1、- -幾何圖形之半角模型主題半角模型教學容教學目標1.把握正方形的定義,弄清正方形與平行四邊形、菱形、矩形的關系；2.把握正方形的性質定理1 和性質定理2；3.正確運用正方形的性質解題；4.通過四邊形的附屬關系滲透集合思想；5.通過懂得四種四邊形在聯系,培育同學辯證觀點；學問構造正方形的性質由于正方形是特別的平行四邊形,仍是特別的矩形,特別的菱形,所以它具有這些圖形性質的綜合,因此正方形有以下性質由同學 正方形性質定理 1：正方形的四個角都是直角,四條邊相等；和老師一起總結；正方形性質定理 2：正方形的兩條對角線相等并且相互垂直平分,每一條對角線平分一組對角；說明：定理 2 包括了平行四邊形,

2、矩形,菱形對角線的性質,一個題設同時有四個結論,這是該 定理的特點,在應用時需要哪個結論就用哪個結論,并非把結論寫全；小結：1正方形與矩形,菱形,平行四邊形的關系如上圖2正方形的性質：正方形對邊平行；正方形四邊相等；正方形四個角都是直角；正方形對角線相等,相互垂直平分,每條對角線平分一組對角；- - word.zl- -典型例題精講例 1如圖,折疊正方形紙片 ABCD ,先折出折痕 BD ,再折疊使 AD 邊與對角線 BD 重合,得折痕 DG ,使 AD 2,求 AG 【解析】：作 GM BD,垂足為 M由題意可知 ADG=GDM,那么 ADG MDG DM=DA=2 AC=GM 又易知： G

3、M=BM 而 BM=BD-DM=22 -2=2 2 -1,PB10,并且 P 點到 CD 邊的距離也等于10,求正方AG=BM=2 2 -1例 2 如圖, P 為正方形 ABCD 一點,PA形 ABCD 的面積？【解析】：過 P 作 EFAB 于 F 交 DC 于 E AMEF , .垂足為 M ,設 PFx ,那么EF10 x ,BF1 10 2x 由PB2PF2BF2可得：102x2110 x24故x6S ABCD2 16256例 3. 如圖, E 、 F 分別為正方形ABCD 的邊 BC 、 CD 上的一點,AMAB ,那么有 EFBEDF ,為什么？AE、AF 只要能說明ABE【解析】

4、：要說明 EF=BE+DF ,只需說明 BE=EM ,DF=FM 即可,而連結 AME , ADF AMF 即可理由：連結 AE 、AF由 AB=AM ,ABBC,AM EF,AE 公用, ABE AME BE=ME 同理可得,ADF AMF DF=MF EF=ME+MF=BE+DF- word.zl- - -例4 如 以 下 圖 E 、 F 分 別 在 正 方 形 ABCD 的 邊 BC 、 CD 上 , 且EAF45, 試 說 明EFBEDF ；ABC,那么ADF ABG 【解析】：將 ADF 旋轉到 AF=AG , ADF= BAG ,DF=BG EAF=45 且四邊形是正方形, ADF

5、 BAE=45 GAB BAE=45 即 GAE=45 AEF AEG SAS EF=EG=EB BG=EB DF例 5. 如 圖 , 在 正 方 形 ABCD 的 BC 、 CD 邊 上 取 E 、 F 兩 點 , 使EAF 45, AG EF 于 G . 求證： AG AB【解析】：欲證 AG=AB ,就圖形直觀來看,應證 Rt ABE 與 Rt AGE 全等,但條件不夠 . EAF=45 怎么用呢 ？明顯 1 2=45 ,假設把它們拼在一起,問題就解決了 . 【證明】：把 A FD 繞 A 點旋轉 90 至 AHB. EAF=45 , 1 2=45 . 2=3, 1 3=45 . 又由旋

6、轉所得 AH=AF ,AE=AE. AEF AEH. 例 6.1 如圖 1,在正方形 ABCD 中,點 E , F 分別在邊 BC , CD 上, AE ,BF 交于點 O ,AOF90.求證： BECF . 2 如圖 2,在正方形 ABCD 中 ,點 E , H , F ,G 分別在邊 AB , - - word.zl-圖 2 - -BC ,CD , DA 上 , EF ,GH 交于點 O ,FOH90,EF4. 求 GH 的長 . 1.點 E ,H , F ,G 分別在矩形 ABCD 的邊 AB , BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于點 O , FOH 90 , EF 4 . 直

7、接寫出以下兩題的答案：如圖 3,矩形 ABCD 由 2 個全等的正方形組成 ,求 GH 的長；如圖 4,矩形 ABCD 由 n 個全等的正方形組成,求 GH 的長 用 n 的代數式表示 .圖 3 圖 4 【解析】1 證明：如圖1,四邊形 ABCD 為正方形,AB= BC,ABC= BCD=90 , EAB+ AEB=90 . EOB=AOF90 , FBC+AEB=90 , EAB=FBC,圖 1 N M ABE BCF ,BE= CF2 解：如圖 2,過點 A 作 AM/ GH 交 BC 于 M,過點 B 作 BN/ EF 交 CD 于 N,AM 與 BN 交于點 O/ ,那么四邊形AMHG

8、 和四邊形 BNFE 均為平行四邊形,圖 2 OEF=BN ,GH=AM , FOH90 , AM/ GH,EF/BN , NO/ A=90 , 故由 1得, ABM B, AM= BN,GH=EF=43 8 4n穩固訓練【雙基訓練】1. 如圖6,點 A 在線段 BG 上,四邊形ABCD 與 DEFG 都是正方形, .其邊長分別為3cm 和 5cm ,那么CDE 的面積為 _2 cm - word.zl- - -6 7 2你可以依次剪 6 正方形紙片,拼成如圖 7 所示圖形 .假如你所拼得的圖形中正方形的面積為 1,且正方形與正方形的面積相等,.那么正方形的面積為 _3.如圖 9,正方形 AB

9、CD 的面積為 35 平方厘米, E 、 F 分別為邊 AB 、 BC 上的點 AF 、 CE 相交于 G ,并且ABF 的面積為14 平方厘米,BCE 的面積為5 平方厘米, .那么四邊形 BEGF 的面積是_4.如圖, A 、 B 、 C 三點在同一條直線上,AB2BC ；分別以AB 、 BC 為邊作正方形 ABEF 和正方形 BCMN ,連接 FN ,EC ；求證： FNEC ；AG 于E , BFAG 于 F 5.如圖, ABCD 是正方形 G 是 BC 上的一點, DE1求證：ABFDAE；A E F G D 2求證： DEEFFBB C 【縱向應用】6. 在正方形 ABCD 中,1

10、2 BAEG2 1F求證：OF1BE2- DC- word.zl- -7. 在正方形 ABCD 中,12 AEDF , D1 2GA求證：OG1CEE2HO8. 如圖13,點 E 為正方形ABCD 對角線 BD 上一點 , EFBC , CFBDEGCDAE求證： AEFGGBFC139.：點 E 、 F 分別正方形ABCD 中 AB 和 BC 的中點,連接AF 和 DE 相交于點 G , FDCGHAD 于點 H . DE；AH一、求證： AF二、假如AB2,求 GH 的長；三、求證： CGCDEGB【練習題答案】16cm 22363420 cm 2面積法274.證明： FN=EC ；證明：

11、在正方形 ABEF 和正方形 BCMN 中,AB=BE=EF ,BC=BN , FEN= EBC=90 AB=2BC - - word.zl- -EN=BC FEN EBC FN=EC ；5.略6.提示：留意到根本圖形中的 AE=AF. 一.兩次應用角平分線定理和 CE=CF 可證二.過點 O 作 OG DE 和 CO=CG,CF=CE 可證 . 3,過點 O 作 OH BE, OF= OH= 1 BE27.提示：一條線段的一半或 2 倍這兩者的位置關系有哪兩種8.提示：延長 AE 交 GF 于點 M, DC,使 CH=DG, 連接 HF, 證四邊形對角互補 ,法 2：延長 FE,AE 證全等

12、三角形9.1略 243作 CMDG, 證 DM=AG=0.5DG 5專題1定義：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形；2特點：邊：兩組對邊分別平行；四條邊都相等；角：四個角都是 90 ；對角線：對角線相互垂直；對角線相等且相互平分；每條對角線平分一組對角；3主要識別方法：1：對角線相等的菱形是正方形2：對角線相互垂直的矩形是正方形3：四邊相等,有一個角是直角的四邊形是正方形4：一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形5：一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形；不管原四邊形的外形怎樣轉變,中點四邊形的 外形始終是平行四邊形；正方形

13、的中點四邊形是正方形；典例精講例 1. ：如圖, P 是正方形 ABCD 點,PADPDA15- word.zl-求證：PBC 是正三角形- - -【證明】：如以下圖做DGC 使與 ADP 全等,A P D 可得 PDG 為等邊 ,從而可得 DGC APD CGP, 得出 PC=AD=DC, 和 DCG= PCG15 0 所以 DCP=300 ,從而得出PBC 是正三角形E D B B C 的 外例 2. 如圖,分別以ABC 的 AC 和 BC 為一邊,在ABC側作正方形ACDE 和正方形 CBFG ,點 P 是 EF 的中點求證：點 P 到邊 AB 的距離等于AB 的一半【證明】：過E,C,

14、F 點分別作AB 所在直線的高EG ,CI,A C G FH；可得 PQ=EG2FH ；F P 由 EGA AIC ,可得 EG=AI ,由 BFH CBI,可得 FH=BI ；Q 從而可得 PQ=AI2BI =AB ,2從而得證；例4. 如 圖 , 四 邊 形 ABCD 為 正 方 形 , DEAC,AEAC , AE 與 CD 相交于 F 求證： CECF 【證明】：順時針旋轉ADE ,到 ABG ,連接 CG. 由于 ABG= ADE=900+450=1350從而可得 B,G,D 在一條直線上,可得AGB CGB；推出 AE=AG=AC=GC,可得AGC 為等邊三角形；AGB=300,既

15、得 EAC=300,從而可得 A EC=750；又 EFC= DFA=450+300=750. 可證： CE=CF ；A F D E B C 例 6. 設 P 是正方形 ABCD 一邊 BC 上的任一點,PFAP , CF 平分DCE 求證： PAPF - word.zl- - -【證明】：作FGCD, FEBE,可以得出GFEC 為正方形；令 AB=Y ,BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X ；tan BAP=tan EPF=X = Z,可得 YZ=XY-X 2+XZ ,Y Y X Z即 ZY-X=XY-X ,既得 X=Z ,得出ABP PEF ,得到 PAPF ,得證；A D F

16、B P C E D 例 7. ： P 是邊長為 1 的正方形 ABCD 的一點,求 PAPBPC 的最小值APD【證明】：順時針旋轉BPC 60 0 ,可得PBE 為等邊三角形；BC既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF 在一條直線上,即如以下圖：可得最小PA+PB+PC=AF ；既得 AF=132 1= 23 = 42 3422= 32 1= 2 3 212= 622；例 8. P 為正方形 ABCD 的一點,并且PAa ,PB2 a ,PC3 a ,求正方形的邊長【證明】順時針旋轉ABP 90 0 ,可得如以下圖：- word.zl- - -既得正方形邊長L = 22222a= 52 2 a；22ADPB C【雙基訓練】1.如圖,四邊形 ABCD 是正方形,對角線 AC 、 BD 相交于 O ,四邊形 BEFD 是菱形,假設正方形的邊長為 6,那么菱形的面積為 _2.如圖, ABCD 是正方形, E 為 BF 上一點, 四邊形 AFEC .恰是一個菱形, .那么 EAB =_ 【縱向應用】- - word.zl- -3.如圖,四邊形ABCD 是邊長為 a 的正方形,點G , E 分別是邊 AB , BC 的中點,AEF90,且 EF 交正方形外角的平分線CF