1、金融數(shù)學(第1講:利率與資產(chǎn)收益率) 田存志第 1講暨南大學金融系教材金融數(shù)量方法：陳工孟、陳守東譯，上海人民出版社。第 1講暨南大學金融系課程性質(zhì)金融數(shù)學是金融學專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課程和專業(yè)工具課。它將數(shù)學知識和計算機技術(shù)應(yīng)用到金融分析過程中，是一門近年來發(fā)展迅速的交叉學科。有助于培養(yǎng)學生的思維能力和計算能力，幫助學生理解現(xiàn)代金融理論。為金融學研究和數(shù)據(jù)分析的實踐打下基礎(chǔ)。第 1講暨南大學金融系利率與資產(chǎn)收益率內(nèi)容:簡單的利率理論;貨幣的時間價值;即期利率、遠期利率;利率的期限結(jié)構(gòu);金融市場中利率的實際應(yīng)用;持有期收益率;年金。第 1講暨南大學金融系利率理論：為什么要支付利息？正的時間偏

2、好(positive time preference)貨幣是交換媒介現(xiàn)有消費和未來消費不一樣貨幣未來價值不確定性：風險 通貨膨脹風險 信用風險第 1講暨南大學金融系2014年9月13日（基準貸款利率） 第 1講暨南大學金融系1.利率理論影響利率一般水平（基準利率）的因素政策貨幣供給 通貨膨脹預期第 1講暨南大學金融系利率理論決定利率大小的因素合約期限違約風險 合約的流動性稅收與合約有關(guān)的其它因素第 1講暨南大學金融系2.貨幣的時間價值終值(future value)：今天得到或支付的某筆資金在將來某個時刻的價值?，F(xiàn)值(present value)：將來得到的或支付的某筆資金在今天的價值。計算現(xiàn)

3、值的過程稱為貼現(xiàn)(discounting)。計算終值的過程稱為復利(compounding)。第 1講暨南大學金融系終值的計算：四個因素利率期限計息方式 計息頻率第 1講暨南大學金融系終值計算：單利(simple interest)FV：貨幣終值P：最初本金n:期限r(nóng):單利利率（以年為單位）第 1講暨南大學金融系終值計算：復利(compound interest）每年計息一次FV：貨幣終值P：最初本金n:期限r(nóng):復利利率（年）第 1講暨南大學金融系終值計算：分期復利，每年計息m次PV：貨幣終值P：最初本金n:期限r(nóng):復利利率（以年為單位）第 1講暨南大學金融系重要極限：e=2.71828e是自

4、然對數(shù)的底，是一個無理論數(shù)；e為指數(shù)常數(shù)。第 1講暨南大學金融系終值計算：連續(xù)復利(continuous compounding)FV：貨幣終值P：最初本金n:期限r(nóng):復利利率e=2.71828第 1講暨南大學金融系終值計算：r=1,n=1,P=100 第 1講暨南大學金融系轉(zhuǎn)換公式:分期復利率轉(zhuǎn)換為等價的連續(xù)復利率(1.6)rcc:連續(xù)復利率（以年為單位）rdc:分期復利率(以年為單位）m:每年計息次數(shù)第 1講暨南大學金融系例：與年利率為6%、按季計息的分期復利等價的連續(xù)復利率為第 1講暨南大學金融系轉(zhuǎn)換公式:連續(xù)復利率轉(zhuǎn)換成等價的分期復利率(1.9)rcc:連續(xù)復利率rdc:分期復利率m:

5、每年計息次數(shù)第 1講暨南大學金融系例：設(shè)連續(xù)復利率為每年12.5%，那么相應(yīng)的按季計息的分期復利率為第 1講暨南大學金融系FRM試題（2009）設(shè)年利率為8%，半年計息一次。與之等價的年復利利率為多少？A) 9.20%B) 8.16%C) 7.84%D) 8.00%第 1講暨南大學金融系FRM試題（2008）設(shè)連續(xù)復利的年利率為10%，與之等價的半年計息的年利率為多少？A) 10.25%B) 9.88%C) 9.76%D) 10.52%第 1講暨南大學金融系貨幣的現(xiàn)值：分期貼現(xiàn)，m=1PV：未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值CFn：未來現(xiàn)金流金額n:期限r(nóng):貼現(xiàn)率（年）第 1講暨南大學金融系貨幣的現(xiàn)值：分期貼現(xiàn)

6、，貼現(xiàn)次數(shù)為m次PV：未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值CFn：未來現(xiàn)金流金額n:期限r(nóng):貼現(xiàn)率（年）第 1講暨南大學金融系貨幣的現(xiàn)值：連續(xù)貼現(xiàn)(1.12)PV：未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值CFn：未來現(xiàn)金流金額n:期限r(nóng):貼現(xiàn)率（年）第 1講暨南大學金融系3.即期利率、遠期利率即期利率(spot rate of interest)：是金融市場用來把某一未來現(xiàn)金流貼現(xiàn)成現(xiàn)值的利率。遠期利率(forward rate of interest):是現(xiàn)在約定的將來某個時刻借款所使用的利率。在貨幣市場上，可以巧妙地通過短期利率計算出遠期利率；在債券市場上，包括國庫券市場，連續(xù)的即期利率之間隱含著遠期利率。第 1講暨南大學金融系零息

7、票債券不支付利息，到期按面值償還。發(fā)行時按面值折價發(fā)行。從理論上講，把一次性的到期償付額貼現(xiàn)成現(xiàn)價的利率就是一定期限的即期利率。但是，即期利率在市場上使看不到的，通常只能用零息票債券來計算。第 1講暨南大學金融系n年期的即期利率（連續(xù)復利）PV：零息票債券的面值CFn：現(xiàn)價n:期限第 1講暨南大學金融系即期利率：基于零息票債券的計算（分期貼現(xiàn)）PV：零息票債券的價格CFn：面值，通常為100n:期限r(nóng)n:n年期的即期利率第 1講暨南大學金融系例：設(shè)有一個面值為100美元、現(xiàn)價為16.97美元的30年期零息票債券。那么30年期的即期利率等于分期貼現(xiàn)連續(xù)貼現(xiàn)第 1講暨南大學金融系貨幣市場上（單利）

8、遠期利率計算公式：(3.3)PR：遠期利率n：長期金融合約的期限（天）m:短期金融合約的期限（天）rn:長期金融合約的利率rm：短期金融合約的利率第 1講暨南大學金融系例：設(shè)銀行半年期的貸款年利率為6.25%，3個月期的貸款年利率為6%。那么3個月后3個月期的遠期利率為(單利）第 1講暨南大學金融系連續(xù)復利的遠期利率計算公式：(3.4)PR：遠期利率n：長期金融合約的期限（天）m:短期金融合約的期限（天）rn:長期金融合約的利率rm：短期金融合約的利率第 1講暨南大學金融系例：設(shè)銀行半年期的貸款年利率為11%，3個月期的貸款年利率為10%。那么3個月后3個月期的遠期利率為(連續(xù)復利）第 1講暨

9、南大學金融系分期復利的遠期利率計算公式：(3.5)PR：遠期利率n：長期金融合約的期限（年）m:短期金融合約的期限（年）rn:長期金融合約的連續(xù)的即期利率rm：短期金融合約的連續(xù)即期利率第 1講暨南大學金融系例：設(shè)銀行三年期的貸款年利率為12.75%，2年期的貸款年利率為11.63%。那么2年后1年期的遠期利率為(分期復利）第 1講暨南大學金融系例：遠期利率與即期利率 期限零息債券價格即期利率（CC）即期利率（DC）遠期利率（CC）遠期利率（DC）1234590.4880.2569.7659.4549.6610.011.012.013.014.010.5211.6312.7513.8815.0

10、3NA12.014.016.018.0NA12.7515.0417.3419.71最后一列直接從債券價格計算第 1講暨南大學金融系遠期利率遠期利率由現(xiàn)有的金融工具根據(jù)無套利原理隱含的未來某一時點開始的利率；由于現(xiàn)實中存在不確定性，遠期利率并不等于未來時期期限內(nèi)使用的短期利率（未來的即期利率）遠期利率是對未來短期利率的無偏估計。第 1講暨南大學金融系1.4利率期限結(jié)構(gòu)收益率曲線反映了到期收益率和到期期限之間的對應(yīng)關(guān)系。收益率曲線通常發(fā)表在金融報刊上，有時也被稱為利率期限結(jié)構(gòu)。利率期限結(jié)構(gòu)實際上描述的是即期利率和到期期限之間的關(guān)系。第 1講暨南大學金融系收益率曲線有三種形式上升（正常）：即期利率隨

11、期限的增加而升高。水平的（中性）：即期利率隨期限的增加不變。下降的（反常）：即期利率隨期限的增加而下降。第 1講暨南大學金融系收益率曲線的理論解釋完全預期理論流動性理論偏好集中理論市場分割理論第 1講暨南大學金融系完全預期理論遠期利率只代表預期的未來利率，任意時刻的期限結(jié)構(gòu)反映了當前市場對未來一系列短期利率的走向。正常的期限結(jié)構(gòu)說明了市場預期未來短期利率將會上升。水平的期限結(jié)構(gòu)說明了市場預期未來短期利率將保持穩(wěn)定。反常的期限結(jié)構(gòu)說明了市場預期未來短期利率將會下降。第 1講暨南大學金融系流動性理論在一定時期內(nèi)持有長期債券會面臨風險。期限與價格波動直接相關(guān)，且風險隨期限增長而增加投資者是風險厭惡的

12、，應(yīng)得到對應(yīng)期限結(jié)構(gòu)的風險補償長期利率應(yīng)反映未來利率走向的預期和流動性補償，而且補償隨期限增長而增加。收益率曲線將向上。第 1講暨南大學金融系Sample Data for Determining the Zero Curve BondTime toAnnualBondPrincipalMaturityCouponPrice(dollars)(years)(dollars)(dollars)1000.25097.51000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.6第 1講暨南大學金融系Continuously compounded zero r

13、ates determined from data in table Time toZeroMaturityRate(years)(%)0.2510.1270.5010.4691.0010.5361.5010.6812.0010.808第 1講暨南大學金融系Zero Curve Calculated from the Data Zero Rate (%)Maturity (yrs)10.12710.46910.53610.68110.808第 1講暨南大學金融系1.5利率的應(yīng)用各種金融工具中的利率遠期合約的定價第 1講暨南大學金融系天數(shù)計算習慣實際天數(shù)/360（大對數(shù)金融中心）實際天數(shù)/365

14、（英國英鎊貨幣市場）貨幣市場的習慣是計算終值或現(xiàn)值都要使用單利,因此必須考慮天數(shù)計算習慣這一事實.必須區(qū)分名義利率(nominal )和有效利率(effect)之差別這一事實.第 1講暨南大學金融系名義利率:標價利率或規(guī)定利率有效利率第 1講暨南大學金融系應(yīng)用1：國庫券(T-bill)是短期政府票據(jù)的最一般形式；期限一般為90天，也有短到1個月的，長到1年的；市場是高度流動的，政府通常每周發(fā)行新的國庫券；國庫券折價發(fā)行，以面值償付。交易報價用的是貼現(xiàn)率。購買國庫券所支付的價格稱為發(fā)票價格(invoice price)，是相對于特定貼現(xiàn)率的貼現(xiàn)價格。第 1講暨南大學金融系國庫券貼現(xiàn)率和發(fā)票價格I

15、NVP：發(fā)票價格PAR：票面價值n:期限（天）r:以小數(shù)表示的貼現(xiàn)率第 1講暨南大學金融系例：設(shè)有一種英國國庫券，國庫券還有50天到期，面值為1000英鎊。如果交易的貼現(xiàn)率為7.25%，那么國庫券的發(fā)票價格為第 1講暨南大學金融系應(yīng)用2：零息債券在到期期限內(nèi)沒有利息支付的債券；以折價方式發(fā)行和交易；唯一的現(xiàn)金流是到期償付。第 1講暨南大學金融系零息票債券的價格Pz：零息票債券的現(xiàn)價CFT：到期一次性償付的現(xiàn)金流T:期限r(nóng)T:T期支付貼現(xiàn)所使用的即期利率。第 1講暨南大學金融系例：設(shè)有一種國庫券，國庫券還有50天到期，面值為1000英鎊。如果交易的貼現(xiàn)率為7.25%，那么國庫券的發(fā)票價格為第 1

16、講暨南大學金融系應(yīng)用3：附息債券定期支付利息，也稱息票；在主要的政府和公司債券市場上，息票每半年支付一次；在歐洲債券市場上，息票按年計算。第 1講暨南大學金融系息票債券的（非凈價）價格：PB：附息債券(非凈價)價格CFt：t期現(xiàn)金流T:期限r(nóng)t:期限為t期的即期利率第 1講暨南大學金融系例：設(shè)有一份五年期債券，每年支付利息10元，本金為100元。在1-5年到期支付對應(yīng)的即期利率分別為10%、11%、12%、13%和14%，那么債券的價格為第 1講暨南大學金融系例：設(shè)有一份按年付息、4.25年后到期的債券，該債券每年支付利息8元，本金為100元。該債券最近一次支付的息票是在9個月之前，下一張息票

17、離到期還有0.25年。3個月期的即期利率和每間隔1年（即15、27、39、51個月）的即期利率分別為9%、10.5%、11.1%、12.2%和13.5%，那么債券的價格為第 1講暨南大學金融系應(yīng)用4：股票股票內(nèi)在價值是未來所有預期股息的現(xiàn)值。此股息貼現(xiàn)模型(dividend discount models)是內(nèi)在價值決定的基本模型，有很多種公式變形。還有其它理論內(nèi)在價值的決定模型。第 1講暨南大學金融系現(xiàn)值模型（Present Value Models） 假設(shè)現(xiàn)在該項資產(chǎn)的市場價格為P0，比較資產(chǎn)的內(nèi)在價值與市場價格：如果V0P0，說明該資產(chǎn)的價值被低估；如果V0P0，則表示該資產(chǎn)的價值被高估

18、。 其中，CFt 表示資產(chǎn)在時間t的預期現(xiàn)金流，rt 則是時間t的現(xiàn)金流在一定風險水平下的貼現(xiàn)率。第 1講暨南大學金融系 紅利貼現(xiàn)模型 （Dividend Discount Models, DDM）假定投資者要求的股票收益率為k，第t期期末的股票價格為Pt，每t期股息為 Dt股票的內(nèi)在價值可以表示為：第 1講暨南大學金融系零增長的紅利貼現(xiàn)模型 （Zero-Growth DDM ）假設(shè)股息的數(shù)量保持不變，即未來股息的增長率為零，即這種假設(shè)下的紅利貼現(xiàn)模型被稱為零增長模型: 第 1講暨南大學金融系零增長模型例題1投資者收到CFP公司支付的每股0.5元的上年度股利，并預期以后CFP公司每年都將支付同

19、等水平的股利。已知CFP公司的每股市價為10.8元，投資者要求的股票收益率為10，那么該公司對投資者來講，每股價值是多少？從題目中可以看出：D1 = D0 = 0.5由公式：每股價值 = 0.5/10% = 5元每股價值 g第 1講暨南大學金融系固定增長模型例題投資者收到CFP公司支付的每股0.5元的上年度股利，并預期以后CFP公司的股利將以每年5的水平增長。已知CFP公司的每股市價為10元，投資者要求的股票收益率為10，那么該公司對投資者來講，每股價值是多少？D1=D0 （15%）0.5 (15%)0.525元每股價值0.525/（10%5%）10.5元每股價值每股市價，每股CFP公司股票被

20、低估0.5元，投資者應(yīng)當買入該公司股票。第 1講暨南大學金融系固定增長模型例題2投資者收到CFP公司支付的每股0.5元的上年度股利，并預期本年度股利會有20的增長，而以后各年的股利都將保持5的增長率。已知CFP公司的每股市價為15元，投資者要求的股票收益率為10，那么該公司對投資者來講，每股價值是多少？D1=D0 （120）0.6元每股價值0.6/（10%5%）12元每股價值840美元, 將出現(xiàn)一個無風險的套利機會： (1)以5%的利息從銀行借入 $800，期限為1年; (2)購買一盅司黃金; (3) 賣空一份一年期的黃金遠期合約.由于 F-800(1+5%)=F-8400這種套利機會稱為“現(xiàn)

21、金持有套利策略”。第 1講暨南大學金融系遠期合約定價初步（例）若F0第 1講暨南大學金融系遠期合約定價初步（例）假定市場中每個投資者都充分地利用這種套利機會.套利行為將導致遠期合約價格為 $840.這就是遠期或期貨的定價原理。第 1講暨南大學金融系記號S0: 現(xiàn)在價格F0:遠期價格或期貨價格T:期限r(nóng):T期的無風險利率第 1講暨南大學金融系黃金等投資品復利：無儲藏成本 F0 = S0(1 + r )T 連續(xù)復利：無儲藏成本 F0 = S0erT第 1講暨南大學金融系A(chǔ)FP試題（2012）某3年期零息債券面值1 000元，發(fā)行價格為900元。另有一期限、信用級別和到期收益率相同的附息債券，面值1

22、 000元，票面利率為5%，每年付息一次。則該債券的發(fā)行價格為（ ）元。（答案取最接近值。）A) 1 039.88B) 942.88C) 1 075.77D) 969.94第 1講暨南大學金融系A(chǔ)FP試題（2012）某公司擬發(fā)行5年期債券進行籌資，債券票面金額為100元，票面利率為12%，每年付息1次，而當時市場利率為10%，那么，該公司債券發(fā)行價格應(yīng)為（ ）元。A) 93.22B )100.00C) 105.35D)107.58第 1講暨南大學金融系A(chǔ)FP試題（2013）某高科技公司預計在未來的5年無紅利發(fā)放，第6年將發(fā)放紅利每股3元，此后紅利每年增長8%，如果投資該高科技公司的必要回報率為

23、20%。那么該股票今天的價格應(yīng)為（）元/股。（答案取最接近值。）A） 8B） 10C） 12D） 24第 1講暨南大學金融系1.5 持有證券的收益率持有期收益率；銀行存款收益率；貼現(xiàn)工具的收益率；股票的股息收益率；到期收益率或內(nèi)部收益率；實際復利收益率；連續(xù)復利附加收益率；連續(xù)復利資產(chǎn)收益率第 1講暨南大學金融系持有期收益率（holding period return ,HPR）（5.1）INC：持有期獲取的收入VT :持有期期末的投資價值Vt : 持有期期初的投資價值HPR：持有期收益率第 1講暨南大學金融系持有期收益率轉(zhuǎn)化成年復利收益率（5.2）r：年（月）復利收益率HRP :持有期收益率

24、T：持有期第 1講暨南大學金融系銀行存款收益率：又被稱為附加收益率(add-on yield)，以單利計算n：存款期限（天）第 1講暨南大學金融系貼現(xiàn)工具的收益率：貼現(xiàn)率（discount yield）與附加收益率n：存款期限（天）第 1講暨南大學金融系股票的股息收益率：D：歷史的或預期的股息價值P: 股票現(xiàn)價第 1講暨南大學金融系債券的現(xiàn)行收益率或流動收益率：Yc：現(xiàn)行收益率或流動性收益率第 1講暨南大學金融系債券到期收益率（yield to maturity):內(nèi)部收益率(Internal rate of return, IRR)Pb: 債券的價格CFi：i時期末到期的現(xiàn)金流（息票或償還支付）r :