1、2.2.1橢圓及其標準方程一、選擇題1設P是橢圓 eq f(x2,25)eq f(y2,16)1上的一點，F1，F2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|PF2|()A10 B8C5 D4解析：由橢圓的定義，知|PF1|PF2|2a2510.答案：A2已知k4，則曲線eq f(x2,9)eq f(y2,4)1和eq f(x2,9k)eq f(y2,4k)1有相同的()A短軸 B焦點C離心率 D長軸解析：由c2a2b2知，當k4時，則曲線eq f(x2,9)eq f(y2,4)1和eq f(x2,9k)eq f(y2,4k)1有相同的焦點，故選B答案：B3已知橢圓eq f(x2,25)eq f(y2,9

2、)1上的點M到該橢圓一個焦點F的距離為2，N是MF的中點，O為坐標原點，那么線段ON的長是()A2 B4C8 Deq f(3,2)解析：如圖，設橢圓左焦點為F，右焦點為F1.2a10，|MF|2，|MF1|8.N為MF的中點，O為FF1的中點，|ON|eq f(1,2)|MF1|4.答案：B4橢圓eq f(x2,4)y21的左、右焦點分別為F1，F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則|PF2|等于()Aeq f(r(3),2)Beq r(3)Ceq f(7,2)D4解析：由eq f(x2,4)y21，知F1(eq r(3)，0)，F2(eq r(3)，0)，則P點的坐標為e

3、q blc(rc)(avs4alco1(r(3)，f(1,2)，|PF1|eq f(1,2).|PF1|PF2|4，|PF2|4|PF1|4eq f(1,2)eq f(7,2).答案：C5我們把由半橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(x0)與半橢圓eq f(y2,b2)eq f(x2,c2)1(xbc0)如圖所示，設點F0，F1，F2是相應橢圓的焦點，A1，A2和B1，B2是“果圓”與x，y軸的交點，若F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，則a，b的值分別為()Aeq f(r(7),2)，1 Beq r(3)，1C5,3 D5,4解析：由題意知，a2b2eq blc(rc)(av

4、s4alco1(f(r(3),2)2eq f(3,4)，b2c2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2eq f(1,4)，a2c21.又a2b2c2，與式聯立得c2eq f(3,4)，由式得b21，b1.a2eq f(7,4)，aeq f(r(7),2).答案：A二、填空題6已知橢圓eq f(x2,10m)eq f(y2,m2)1，焦點在y軸上，若焦距為4，則m的值為_解析：由2c4，得c2.又焦點在y軸上，m210m22，m8.答案：87已知ABC的兩個頂點為B(4,0)，C(4,0)，若頂點A在橢圓eq f(x2,25)eq f(y2,9)1上，則eq f(sin Bsi

5、n C,sin A)_.解析：如圖，由橢圓方程知a5，b3，c4.B，C恰好為橢圓的兩個焦點，|AB|AC|2a10，|BC|2c8.由正弦定理得eq f(sin Bsin C,sin A)eq f(|AC|AB|,|BC|)eq f(5,4).答案：eq f(5,4)8已知橢圓C1：eq f(x2,aoal(2,1)eq f(y2,boal(2,1)1(a1b10)和橢圓C2：eq f(x2,aoal(2,2)eq f(y2,boal(2,2)1(a2b20)的焦點相同且a1a2.給出如下四個結論：橢圓C1和橢圓C2一定沒有公共點；aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)beq oa

6、l(2,1)beq oal(2,2)；eq f(a1,a2)eq f(b1,b2)；a1a2a2，可知兩橢圓無公共點，則正確；aeq oal(2,1)beq oal(2,1)c2，aeq oal(2,2)beq oal(2,2)c2，a1a2，eq f(c2,aoal(2,1)eq f(c2,aoal(2,2)，即1eq f(boal(2,1),aoal(2,1)eq f(boal(2,2),aoal(2,2)，即eq f(a1,a2)b10，a2b20，a1a2b1b20，而又由(a1a2)(a1a2)(b1b2)(b1b2)，可得a1a236)將點eq blc(rc)(avs4alco1(

7、f(5r(7),2)，6)代入，整理得4a4463a26 3000，解得a2100或a2eq f(63,4)(舍去)，所以橢圓C的標準方程為eq f(x2,100)eq f(y2,64)1.(2)因為點P在橢圓C上，所以|PF1|PF2|2a20.由(1)知，c6，在PF1F2中，|F1F2|2c12，所以由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|coseq f(,3)，即122|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|.因為|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|，所以122(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|，即1222023|PF1|PF2|.所以|PF1|PF2|eq f(202122,3)eq f(328,3)eq f(256,3).Seq