1、習(xí)題3.1計(jì)算下列行列式： 解 =(a+2)(a-5)+3=a2-3a-7=(a-1)(a-1)(a+2)-3-12+2(a-1)-3(a-1)+6(a+2) = a3+2a習(xí)題3.2求從大到小的n階排列(n n-1 2 1)的逆序數(shù)解 (n n-1 2 1)=(n-1)+(n-2)+1+0=習(xí)題3.31.在6階行列式中，項(xiàng)a23a31a42a56a14a65和項(xiàng)a32a43a14a51a66a25應(yīng)各帶有什么符號？解 因?yàn)閍23a31a42a56a14a65=a14a23a31a42a56a65，而(4 3 1 2 6 5)=3+2+0+0+1+0=6，所以項(xiàng)a23a31a42a56a14a

2、65帶有正號又因?yàn)轫?xiàng)a32a43a14a51a66a25=a14a25a32a43a51a66，而(4 5 2 3 1 6)=3+3+1+1+0+0=8，所以項(xiàng)a32a43a14a51a66a25帶有正號2.計(jì)算：解 因?yàn)閍15a24a33a42a51的逆序數(shù)為(5 4 3 2 1)=54/2=10，帶有正號，所以=53214=120習(xí)題3.4計(jì)算：解 =100=-294105習(xí)題3.51.計(jì)算下列行列式： 解 =-726=-5=-1002. 計(jì)算下列n階行列式（n2）： 解 =+ =an+(-1)n+1bn Dn=an-1Dn-1+(-1)n+1= an-1Dn-1+(-1)n+1(-1)1

3、+(n-1)=an-1Dn-1-a1a2an-2=an-1(an-2Dn-2-a1a2an-3)-a1a2an-2=an-1an-2Dn-2-an-1a1a2an-3-a1a2an-2= an-1an-2a2D2-an-1an-2a3a1-an-1an-2a1a2an-4-an-1a1a2an-3-a1a2an-2= an-1an-2a2-an-1an-2a3a1-an-1an-2a1a2an-4-an-1a1a2an-3-a1a2an-2=-an-1an-2a2-an-1an-2a3a1-an-1an-2a1a2an-4-an-1a1a2an-3-a1a2an-2=- Dn=anx1x2xn

4、-1+xnDn-1=anx1x2xn-1+xn(an-1x1x2xn-2+xn-1Dn-2)=anx1x2xn-1+xnan-1x1x2xn-2+xnxn-1Dn-2=anx1x2xn-1+xnan-1x1x2xn-2+xnxn-1x4a3x1x2+xnxn-1x4x3D2=anx1x2xn-1+xnan-1x1x2xn-2+xnxn-1x4a3x1x2+xnxn-1x4x3(a1+x1)x2+a2x1=Dn+1=2!3!.n!3.計(jì)算下列n階行列式（n1）：解 Dn=+=+=anDn-1-a1a2an-1=an(an-1Dn-2-a1a2an-2)-a1a2an-1=anan-1Dn-2-a

5、na1a2an-2-a1a2an-1= (ai0)Dn=+=xn(-a)n-1(x1+x2+xn)+(-a)n4.證明：n階行列式其中zy解 Dn=(x-z)Dn-1-(y-x)=(x-z)Dn-1-(y-x)z=(x-z)Dn-1-(y-x)z=(x-z)Dn-1-(y-x)z(x-y)n-2=(x-z)Dn-1+z(x-y)n-1即有 Dn=(x-z)Dn-1+z(x-y)n-1 (1)又Dn=(x-y)Dn-1-(z-x)=(x-y)Dn-1-(z-x)y=(x-y)Dn-1-(z-x)y=(x-y)Dn-1-(z-x)y(x-z)n-2即有Dn=(x-y)Dn-1+y(x-z)n-1

6、(2)聯(lián)立式（1）和式（2）得習(xí)題3.61.設(shè)A,B,PMatnn(F)，并且P是可逆的，證明：如果B=P-1AP，則|B|=|A|證 因?yàn)閨P-1|P|=1，所以|B|=|P-1AP|=|P-1|A|P|=|A|2*.仿照例3.6.1，試用分塊初等變換，證明定理3.6.1證 設(shè)A，B都是nn矩陣，則=另一方面，對的第2行小塊矩陣乘以A加到第一行上去，有=所以習(xí)題3.71.求下列矩陣的伴隨矩陣和逆矩陣 解 設(shè)原矩陣為A，則A11=-1，A21=-1，A12=1，A22=2，伴隨矩陣A*=，|A|=-2+1=-1，所以，A-1=設(shè)原矩陣為A，則A11=-9+8=-1，A21=-（-15+14）=

7、1，A31=20-21=-1，A12=38，A22=-41，A32=34，A13=-27，A23=29，A33=-24伴隨矩陣A*=，|A|=-18-84+100-105+16+90=-1，所以，A-1=2.證明：上三角形矩陣是可逆矩陣的充分必要條件是：它的主對角線元全不為零證 因?yàn)榫仃嚳赡娴某浞直匾獥l件是它的行列式不為零，而上三角形矩陣的行列式等于它的主對角線上所有元的乘積，所以上三角形矩陣的行列式不為零的充分必要條件是：它的主對角線元全不為零，故上三角形矩陣可逆矩陣的充分必要條件是：它的主對角線元全不為零3.設(shè)A是nn矩陣證明：A是可逆的，當(dāng)且僅當(dāng)A*也是可逆的證 因?yàn)?AA*=|A|E，

8、兩邊取行列式得|A|A*|=|A|n若A可逆，則A的行列式|A|0，從而有|A*|=|A|n-10，所以A*可逆反之，若A*可逆，設(shè)A*的逆陣為(A*)-1用反證法，假設(shè)A不可逆，則A的行列式|A|=0，所以AA*=|A|E=0，對AA*=0兩邊同時(shí)右乘(A*)-1，得A=0，從而A的任一n-1階子式必為零，故A*=0，這與A*可逆相矛盾，因此A可逆4.證明定理3.7.2的推論1推論1的描述：設(shè)A是分塊對角矩陣，A=diag(A1,A2,As)，證明：A可逆當(dāng)且僅當(dāng)A1,A2,As均可逆，并且A-1=diag(A1-1,A2-1,As-1)證 A可逆，當(dāng)且僅當(dāng)A的行列式|A|0，而|A|=|A

9、1|A2|As|，所以|A|0當(dāng)且僅當(dāng)|A1|，|A2|，|As|都不為零，即A1,A2,As均可逆令B=diag(A1-1,A2-1,As-1)，則有AB=E故A-1=diag(A1-1,A2-1,As-1)4.設(shè)A=是實(shí)矩陣（實(shí)數(shù)域上的矩陣），且a33=-1證明：如果A的每一個(gè)元都等于它的代數(shù)余子式，則|A|=1證 如果A的每一個(gè)元都等于它的代數(shù)余子式，則A的伴隨矩陣A*=AT所以|A*|=|A|，又AA*=|A|E，兩邊取行列式得|A|2=|A|3由a33=-1，得AA*=比較最后一個(gè)等式兩端第3行3列的元素知|A|=a312+a322+10，對|A|2=|A|3兩邊同時(shí)除以|A|2得|

10、A|=16.設(shè)A=(aij)是nn可逆矩陣，有兩個(gè)線性方程組（）（）如果（）有解證明：當(dāng)且僅當(dāng)u=v時(shí)，（）有解證 設(shè)方程組（）的解為x1*, x2*, xn*，代入方程組（）得（）當(dāng)u=v時(shí)，因?yàn)?A=(aij)是nn可逆矩陣，A的行列式不等于零，根據(jù)克萊姆法則，方程組（）的前n個(gè)方程作為一個(gè)線性方程組，它有唯一解，記該解為x1*, x2*, xn*，代入方程組（）的前n個(gè)方程中得（）對等式組（）中第1個(gè)等式的兩端同時(shí)乘以x1*,第2個(gè)等式的兩端同時(shí)乘以 x2*, 第n個(gè)等式的兩端同時(shí)乘以 xn*，然后將n各等式的左邊全部相加，也將右邊全部相加，并利用（）式，可得b1x1*+b2x2*+bnxn*=c1x1*+ c2x2*+ cnxn*=u由u=v，得b1x1*+b2x2*+bnxn*=u即x1*, x2*, xn*也滿足（）中最后一個(gè)方程所以方程組（）有解反之，若方程組（）有解，設(shè)其解為x1*, x2*, xn*，代入（）得到（）對等式組（）中第1個(gè)等式的兩端同時(shí)乘以x1*,第2個(gè)等式的兩端同時(shí)乘以 x2*, 第n個(gè)等式的兩端同時(shí)乘以 xn*，然后將n各等式的左邊全部相加，也將右邊全部相加，并利用（）式，可得c1x1*+c2x2*+cnxn*=b1x1*+ b2x2*+ b