B（1，2）C（-1，2）D（-2，1）5如果點M（1-x，1-y）在第二象限，那么點N（1-x，y-1）在第_象限，點Q（x-1，1-y）在第_象限6如圖是中國象棋的一盤殘局，如果用(4，o)表示帥的位置，用(3，9)表示將的位置，那么炮的位置應表示為（）.A(8，7)B(7，8)C(8，9)D(8，8)7在平

7、面直角坐標系中，平行四邊形ABCD的頂點A、B、D的坐標分別為（0，0），（5，0），（2，3）則頂點C的坐標為（）A（3，7）B（5，3）C（7，3）D（8，2）8已知點P（x,x），則點P一定（）A在第一象限B在第一或第四象限C在x軸上方D不在x軸下方9三角形ABC三個頂點的坐標分別是A（-4，-1），B（1，1），C（-1，4），將三角形ABC向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，則平移后三個頂點的坐標是（）A（2，2），（3，4），（1，7）B（-2，2），（4，3），（1，7）C（-2，2），（3，4），（1，7）D（2，-2），（3，3），（1，7）11若點P、Q的坐標是（

8、x1，y1（x2，y2），則線段PQ中點的坐標為（x1x2y1y22）”2，已知點A、B、C的坐標分別為（-5，0）、（3，0）、（1，4），利用上述結論求線段AC、BC的中點D、E的坐標，并判斷DE與AB的位置關系4)12如圖，在平面直角坐標系中，A點坐標為(3，將OA繞原點O逆時針旋轉90得到OA，則點A的坐標是（）3)4)(4，(3，(3，4)(4，3)分析：.13如圖，三角形AOB中，A、B兩點的坐標分別為（-4，-6），（-6，-3），求三角形AOB的面積解：做輔助線如圖14如圖，四邊形ABCD各個頂點的坐標分別為（2，8），（11，6），（14，0），（0，0）（1）確定這個四邊形

9、的面積，你是怎么做的?（2）如果把原來ABCD各個頂點縱坐標保持不變，橫坐標增加2，所得的四邊形面積又是多少？.y15如圖，已知A1(1,0)、A2（1，1）、A3（-1，1）、A4（-1，-1）、A7A6A10A3A2A5（2，-1），則點A2007的坐標為_.A4oA1A5xA8A9第三講：二元一次方程組一、相關知識點1、二元一次方程的定義：經過整理以后，方程只有兩個未知數，未知數的次數都是1，系數都不為0，這樣的整xy0 xy0y1y12x3y50y1的解你認為上面的解答過程哪個對？為什么？2x3y50y23x2y12x3y50中，得x2y50，2x3y50所以不是方程組.式方程稱為二元

10、一次方程2、二元一次方程的標準式：axbyc0a0,b03、一元一次方程的解的概念：使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對x和y的值，叫做這個方程的一個解4、二元一次方程組的定義：方程組中共有兩個未知數，每個方程都是一次方程，這樣的方程組稱為二元一次方程組5、二元一次方程組的解：使二元一次方程組的二個方程左右兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程組的解二、典型例題1下列方程組中，不是二元一次方程組的是（C）x1，xy1，xy1，yx，2有這樣一道題目：判斷x3，是否是方程組x2y50，的解？2x3y50小明的解答過程是：將x3，y1代入方程x2y50，等式成立所以x3，是方程組x2y50

11、，的解小穎的解答過程是：將x3，y1分別代入方程x2y50和x3，x2y50，.3若下列三個二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9有公共解，那么k的取值應是（）Ak=-4Bk=4Ck=-3Dk=36m3n104解方程組3m2n100方法一：（代入消元法）12方法二：（加減消元法）方法三：（整體代入法）3x25y130.95已知方程組的解是，則方程組的解3a5b30.9b1.2Ax8.32a3b13a8.32x23y113是（）x10.3x6.3x10.3BCDy1.2y2.2y2.2y0.2.y1345x6453xyx:y3:27解方程組3x5y38解三元一次方程組12xy1

12、x2z2y3x2yz8(1)(2)(3)分析：三元一次方程組消元轉化消元二元一次方程組轉化9字母系數的二元一次方程組（1）當a為何值時，方程組ax2y13xy3一元一次方程組有唯一的解x2y1（2）當m為何值時，方程組有無窮多解2xmy2.10一副三角板按如圖方式擺放，且1的度數比2的度數大50，若設1的度數為x，2的度數為y，則得到的方程組為Axy50，xy50，xy50，xy50，BCDxy180 xy180 xy90 xy9012A0.9x1.1y11為了改善住房條件，小奧的父母考察了某小區的A、B兩套樓房，A套樓房在第3層樓，B套樓房在第5層樓，B套樓房的面積比A套樓房的面積大24平方

13、米，兩套樓房的房價相同第3層樓和第5層樓的房價分別是平均價的1.1倍和0.9倍為了計算兩套樓房的面積，小奧設A套樓房的面積為x平方米，B套樓房的面積為y平方米，根據以上信息列出下列方程組，其中正確的是（）1.1x0.9y0.9x1.1y1.1x0.9yBCDyx24xy24xy24yx2412某水果批發市場香蕉的價格如下表：購買香蕉數不超過20千克20千克以上但不超40千克以上（千克）每千克價格6元過40千克5元4元（1）當0 x20，y40時，由題意可得：xy50張強兩次共購買香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，請問張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克？分析：由題意知，第一次

14、購買香蕉數小于25千克，則單價分為兩種情況進行討論。解：設張強第一次購買香蕉x千克，第二次購買香蕉y千克，由題意0 x25，x14，解得6x5y264y36.xy50 x32（2）當040時，由題意可得：，解得(不合題意，6x4y264y18舍去)xy50（3）當20 x25時，則25yb，則a+cb+c（a-cb-c）。性質2：不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號方向不變。若ab且c0，則acbc。性質3：不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號方向改變。若ab且c0，則acb則（1）當xa時，則xa，即“大大取大”xbxa（2）當xbxa（3）當xb時，則xb，即“小小

15、取小”時，則bxa，即“大小小大取中間”xa（4）當時，則無解，即“大大小小取不了”xb二、典型例題：1下列關系不正確的是（）A若ab，則baB若ab，bc，則acC若ab，cd，則acbdD若ab，cd，則acbd2已知xy且xy0，a為任意有理數，下列式子中正確的是（）AxyBa2xa2yCxayaDxy3下列判斷不正確的是（）A若ab0，bc0，則ac0B若ab0，則11abC若a0，b0，則ab0D若ab，則b11abb4若不等式axb的解集是x，則a的范圍是（）a.A、a0B、a0C、a0D、a05解關于x的不等式mx23m5x解：mx5x3m2m5x3m21當m5時，m50,則m5

16、x3m2m52當m5時，m50,則x3m2m56解關于x的不等式2axa1。解：2-a0，即a2時，xa12a2-a2時，xa12a2-a=0，即a=2時，不等式即0 x3，則m的取值范圍是（）xm10關于x的不等式組3x2有四個整數解，則a的取值范圍是（）4解：2x8x84x1Am3Bm3Cm3Dm3分析：2x3(x3)1xaA115115115115aBaCaDa424242421224a13，解得：1111已知關于x、y的方程組的解適合不等式2xy1，求a的取值范圍.x8分析：不等式組可化為x24a所以5a42x2ya1xy2a1解法一：由方程組可得.3ya25a1x32xy15a1a2

17、133a13a的取值范圍是a13。解法二：（1）+（2）：2x-y=3a由題意：3a1所以a1312解下列不等式（1）x5（2）x2解：（1）不等式解集為：524a5（2）不等式解集為x2或x2思考題：解下列含絕對值的不等式。（1）2x13（2）2x143.第四講：一元一次不等式（組）的應用一、能力要求：1能夠靈活運用有關一元一次不等式（組）的知識，特別是有關字母系數的不等式（組）的知識解決有關問題。2能夠從已知不等式（組）的解集，反過來確定不等式（組）中的字母系數取值范圍，具備逆向思維的能力。3能夠用分類討論思想解有關問題。4能利用不等式解決實際問題二、典型例題1m取什么樣的負整數時，關于x

18、的方程12x1m的解不小于3.分析：解方程組x2ya0分析：解方程得：x=2m+2由題意：2m+2-3，所以m-2.5符合條件的m值為-1，-22已知x、y滿足x2yaxy2a120且x3y1，求a的取值范圍.x5a2得xy2a10y3a1代入不等式，解得a123比較a23a1和a22a5的大小（作差法比大小）解：.a23a1a22a5a23a1a22a5a6（1）當a60,即a6時,a23a1a22a5（2）當a60,即a6時,a23a1a22a5（3）當a60,即a6時,a23a1a22a55k取怎樣的整數時，方程組x04若方程組的解為x、y，且2k0此時，不滿足y0（2）當k0時，由13

19、，得3kx6y9由2k，得3kxk2y4k由43，得34k26y4k9y4k9k26把y4k9k26代入2，得3x4k9kk263k8xk264y04k903k84k908934k取整數值為：k2,1,1,2。.6若2(a-3)2aax4分析：解不等式2(a-3)，求不等式x-a的解集352a20得：a37由ax4x-a得（a-5）x-a5ax420因為a所以a-55aa57閱讀下列不等式的解法，按要求解不等式.不等式x1x20的解的過程如下：解：根據題意，得x10eqoac(,1或)x10eqoac(,2)x20 x20解不等式組eqoac(,1)，得x2；解不等式組eqoac(,2)，得x

20、1所以原不等式的解為x2或x1請你按照上述方法求出不等式分析：典型錯誤解法：x2x50的解.由不等式x2x20 x200得：或x5x50 x50所以原不等式的解為x5或x2正確解法：由不等式x2x20 x200得：或x5x50 x50所以原不等式的解為x5或x28目前使用手機，有兩種付款方式，第一種先付入網費，根據手機使用年限，平均每月分攤8元，然后每月必須繳50元的占號費，除此之外，打市話1分鐘付費0.4元；第二種方分鐘，使用第一種和第二種付款方式的電話費分別為y和y，請算一算，哪種對用戶合算.式將儲值卡插入手機，不必付入網費和占號費，打市話1分鐘0.6元若每月通話時間為x12解：y580.

21、4xy0.6x12（1）若yy12則580.4x0.6x解得：x290所以當通話時間小于290分鐘時，第二種方式合算。（2）若yy12則580.4x0.6x解得：x290所以當通話時間等于290分鐘時，兩種方式相同。（3）若yy12則580.4x0.6x解得：x290所以當通話時間大于290分鐘時，第一種方式合算。9某飲料廠開發了A、B兩種新型飲料，主要原料均為甲和乙，每瓶飲料中甲、乙的含量如下表所示，現用甲原料和乙原料各2800克進行試生產，計劃生產A、B兩種飲料共100瓶，設生產A種飲料x瓶，解答下列問題：（1）有幾種符合題意的生產方案？寫出解答過程；（2）如果A種飲料每瓶的成本為2.60

22、元，B種飲料每瓶的成本為2.80元，這兩種飲料成本總額為y元，請寫出y與x之間的關系式，并說明x取何值會使成本總額最低？原料名稱甲乙飲料名稱AB20克30克40克20克20 x30100 x2800分析：（1）據題意得：40 x20100 x2800解不等式組，得20 x40因為其中的正整數解共有21個，所以符合題意的生產方案有21種。（2）由題意得：y2.6x2.8100 x.整理得：y0.2x280因為y隨x的增大而減小，所以x=40時，成本額最低10某家電生產企業根據市場調查分析決定調整生產方案，準備每周（按120個工時計算）生產空調器，彩電，冰箱共360臺，且冰箱至少生產40臺，已知生

23、產這些家電產品每臺所需工時和每臺產值如下表：問：每周應生產空調器、彩電、冰箱各多少臺，家電名稱空調器彩電冰箱才能使產值最高，最高產值是多少萬元？工時（個）產值（萬元/臺）120.4130.3140.2解：設每周應生產空調器、彩電、冰箱分別是x臺、y臺、z臺，設此時的產值為P萬元。根據題意得：xyz360(1)111xy120(2)234x,y,z均為整數(4)0 x360,0y360,40z360(3)10z360由（1）和（2）知（5）把（5）代入（3）得：230360z360y3603z21xz2240z360解得：40z24013P0.4x0.3y0.2z0.4z0.3(360z)0.2

24、z1080.05z22要使P最大，只需z最小當z40時P最大1080.0540106(萬元).此時x12z20（臺）3y360z300（臺）2答：每周應生產空調器20臺、彩電300臺、冰箱40臺，才能使產值最高，最高產值是106萬元？第五講：與三角形有關的線段一、相關知識點1三角形的邊三角形三邊定理：三角形兩邊之和大于第三邊即：ABC中，a+bc,b+ca,c+ab（兩點之間線段最短）由上式可變形得到：acb，bac，cba即有：三角形的兩邊之差小于第三邊2高由三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。3中線：連接三角形的頂點和它對邊的中點的線段，稱為三角

25、形的中線4角平分線三角形一個內角的角平分線與這個角對邊的交點和這個角的頂點之間線段稱為三角形的角平分線.二、典型例題（一）三邊關系1已知三角形三邊分別為2,a-1,4,那么a的取值范圍是()A.1a5B.2a6C.3a7D.4a62小穎要制作一個三角形木架，現有兩根長度為8m和5m的木棒。如果要求第三根木棒的長度是整數小穎有幾種選法？可以是多少？分析：設第三根木棒的長度為x，則3x12（AB+AC）分析：因為BD+ADAB、CD+ADAC所以BD+AD+CD+ADAB+AC因為AD是BC邊上的中線，BD=CD所以AD+BD12（AB+AC）A（二）三角形的高、中線與角平分線D1問題：（1）觀察

26、圖形，指出圖中出現了哪些高線？2BC（2）圖中存在哪些相等角？注意基本圖形：雙垂直圖形.4如圖，在直角三角形ABC中，ACAB，AD是斜邊上的高，DEAC，DFAB，垂足分別為E、F，則圖中與C（C除外）相等的角的個數是（）A5B4C3D2分析：5如圖，ABC中，A=40，B=72，CE平分ACB，CDAB于D，DFCE，求CDF的度數。分析：CED=40+34=74所以CDF=746一塊三角形優良品種試驗田，現引進四種不同的種子進行對比試驗，需要將這塊地分成AA面積相等的四塊，請你設計出四種劃分方案供選擇，畫圖說明。EF分析：BDEFCBDC.AAAEEFBFDCBDCBDEC7ABC中，A

27、BC、ACB的平分線相交于點O。A（1）若ABC=40，ACB=50，則BOC=。D（2）若ABC+ACB=116，則BOC=。（3）若A=76，則BOC=。（4）若BOC=120，則A=。（5）你能找出A與BOC之間的數量關系嗎？B12C8已知:BE,CE分別為ABC的外角MBC,NCB的角平分線,求:E與A的關系分析：E=90-12A.9已知:BF為ABC的角平分線,CF為外角ACG的角平分線,求:F與A的關系分析：F=12A思考題：如圖：ABC與ACG的平分線交于F1；F1BC與F1CG的平分線交于F2；如此下去,F2BC與F2CG的平分線交于F3；探究Fn與A的關系（n為自然數）.第六

28、講：與三角形有關的角一、相關定理（一）三角形內角和定理：三角形的內角和為180（二）三角形的外角性質定理：1三角形的任意一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和2三角形的任意一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角（三）多邊形內角和定理：n邊形的內角和為(n2)180多邊形外角和定理：多邊形的外角和為360二、典型例題問題1：如何證明三角形的內角和為180？.AEAFN12E2134BCBMOFCAEB1如圖,在ABC中,B=C,BAD=40,且ADE=AED,求CDE的度數.DC分析：CDE=ADC-21=B+40-21=B+40-（1+C）21=401=20A2如圖：在ABC中，CB，ADBC于D，

29、AE平分BAC求證：EAD1（CB）2BEDCEABCD.3已知：CE是ABC外角ACD的角平分線，CE交BA于E求證：BACB分析：問題2：如何證明n邊形的內角和為(n2)180AAABEBMEBEMCMDCDCD4多邊形內角和與某一個外角的度數總和是1350，求多邊形的邊數。5科技館為某機器人編制一段程序，如果機器人在平地上按照圖4中的步驟行走，那么該機器人所走的總路程為（）A.6米B.8米C.12米D.不能確定.第八講全等三角形.（一）知識要點1、全等三角形的有關概念能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。把兩個全等的三角形重合在一起，重合的頂點叫做對應

30、頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角。”“全等”用“”表示，讀作“全等于，AD如ABCDEF。當兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，如BCEF右圖所示，ABC和DEF全等，點A與點D，點B與點E，點C與點F是對應頂點，記作ABCDEF。其中AB與DE，AC與DF，BC與EF是對應邊，A與D，B與E，C與F是對應角。規律方法小結：在全等三角形中找出對應角和對應邊，關鍵是先找出對應頂點，然后按對應頂點的字母順序記兩個三角形全等，再按順序寫出對應邊和對應角。全等三角形的面積一定相等，但是面積相等的三角形不一定是全等三角形。常見的全等三角形的基本圖形有平移型、旋轉型和翻

31、折型。（1）平移型：如下左圖，若ABCDEF，則BC=EF。將DEF向左平移得到下右圖，則仍有BC=EF，在右圖中，若知BC=EF，則可推出BE=CF。ADADBCEFBECF（2）旋轉型：如下左圖，兩對三角形的全等屬于旋轉型，圖形的特點是：圖1的旋轉中心為點A，有公共部分1；圖2的旋轉中心為點O，有一對對頂角1=2。.DCA1AA1O2CABEDBEDDBCBC（1）（2）（1）（2）（3）翻折型：如上右圖，兩對三角形的全等屬于翻折型，其中圖1中有公共邊AB，圖2中有公共角A。知識延伸：熟悉這些基本圖形，有利于我們尋找三角形全等的隱含條件，啟發我們的證明思路。2、全等三角形的性質全等三角形的

32、對應邊相等；全等三角形的對應角相等。知識延伸：（1）全等三角形的性質是以后我們證明線段相等或角相等的常用依據；（2）全等三角形的對應邊上的中線、高線及對應角的角平分線也相等。規律方法小結：在尋找全等三角形的對應邊和對應角時，常用的方法有：（1）全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；（2）全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角；（3）公共邊一定是對應邊，公共角一定是對應角，對頂角一定是對應角；。（4）全等三角形中一對最短的邊（或最小的角）是對應邊（或對應角）（二）典型例題eqoac(,B)例1：若把ABC繞A點順時針旋轉一定的角度，就得到ADE，請寫

33、出圖中所有的對應邊DECA.和對應角。規律方法：全等三角形的書寫要注意對應頂點寫在對應的位置上，同時，在書寫對應邊時，直接按照對應邊來寫，但書寫對應角時，就必須特別注意結合圖形，尤其是角的表示。例2：如圖，已知ABDACE。試說明BE=CD，DCO=EBO。DOECBA規律方法：全等三角形的性質不僅有：（1）全等三角形的對應邊相等；（2）全等三角形的對應角相等。同時，我們還發現：（3）全等三角形的周長相等；（4）全等三角形的面積相等；（5）全等三角形中，對應邊上的高，對應邊上的中線，對應角的平分線也分別相等。例3：如圖，ADFCBE，且點E，B，D，F在一條直線上，判斷AD和BC的位置關系，A

34、F并加以說明。DBEC.例4：如圖，在ABC中，D，E分別是邊AC，BC上的點，AD若ADBEDBEDC，則C的度數為（）BECA、150B、200C、250D、300DQEP例5：如圖，ABE和ADC是ABC分別沿AB，AC邊翻A折1800形成的，若1：2：3=28：5：3，則求的度B213C數。.例6：如圖，已知ABEACD，1=2，B=C，指出其他的對應邊和對應角。DA12BEC例7：如圖，已知ABCDBE，ABCD，DE的延長線交AC于點F，那么DFAC嗎？說明理由例8：如圖，已知ABEACD且AB=AC，求證：(1)BAD=CAE;(2)BD=CE.（三）反饋練習1如圖，ABCDCB

35、，若l與2是一組對應角，則其他的對應角有，對應邊有，。2如圖，ABCABC，且點B，B，C，C在同一直線上，則BB=_；若A=80，.則A=，BDC=。3如圖，把ABC沿直線BC翻折180，得到DBC，則ABC與DBC的關系是。4如圖，把ABC繞點A旋轉一定的角度得到AED，那么ABCAED，其中對應邊有，對應角有，。5（南通）已知：如圖，OADOBC，且O=70，C=25，則AEB=。6如圖，ABDACD，AB=AC，則BAD=，BD=，ADB=度7如圖，若ABCEDC，且B=58，CD=2cm，點B，C，E在同一直線上，則E=，BC=cm.8若ABCDEF，DEF的周長為32cm，DE=9

36、cm,EF=12cm，則AB=cm,BC=._cm，AC=cm.9如圖，直角ABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到DEF，則下列結論中錯誤的是()A.ABCDEFB.DEF=90CAC=DFDEC=CF10.下列說法，(1)形狀相同的兩個三角形是全等三角形；(2)面積相等的兩個三角形是全等三角形；(3)全等三角形的周長相等，面積相等；(4)若ABCDEF，則A=D，AB=EF.其中正確的個數有()A.l個B.2個C3個D4個11如圖所示，ABCAEF，AB=AE，B=E，則下列結論：AC=AF;FAB=EAB；EF=BC;EAB=FAC.其中正確結論的個數是()A.l個B.2個C.3個D.4

37、個12.如圖，在ABC中，D、E分別是邊AC、BC上的點，若ADBEDBEDC，則C的度數為()A15B20C25D3013如圖，ABCCDA，下列各組邊中，不是對應邊的是()AAB與DCB.AC與CA.C.AD與CBD.AD與DC14.如圖，ABCADE，點B的對應點是點D若BAD=100，CAE=40，求BAE的度數第九講全等三角形的判定（一）（一）知識要點1、三角形全等的判定方法一：SSS三邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。書寫格式：ACACBCBC在ABC和ABC中，ABABAABCBCABCABC（SSS）規律方法小結：（1）有的題目可以直接從圖中找到全

38、等的條件，而有的題目的條件則隱含在題設或圖形之中，我們一定要認真讀圖，準確地把握題意，找準所需條件。（2）數形結合思想：將“數”與“形”結合起來進行分析、研究，這是解決問題的一.種思想方法。（二）典型例題例1.在ABC中，AB=AC，AD是三角形的中線.求證：ABDACD例2已知：如圖，A、C、F、D在同一直線上，AFDC，ABDE，BCEF，求證：ABCDEFACEBFD例3.如圖，點A，B，C，D在同一直線上，且AD=BC，AE=BF，CE=DF.求證:DF/CE.例4.如圖，已知ABEACD，求證：l=2.例5.如圖，點A，C，B，D在同一條直線上，且AC=BD，AM=CN，BM=DN.

39、求證：AMCN，BMDN例6.已知：如圖，四邊形ABCD中，AB=CB，AD=CD，求證：A=C例7如圖所示，AB=AEBC=ED，CF=FDAC=AD，求證：BAF=EAF.（三）練習：1如圖，若AB=AC，BD=CD，B=62，則BAC=度2如圖，已知AB=CD，AD=CB，還有條件，可判定ABCCDA，其依據是3如圖，在ABD和ACE中，已知AB=AC，BD=CE，AD=AE，若l=20，則2=4如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點0，且AO=BO，CO=DO，AD=BC，則圖中全等三角形有對5如圖，已知AB=BCAD=CD，ABC=80，ADC=50，則A=，C=6如圖，已知AB

40、=AC，點D為BC的中點，下列結論：(1)ABDACD；(2)B=C;(3)AD平分BAC;(4)ADBC.其中正確的個數是()A1個B2個C.3個D.4個.7下列說法：(1)周長相等的兩個等邊三角形全等；(2)有三個角對應相等的兩個三角形全等；(3)有三邊對應相等的兩個三角形全等；(4)有底和腰對應相等的兩個等腰三角形全等其中正確說法的個數是()A.4個B3個C2個D1個8下列命題中正確的是()A有兩條邊對應相等的兩個三角形全等B兩個等邊三角形全等C兩個等腰直角三角形全等D三邊對應相等的兩個三角形的對應角也相等，9如圖，已知AB=AC，BD=CD求證：l=2.10.如圖，在ABC中，AB=A

41、C，點D、E分別是BC的三等分點，且AD=AE.求證：ABDACE.11.如圖16，在ABC和DCB中，AB=DC，AC=DB，AC與DB交于點M.(1)求證：ABCDCB；(2)過點C作CNBD，過點B作BN/AC，CN與BN交于點N，試判斷線段NBC和NCB數量關系并證明你的結論第十講全等三角形的判定（二）（一）知識要點1、三角形全等的判定方法二：SAS兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。.AAACAC書寫格式：在ABC和ABC中，ABABAABCBCABCABC（SAS）知識延伸：“SAS”中的“A”必須是兩個“S”所夾的角。例1.如圖所示，直線

42、AD、BE相交于點C，AC=DC，BC=EC.求證：AB=DEeqoac(,C)例2：如圖，ADAE，ABAC，AD=AE，AB=AC。求證：ABDACEDABE.規律方法：證明三角形全等時，一般需要三個條件，如果已知兩對邊，就試著去找第三對邊或這兩對邊的夾角，利用“SSS”或“SAS”來證明兩個三角形全等；例3：如圖，C為BE上一點，點A，D分別在BE的兩側，ABED，AB=CE，BC=ED。求A證：AC=CDBCDE例4如圖，已知AB=AC，AD=AE，1=2.求證：CE=BD.例5：如圖，點E,F在BC上，BE=CF,AB=DC,B=C.求證:A=D例6.如圖，BE、CF分別是ABC的高

43、P是BE上一點。且BP=AC，Q是CF延長線上一點，且CQ=AB，求證：APAQ.（三）練習1如圖，已知l=2，AD=AC，則_，其依據是。.2如圖，l=2，AB=AC，AE=AD，則ABD，依據是，由此還可得BD=。3如圖，AC=AB，AD平分CAB，點E在AD上，則圖中全等的三角形有_對，它們是。4（天門）如圖，已知AE=CF，A=C，要使ADFCBE，還需添加一個條件：_（只需寫一個）：5小明為了測量池塘對岸A，B兩點間的距離，作了如下的操作（如圖）取一能夠到達A，B兩點的點D;連接AD并延長AD于點E，使AD=ED連接BD并延長BD至C，使BD=CD;連接CE.那么要知道AB的長度，應

44、測量線段的長度6如圖，已知ADBC于點D，BD=CD，點E在AD上；則圖中全等三角形共有()A.l對B.2對C.3對D.4對.7如圖有下列四個條件：BC=BC；AC=AC；ACA=BCB；AB=AB其中任取三個為題設，余下的一個為結論，則最多可以構成正確的命題的個數是()A.l個B。2個C.3個D.4個8下列命題中錯誤的是()A有兩邊對應相等的兩個等腰三角形全等B有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等C有兩邊和其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等D有一邊對應相等的兩個等邊三角形全等9下列條件中，可以判定ABC和ABC全等的是()A.BC=BA,BC=BA，B=BBA=B，AC=AB，AB=B

45、CC.A=A,AB=BC,AC=ACD.BC=BC,AC=AB,B=C10.如圖，已知ABCD，AB=CD，BE=DF，則圖中全等三角形的對數有()A3對B4對C5對D.6對11如圖，點A，E，B，D在同一直線上，在ABC與DEF中，AB=DE,AC=DF,ACDF.(1)求證：ABCDEF;(2)你還可以得到的結論是（寫出一個即可，不再添加其他線段，不再標注或使用其他字母）12.如圖13，點C是AB的中點，CDBE，且CD=BE，求證：D=E.第十一講全等三角形的判定（三）（一）知識要點1、三角形全等的判定三、四：ASA及AAS兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或

46、“ASA”）。書寫格式：ABABBB在ABC和ABC中，AAABCABC（ASA）AABCBC.知識延伸：“ASA”中的“S”必須是兩個“A”所夾的邊。兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）。書寫格式：在ABC和ABC中，BBACACAAAABCBCABCABC（AAS）知識延伸：“AAS”可以看成是“ASA”的推論。規律方法小結：由“角邊角”及“角角邊”可知兩角及一邊對應相等的兩個三角形全等。無論這個一邊是“對邊”還是“夾邊”，只要對應相等即可。(二)例題講解：例1.如圖所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC,B=C.求證：AD=AE例2.如圖

47、，ABBC,ADDC,1=2.求證：AB=AD練習：如圖所示,點B、F、C、E在同一條直線上，ABDF，ACDE，ACDE，FC與BE相等嗎？請說明理由.例3已知：如圖，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點F，求證：BE=CDCDFBEA.例4：如圖，已知ABCABC，AD，AD分別是ABC和ABC的邊BCAA和BC上的高。求證：AD=ADBDCBDC例5如圖，點E在AC上，1=2，3=4.試證明BE=DE.（三）練習1如圖，已知AB=DC，AD=BC，E，F是DB上的兩點，且BE=DF.若AEB=100，ADB=30則BCF=。.2如圖，已知CDAB，BEAC

48、，垂足分別為點D，E，BE，CD相交于點O，1=2，則圖中的全等三角形共有對3如圖，AC與BD相交于點O，1=4，2=3ABC的周長為25cm，AOD的周長為17cm，則AB=.4（海南）在ABC和ABC中，AB=AB，A=A，要使ABCABC，還需111111111添加一個條件，這個條件可以是5如圖，E=F=90B=C，AE=AF.給出下列結論：l=2；BE=CF;ACNABM；CD=DN.其中正確的結論是_（注：將你認為正確的結論都填上）6下列結論：(1)一個銳角與斜邊對應相等的兩個直角三角形全等；(2)-腰對應相等的兩個等腰直角三角形全等；(3)三個角對應相等的兩個三角形全等；(4)頂角

49、與一腰對應相等的兩個等腰三角形全等，其中正確的個數有()A1個B2個C.3個D.4個7（成都）如圖，在ABC與DEF中，已知AB=DE，要使ABCDEF，不能添加的一組條件是().8下列條件中，能判定兩個三角形全等的是()A有兩邊及一角對應相等B有三個角對應相等C有兩角及一邊對應相等D有兩條邊對應相等9如圖，已知ABC的面積為36，將ABC沿BC平移可得到ABC，點B和C重合，連接AC交AC于D，則CDC的面積為()A6B9C12D1810.如圖所示，在LAOB的兩邊上截取AO=BO，CO=DO，連接AD，BC交于點P有下列結論AODBOC;APCBPD；點P在AOB的平分線上其中正確的是()

50、A只有B只有CD11.如圖，已知點E、C在線段BF上，BE=CF,ABDE,ACB=F.求證：ABCDEF.12.如圖所示，l=2，D=C，求證；AC=BD.第十二講全等三角形的判定（四）（一）知識要點1、直角三角形全等的判定方法：HL斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）書寫格式：AACBCB在RtABC和RtABC中，ABABBCBCRtABCRtABC（HL）規律方法小結：證明兩個直角三角形全等的方法：除了證明一般三角形全等的方法SSS，例1：如圖，在RtABC中，A=900，點D為斜邊BC上一點，且BD=BA，過點D作BC.SAS，ASA，

51、AAS以外，還有一個特殊的證明方法：HL（斜邊、直角邊），從表面上看，SSS，SAS，ASA，AAS都是三個條件，其實，HL也是三個條件，除了直角邊、斜邊對應相等這兩個條件以外，還有“必須在Rt”中才能用這種方法。(二)經典例題A的垂線，交AC于點E。求證：AE=EDEBDC例2：已知：BECD，BEDE，BCDA，求證：BECDAE；BDFBCFACED例3如圖，CDAB于點D，BEAC于點E，BE，CD交于點O，且AO平分BAC.求證：OB=OC.例4.如圖，ACB=ADB=90AC=AD，點E是AB上任意一點求證：CE=DE.例5.如圖，AD為ABC的高，E為AC上的一點，BE交AD于F

52、，且有BF=AC，FD=CD(1)求證：BEAC；(2)若把條件BF=AC和結論BEAC互換，那么這個命題成立嗎？證明你的論斷（三）練習1如圖，在ABC中，ADBC于D，再添加一個條件（只需填一個），就可以判定ABDACD.2如圖，AB=CD，AEBC于E，DFBC于F若BE=CF，則ABE，其依據是.3已知AB=5,BC=4,AC=3,則的周長是，面積是，斜邊上的高為_4如圖，在分別過B，C作經過A點的直線的垂線BD，CE.若BD=3cmCE=4cm，則DE=。5如圖所示，有兩個長度相等的滑梯(即BC=EF)，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯的水平方向的長度DF相等，則ABC+DFE=。6兩個直

53、角三角形全等的條件是()A一銳角對應相等B一條邊對應相等C兩銳角對應相等D兩條邊對應相等7如圖，已知AB=CD，AEBD于E，CFBD于F，AE=CF，則圖中全等的三角形有()A.l對B2對C3對D4對8下列命題中，正確的有().兩直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；兩銳角對應相等的兩個直角三角形全等；斜邊和一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；一銳角和一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；一銳角和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等A5個B4個C3個D2個9如圖所示，C=90，DEAB于點D，BD=BC，如果AC=6cm，則AE+DE=()A4cmB5cmC6cmD7cm10.如圖所示，已知AC

54、BC，BDAD，AC、BD相交于O，如果AC=BD，那么下列結論：AD=BC；ABC=BAD；DAC=CBD;OC=OD其中正確的是()ABCD11如圖，AB：CD，DEAC，BFAC，E，F分別是垂足，DE：BF.求證：(1)AF=CE；(2)ABCD.12.如圖15所示，ACCF于點C，DFCF于點F，AB與DE交于點D，且EC=BF，AB=DE求證：AE=BD.第十三講全等三角形的判定綜合一、經典例題例1：如圖，已知ABCD，OA=OD，AE=DF。CF求證：EBCFDAOEB.例2.如圖,已知;CDAB,于D,BEAC于E,BE、CD交于點O，且AO平分BAC.求證:OB=OC.A12

55、DEOBC例3如圖，A、F、C、D四點在同一直線上，AF=CD，ABDE，且AB=DE.求證：（1）ABCDEF；（2）CBF=FEC._E_C_F_A_B_D例4：在直角三角形ABC中,AC=BC,C=90,D是AB邊上任一點,AECD于E,BFCD交CD的延長線于F,CHAB于H,交AE于G,求證:BD=CG.CGEADBHF例5.如圖.已知AB=DC,A=D,求證:ABC=DCB.ADBC二課后練習：.1、如圖，在ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DEAAB、DFAC，垂足為E、F，求證：EB=FCEFBDC2、已知：如圖12，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足，DE=

56、BF。求證：（1）ABCD；（2）AE=CF。(7分)DCFEAB3、如圖，已知：ABC中，AB=AC，BAC=90，分別過B，C向經過點A的.直線EF作垂線，垂足為E，F。（1）證明：EF與斜邊BC不相交時，則有EF=BE+CF（如圖1）。（2）如圖2，EF與斜邊BC相交時，其他條件不變，你能得到什么結論？請給出證明。(8分)第十四講角的平分線的性質ADCPOEB.ODPOEPOPOP（一）知識要點1、角的平分線的性質及其推導角的平分線上的點到角的兩邊距離相等。已知OC是AOB的角平分線，點P是OC上一點，PDOA于點D，PEOB于E，如右圖所示，則PD=PE。角的平分線的性質的推導：已知，

57、如上右圖，OC是AOB的角平分線，點P是OC上一點，PDOA于點D，PEOB于E，求證：PD=PE。證明：PDOA，PEOB（已知）ODP=OEP=900（垂直的定義）又OC平分AOB（已知）AOC=BOC（角的平分線定義）在RtDOP和RtEOP中AOCBOCRtDOPRtEOP（AAS）PD=PE（全等三角形的對應邊相等）知識延伸：角平分線的性質可直接推導與角的平分線有關的兩條線段相等，但在推導過程中不要漏掉垂直關系的書寫，同時涉及角平分線上的點與角A的兩邊的垂直關系時，可直接得到垂線段相等，不必再證兩個三角形全等而走彎路。DCPOEB.2、角的平分線的逆應用（角平分線的判定）角的內部到角

58、的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。如右圖，點P在AOB內部的一條射線OC上，并且PDOA于點D，PEOB于E，PD=PE，則射線OC是AOB的平分線。規律方法小結：（1）角平分線的性質及其逆用的關系：性質性質的逆用點在角的平分線上點到角的兩邊距離相等“（2）對于角的平分線的性質及其逆用，一方面要正確理解和明確其條件和結論，性質”和“性質的逆用”恰好是條件和結論的交換，在應用時不要混淆，性質是證兩條線段相等的依據，性質的逆用是證兩角相等的依據。角的平分線的判定的推導：已知：如右上圖，點P在AOB內部的一條射線OC上，并且PDOA于點D，PEOB于E，PD=PE。求證：射線OC是AOB的平分線。

59、證明：PDOA，PEOB（已知）ODP=OEP=900（垂直的定義）OPOP在RtDOP和RtEOP中，PDPERtDOPRtEOP（HL）DOP=EOP（全等三角形的對應角相等）即射線OC平分AOB知識延伸：逆用角平分線的性質可幫助我們證明角相等，使證明過程簡化，需要注意的CDAEB.是：在推導過程中應注意垂直關系的書寫，指明垂直線段，并由垂線段相等直接得到角相等，而不必再去證明三角形全等了。（二）典型例題例1：在ABC中，C=900，AD是BAC的平分線，若DC=6，則D點到AB的距離是_。例2：如圖，已知OE平分AOB，BCOA，ADOB。求證：EA=EBOCDEAB例3.如圖，在ABC

60、中，A=90，AC=AB，BD是ABC的平分線，DEBC于點E，已知BC=10cm，求EDC的周長.例4：如圖，已知CDAB于D，BEAC于E，CD，BE相交于點O，OB=OC。A求證：1=212DEOBC例5：如圖所示，已知OD平分AOB，在OA，OB邊上取OA=OB，點P在OD上，且PMBD，PNAD。求證：PM=PNBMDPNOA.規律方法：運用腳平分線的性質解題時，應注意兩點：（1）應注意交代清楚角平分線及角平分線上的點到角兩邊的距離這兩個方面，既不允許心里想到而不書寫其過程，更不允許在條件不具備時而得到線段相等的結論；（2）運用角平分線時，可以省去證明三角形全等的過程，可以直接得到線