1、“課程標準”與“大綱”中數學思想方法的比較分析作者：劉曉玫 文章來源：數學教育學報普通高中數學課程標準（以下簡稱為）標準的頒布以及在全國部分省份的實驗，拉開 了基礎教育數學課程改革的帷幕。標準順應社會發展對數學教育提出的要求，體現出課程的時代性、基礎性和選擇性，對未來高中的數學課程的理念、目標、內容和實施等方面進行了全面的闡述。與以往的“數學教學大綱”相比。標準的變化體現在多方面。它不僅充分反映了此次課程改革的基本理念和要求，又從數學自身的角度在課程目標和內容的選擇、定位、要求等方面，做出了富有開創性的工作。標準中提倡的“關注過程”“強調本質” “體現數學的文化價值”“發展數學應用意識”等都向

2、我們昭示出高中數學課程的教育價值取向。而標準中關于“數學思想方法”的提及和要求也正是其中的一個重要的方面，它充分體現出此次課程改革對數學在提高人的素養、促進人的全面發展的關注，突出了數學思想方法在數學課程 中的地位和人的發展所起的作用。數學思想方法是數學的靈魂， 是數學教育價值的根本所在，它在數學教育中的作用已越來越被廣大數學教育工作者所接受，“注重本質，淡化形式”也漸漸成為人們對數學教育教學的一種共識了。在標準之前的數學教學大綱中，已經把數學思想方法列為數學的基礎 知識和技能來要求，而且廣大的數學教師也在教育教學實踐中進行了很多有意義的嘗試和努 力，取得了很多可喜的成果。 但因受以往數學教學

3、大綱的編寫體例所限，對數學思想方法的要求在大綱中體現的還不夠具體和充分，這樣教師在具體教學時對數學思想方法的貫徹和落實就帶有一定的盲目性和隨意性，從某種程度上來講， 使大綱中對數學思想方法的要求的落實受到一定的影響。在新的數學課程標準中，關于數學思想和方法的要求更加明確。因此， 充分認識和理解 標準的要求，對我們理解新課程、 指導我們的教學實踐都是非常重要的。一、理想課程的理念和要求在標準前的數學教學大綱中（以2000年為例），數學思想方法作為基礎知識的一部分，在教學目的中被明確提出：“基礎知識是指：高中數學中的概念、性質、法則、公式、公理、 定理以及由其內容反映出來的數學思想方法，”在對思維

4、能力以及其它幾種能力的含義進行界定時也反映出了對數學思想方法的要求。但在教學內容和教學目標中，在使用“了解、理 解、掌握和靈活運用”的層次性目標動詞描述時， 外顯的思想方法層面的要求就很難看出了， 這樣更加突出了對顯性知識的要求。在標準中，一方面在課程的理念部分、 課程目標中，明確提出了對數學思想方法的要求。另一方面，在課程內容標準中， 對數學思想方法的要求幾乎滲透到每一個模塊和專題中，同時在實施建議部分也作了相應的要求。1、數學思想方法是課程理念和目標的核心標準在理念部分提出：“高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質。 數學課程要講推理， 更要講道理，通過典型

5、例子的分析和學生自主探索活動是學生理解數學概念、 結論逐步形成的過程， 體會蘊含在其中的數學思想方法 過 程性評價應關注對學生理解數學概念、數學思想等過程的評價”可以說，課程標準的理念，是在反復地思考數學教育以及數學課程的性質和功能作用的基礎 上形成的，它反映出了數學課程應該是怎樣的，應該提倡什么？上面列舉的是標準中明確提出的關于思想方法的要求，但實際上，在理念的其它部分，也都充分體現出對數學思想方法 的關注。如在“提高學生的數學思維能力”部分，列舉了學生學習數學應經歷的思維過程， 這種過程以及在此過程中所形成的思維能力更多地依賴數學的思想方法的掌握；“發展學生的數學應用意識” “與時俱進地認

6、識雙基”“強調本質，注意適度形式化”的提出都體現 出對學生數學素養的要求，其中，關注更多地應該是思想方法層面的。而首次在標準中 提出數學課程要“體現數學的文化價值”，將數學課程的意義和作用放在了更高的地位。數學課程應適當地反映數學的思想體系，幫助學生形成正確的數學觀，這些都將以數學思想方法的滲透為起點，以思想方法的體會和領悟為目標。基于課程理念提出的課程目標， 同樣反映了在數學思想和方法層面的要求。 此次課程改革中， 各個學科的課程目標都從 3個方面提出知識與技能、過程與方法、情感與態度。 標準與 過去的“數學教學大綱” 一樣，將數學思想方法作為基礎知識和基本技能的成分。 不同的是, 在能力與

7、方法、情感與態度目標里也滲透了對數學思想方法的要求。課程目標中提出，要提高學生“數學地提出、分析和解決問題的能力”，“力求對現實世界中蘊含的一些數學模式進行思考和做出判斷”，這樣的目標的實現不單單是靠對知識和技能的掌握以及具體的解體的技巧和方法的掌握，而是需要在對所學的知識充分理解的基礎上進行升華，達到對更一般的思想和方法的理解和應用?！熬哂幸欢ǖ臄祵W視野，逐步認識數學的價值”等，是對學生的數學學習提出的更高的要求，這樣的目標是需要學生通過對數學具體內容的學習、感受和體會數學的思想方法的廣泛應用之后才能得以實現的。數學教育作為教育的組成部分，在形成人們認識世界的態度和思想方法方面起著著重作用，

8、 它應使學生學會用數學的思考方式解決問題、認識世界。數學課程的目標只有充分地反映數學教育的價值，才能很好的實現數學教育的任務。2、在具體內容要求中滲透數學思想方法與以前的“數學教學大綱”不同的是，標準不僅在總體目標中對數學思想方法的學習提出了要求，而且也在具體內容的要求方面有沖分的體現，從而使總目標在此方面的要求得以實現有了必要的保證，也成為標準與以往“教學大綱”重要區別之一。(1)顯性要求和基本要求標準中的必修課程， 作為對升入高中的所有學生的要求，安排了一些基本的內容， 一是滿足作為未來公民的基本數學需要，二是為學生進一步的學習提供必要的數學準備。但與以往的高中數學課程相比，標準在安排這些

9、內容時，更加強調使學生了解這些知識產生和 發展的背景，以及它們在現實世界中的應用，領悟其中的思想方法。努力體現數標準在總的要求中提出“必修課程的呈現力求展現出由具體到抽象的過程,學知識中蘊含的基本數學方法和內在的聯系”，此外還結合相關的內容 (如函數、解析幾何、算法、概率等)提出了具體的要求。如標準對函數的學習要求是，學生應感受函數是描 述客觀世界變化規律的重要數學模型，應理解掌握如何運用函數來刻畫現實世界中變量之間相互依賴的關系，“函數的思想方法將貫穿高中數學課程的始終”，學生將學習“初步運用函數思想理解和處理現實生活和社會中的簡單問題”。算法是標準新增加的內容，這部分內容的增加更多的是希望

10、通過有關知識的學習，使學生感受其中的思想和方法。中國古代數學以算法為主要特征，取得了舉世公認的偉大成就?，F代信息技術的發展使算法重新煥發了前所未有的生機和活力，算法進入中學數學課程，既反映了時代的要求，也是中國古代數學思想在一個新的層次上的復興。學生通過集中的和滲透式的學習，通過實例掌握運用算法解決問題的方法，并進一步體會構造性解決數學的思想方法，這些都是算法作為小學數學內容的初衷和理由。標準基于這樣的考慮，提出“中國古代數學中蘊涵了豐富的算法思想”，其“思想方法應滲透在高中數學課程的其它有關內容中”。學生應在義務教育階段初步感受算法思想的基礎上，進一步“體會算法的基本思想 以及算法的重要性和

11、有效性”。此外，統計、概率等內容的目標定位，也都特別的強調了對其中蘊涵的思想方法的要求。它 的選擇和定位及更多的是關注了其應用性和思想性。(2)隱性要求和較高要求在選修內容中，標準除對出現在必修內容中的思想方法做了進一步要求外，又在選修內 容中突出反映了對思想方法的關注。尤其是在選修系列3和4中，標準選擇了既是數學中的基礎性內容，又包含了豐富的數學思想方法的專題， 希望通過這些專題的學習使學生更 好地感受數學的內涵， 有利于擴展學生的視野， 有利于提高學生對數學的價值的認識。所以有些內容雖然看起來深奧，似乎是以往大學數學課程中的內容，但對這些內容的要求， 不在于其嚴謹性和系統性，當然也不是通俗

12、地講講故事，而是希望“讓學生對它們的基本內容和 基本思想方法有一個初步的了解”。例如在“數學史選講”專題中，標準要求“內容應能反映數學發展的不同時代的特點，要講史實，更重要的是通過史實介紹數學的思想法方法，使學生體會數學的重要思想和發展軌跡”。在其它的專題中，標準也都相應地提出了蘊涵在內容中的思想方法層面的要求。 如在專題“三等分角和數域擴充”中，學生將在了解一些相關的基本知識的基礎上，感受幾 何問題代數化的過程， 同時通過數學史的介紹， 能了解在數學史上當人們去尋找解決這樣的 問題的方法是否是根本不存在的。于是就有了數學家對不可能問題的研究和思考，除三等分角外，在數學歷史上，這樣思考問題的例

13、子還有“第五公設”的證明、“代數方程的根式解”的問題的討論等。這種不可能問題，在數學上引起了極有價值的發展，數學家面臨著這樣的挑戰：怎樣才能證明某種問題是不可解的。在解決三大幾何作圖問題不能的過程中，數學家所使用的方法不是就事論事，即他們的著眼點不是一個一個地去說明某些作圖問題為不可 能，而是尋求正面的回答： 怎樣才能刻畫出圓規直尺可以做出的所有可作圖的特征？對這個 問題回答了以后，三大幾何作圖問題以及其它的尺規作圖問題的就迎刃而解了。因此，學生通過本專題的學習， 既了解了古代數學的著名作圖問題，又通過對問題解決的過程了解，體會蘊涵在其中的重要的數學思想方法，這些思想方法對于其它問題的思考也是

14、十分重要的。3、關注實施過程中數學思想方法的落實教材的編寫、教師的教學以及對教學的評價是實現課程理念、目標和內容要求的重要保證。以往的“數學教學大綱”在“教學中應注意的問題中”沒有明確指出對數學思想方法的要求，往往是暗含其中的。而標準在實施建議（教學、評價和教材編寫）中也關注了數學思想 方法的落實。標準在教學建議中指出，教學中應強調對基本概念和基本思想的理解和掌握，像函數、 空間觀念、運算、數形結合、向量、導數、統計、隨機觀念、算法等一些核心概念和基本思 想要貫穿高中數學教學的始終，幫助學生逐步加深理解。 由于高中的數學課程內容是以模塊和專題形式呈現的。因此標準要求在教學中應注意溝通各部分之間

15、的聯系，通過類比、 聯想、知識的遷移和應用等方式，使學生體會知識之間的有機聯系，感受數學的整體性，感 受數學的思想方法， 從而更好地理解數學的本質。對學生數學學習的評價要注重對數學本質的理解和思想方法的把握，避免片面強調機械記憶、模擬以及復雜技巧，這從另一個角度反 映了標準的要求。教材是課程標準的物化， 是課程的具體體現形式， 它在素材的選擇、內容的呈現以及內容設 計的彈性方面都將對學生的數學學習產生一定的影響。標準要求教材在上述方面要有利于數學思想方法的體現。 例如，在統計內容中，可以選擇具有豐富生活背景的案例，展示統 計思想和方法的廣泛應用。為了滿足不同學生對數學學習的需求，為學生提供更多

16、的學習機會和空間，標準提倡教材編寫應具有彈性，結合相關內容安排一些引申的具有探索性的 問題，或者拓展性的包含重要的數學思想方法的內容。二、理想課程與現實的差距按照泰勒（Ralph W.Tyler）關于課程理論的 4個基本問題來審視我們的課程標準，實際上， 作為理想課程的 標準對數學課程應該達到怎樣的目標，為達到目標應提供怎樣的學習內容，如何有效地組織這些內容以及怎樣進行評價等問題都有所闡述。當然，課程的編制活動遠非如此，對這些問題的回答還需在過程中研究和發展。但是就文本而言，我們已看到關注數學的本質一一數學的思想方法，已經成為標準的核心，這樣的變化就像將一盞不很亮的航標燈變得明亮起來。事實上，

17、實施課程以及獲得課程與作為理想課程的標準之間還有一定的距離。應該看到，雖然經過若干年數學教育觀念的轉變以及教學實踐的探索，數學教育工作者對數學思想方法的認識在不斷的提高， 但現實的教育環境和評價方式，教師的自身數學素養等很多客觀的因素，都給課程目標的現實帶來一定阻礙。筆者曾進行過一次有關數學思想方法的問卷調查，調查對象是研究生課程班的學員，其中對“你對合情推理的認識和了解”的回答，“很了解” “基本了解” “不了解”的比例分別為31%、35%、35%;對“你對公理化方法的認識和了解”的回答，“很了解” “基本了解” “不了解”的比例為20.4%、36.7%、42.9%,這雖然是一次簡單的調查，

18、但從某種程度上可以反映教師 的一些實際情況（因這些學員能代表教師中的一般或更高些的水平），而實際的教學中也反映出同樣的問題。針對目前的情況，我們認為下面幾個方面是制約數學教學中落實數學思想 方法的主要原因。第一，社會上片面追求考試的成績和升學率，導致教學中關注知識與技能等結果性目標的現象還比較嚴重。而評價的甄別功能的膨脹以及評價的形式的局限性，使得對學生數學學習的評價更多地局限在對知識與技能的考查，這樣的導向致使在數學教育中對數學思想方法的關注往往難以體現，盡管人們已經認識到它的意義和作用。第二，數學思想方法與知識和技能相比，是相對較穩性的，是更高一層次的。他不像知識與技能那樣看得見、摸得著，掌握和理解起來那樣立竿見影，所以也往往被教師們所忽視。對 數學的本質的認識，對數學思想方法的理解，是要有過程的，是要在展現知識的產生、發展 和應用的過程中體現出來的，是要在學生的自主探索和實踐的過程中體會出來的，但是這樣的過程往往被看作是時間的浪費，教學效率的低下，浮躁的心理狀態，這樣的急功近利使教學中數學思想方法的滲透難