1、昆明學院2015屆畢業設計論文）設計（論文）題目一維熱傳導問題的數值解法及其MATLAB模擬子課題題目無姓名學號所屬系專業年級指導教師伍有超2物理科學與技術系2011級物理學2班王榮麗2015年5月摘要本文介紹了利用分離變量法和有限差分法來求解一維傳導問題的基本解，并 對其物理意義進行了討論。從基本解可以看出，在溫度平衡過程中，杠上各點均 受初始狀態的影響，而且基本解也滿足歸一化條件，表示在熱傳導過程中桿的總 熱量保持不變。通過對一維桿熱傳導的分析，利用分離變量法和有限差分法對一 維熱傳導進行求解，并用MATLAB數學軟件來對兩種方法下的熱傳導過程進行 模擬，通過對模擬所得三維圖像進行取值分析

2、，得出由分離變量法和有限差分法 繪制的三維圖基本相同，且均符合熱傳導過程中溫度隨時間、空間的變化規律， 所以兩種方法均可用來解決一維熱傳導過程中的溫度變化問題。關鍵詞：一維熱傳導；分離變量法；有限差分法；數值計算；MATLAB模擬AbstractIn this paper, the method of variable separation and finite difference method are introduced to solve the problem of one-dimensional heat conduction problems, and the physical s

3、ignificance of numerical methods for heat conduction problems are discussed. From the basic solution, we can see the temperature on the bar are affected by the initial state during the process of temperature balance, and basic solution also satisfy the normalization condition which implied the invar

4、iance of the total heat in the bar during the heat conduction process. Through the analysis of the one-dimensional heat conduction, by taking use of variable separation method and finite difference method, we simulated the one-dimensional heat conduction problem by MATLAB. The three-dimensional imag

5、es of the simulation results obtained by the method of separation of variables and finite difference method are similar to each other, and the temperature curve is in accordance with the law of temperature variation during heat conduction. Thus, we can go to the conclusion that both methods can be u

6、sed to deal with the one-dimensional heat conduction problems.Keywords: One-dimensional heat conduction; method of variable separation;finite difference method; numerical method; MATLAB simulation TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark13 o Current Document 第一章緒論11.1熱傳導的概念11.2熱質的運動和傳遞1 HYPERLINK l bookma

7、rk18 o Current Document 第二章一維熱傳導問題的兩種數值解法3一維熱傳導問題的初值問題3一維熱傳導問題的分離變量法4一維熱傳導問題的有限差分法6 HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 第三章一維有界桿熱傳導問題的MATLAB模擬93.1 一維有界桿熱傳導問題93.2分離變量法的MATLAB模擬93.3有限差分法的MATLAB模擬12 HYPERLINK l bookmark59 o Current Document 第四章總結與展望18 HYPERLINK l bookmark62 o Current Document 參考文

8、獻19謝辭20第一章緒論1.1熱傳導的概念由于溫度分布不均勻，熱量從介質中溫度高的地方流向溫度低的地方稱為熱 傳導。熱傳導是熱傳遞三種基本方法之一，它是固體中熱傳遞的主要方式，在不 流動的液體或氣體層中傳遞，在流動的情況下往往伴隨著對流同時發生。固體、液體以及球體熱傳導熱傳導的實質是由大量的物質分子熱運動相互撞 擊，而使能量從高溫部傳至低溫部分，或由高溫物體傳給低溫物體的過程。在固 體中，熱傳導的微觀過程是：在高溫部分，晶體中結點上的微粒振動動能較大。 在溫度低的部分，微粒的振動動能比較小。因為微粒的振動互相聯系，所以在晶 體內部就發生著微粒的振動，動能由動能大的部分分向給動能小的部分。在固體

9、 中熱的傳導，就伴隨著能量的遷移。在金屬物質中因為存在大量的自由電子，在 不停的做無規則運動。自由電子在熱傳導過程中起主要作用。在液體中傳導表現 為：液體分子在溫度高的區域熱運動比較強，由于液體分子之間存在著相互作用， 熱運動的能量將逐漸向周圍層傳遞，引起了熱傳導現象。由于熱傳導系數小，傳 導較慢，它與固體相似，因而不同于氣體；氣體依靠分子的無規則熱運動以及分 子間的碰撞，在氣體內部發生能量的遷移，從而形成宏觀上的熱量傳遞1。1.2熱質的運動和傳遞物質具有的熱能（粒子無規運動動能）是物質能量形式之一，它又對應著物 質所具有的熱質量，并且可看作為是熱子氣的質量。物體導熱過程中的熱量輸 運對應著熱

10、質量（熱子氣質量）的輸運。與對流輸運不同，熱質的輸運是屬于分 子輸運或擴散輸運。它可以用熱子氣的宏觀速度（漂移速度）來描述。與此類似， 為了能夠描述和研究熱子氣的宏觀運動，需要建立熱子氣運動的速度和加速度等 物理量。為了能確定熱子氣運動狀態的變化與施加在熱子氣之上的非平衡作用力 之間的關系，我們需要建立熱質運動定律3。在熱質和熱子氣概念基礎上，建立 了熱子氣的質量、動量和能量守恒方程；基于傅立葉導熱定律求得了熱子氣粘性 力的近似式4；傅立葉導熱定律本質上是忽略慣性力條件下的熱子氣的壓力梯度 與粘性力的平衡方程，當慣性力可以忽略時，熱子氣的動量守恒方程退化為傅立 葉導熱定律。在極低溫或極高熱流密

11、度時傅立葉導熱定律不再適用5。在最近的20多年里，對一維體系熱傳導性質的研究已經從純理論研究的興 趣延伸到了對其應用性的探討。自從2002年G. Casati等人提出了利用非線性參 數來控制一維體系中的熱流量，例如制備熱整流器(thermal rectifier)的設想和方 案以來，通過組合不同性質的一維晶格體系來控制和操縱熱流，制備出諸如熱二 極管(thermal diode)6、熱阻(thermal resistance)、熱晶體管(thermal transistor) 7等微觀熱器件的研究，為人們展示了一維體系熱傳導研究中誘人的應用前景8第二章一維熱傳導問題的兩種數值解法2.1 一維熱

12、傳導問題的初值問題問題簡述:一均勻細桿直徑為/，假設它在同一截面上的溫度是相同的，桿的 表面和周圍介質發生熱交換，并服從規律：dQ = k (u - u )dSdt又假設桿的密度為P，比熱為c，熱傳導系數為k，式導出此時溫度u滿足 的方程。任取細桿中的一段(氣,X2)，從時刻t+到時刻t熱量的增量為:Q+ = j% cps(u G, 12)- u G, Qdx |*t 2 x2du (x, t )7 1 TOC o 1-5 h z =jt2j 2cps ddxdt其中s = ；12是桿的截面積，通過(氣,X2)的兩端流入的熱量為：Q2 = jt2ks(u (x2, t)- ux(x+, 16t

13、 ft2 x27 d 2u (x, t 7。=jt2j 2ksdxdtt+ x+dx2通過(氣,x2)的側面與周圍介質發生的熱交換量為：(4)Q = jt2 jx2 k (u - u )m Idxdt，3 t+ x+ 11由能量守恒定律Q = Q - Q，以及x , x , t, t的任意性得:1231212du (x, t), d2u (x, t)(5)(6)cps d_1 = ks dX- - k(u 一 u1)mlk , k m4k記 a 2 = ，b 2 = + = i，可得: cpcpscpldu (x, t)d 2u (x, t)d= a 2 d b 2(u - u )若考慮一維熱

14、傳導方程的初值問題即是Cauchy問題9：ut 一 a 2Uxx = f (X, t )-8 x 0(-8 X +8)和初始t = o : U =p(X),-8 x +8求具有所需次數偏微商的函數uG,t)，滿足方程(1)條件:U(x,0)=中(x),-8 x +8。(8)考慮齊次熱傳導方程的初值問題t 一 a2Uxx = f (x, t)-8 x 0 It = o : U =p (x),-8 x +8通過推導可以推導出：U(x, t)= f -1 U(x, t)x-3=-1 J x 段)e一此。2a -8vt1(= J+89 (g )e 4a2t 此2a 加-8若考慮非齊次熱傳導方程的齊次初

15、始條件10的初值問題:t 一 a2Uxx = f (x, t)-8 x 0It = o : U = 0,-8 x +8(10)(11)通過推導可以推導出解為:(x, t)= 2= (+8 f 具)e上成t(12)若考慮非齊次熱傳導方程的非齊次初始條件初值問題的:u (x, t )=J+8甲(& )e 匕;:dg2a5t -8+ Jt Pf e f gdT。2a M 08 v；(t-T)(13)以上就為齊次熱傳導方程的初值問題，非齊次熱傳導方程的齊次初始條件的 初值問題和非齊次熱傳導方程的非齊次初始條件初值問題的解。2.2 一維熱傳導問題的分離變量法利用分離變量法的實驗原理來解決有界長桿的熱傳導

16、問題: (一)考慮齊次熱傳導方程的混合問題(邊界條件)都是第一類情形ut = a2uxx,0 x 0(14)lu(x,0)=中(x)u(0, t)= 0, u(l, t)= 0其中中(x)為給定的已知函數，求解過程為首先令u(x,t)= X(x)T(t)將其帶入方程ut = a 2uxx，(15)并且分離變量得兩個常微分方程T (t) + 扁 2T(t) = 0 ,(16)X(x) + XX (x) = 0 ，由邊界條件u(0,t)= 0,u(l,t)= 0可得：X(0), X(l) = 0 (17)為有界長桿的熱傳導問題11的解。(二)求邊值問題一維熱傳導問題的分離變量法求邊值問題的原理，即

17、是求X(x) +人X (x) = 0, X (0) = X (l) = 0的非0解包括以下三種情況:當x0時，該問題有非平凡解；此時(17)(18).丸X = X = (- )2 ,(n = 1,2,3.)，Xn(x) = Bn sin學,(n = 1,2,3.)。 1/若現在考慮：T (t) + 人 a2T(t) = 0，(19)將特征值人以=(n)2 ,(n = 1,2,3.)代入方程得：n兀aT (t) + (-)2T(t) = 0，(20)1/求得通解為, m 兀、9 TOC o 1-5 h z T(t) = Ce-( i)2,(n = 1,2,3.) ,(21)于是可以求解出定解問題

18、中的一維熱傳導方程組且滿足齊次邊界條件的具 有變量分離形式特解12：u(x, t)=產 a e(吁t sin ，(22)nln=1其中an = B Cn，是任意常數，在利用初值條件u(x,0)=p (x)，可得:(23)(24)(25)瑚 nnxL a sin=甲(x)，n ln=1繼而推導出:2 f1nnx , TOC o 1-5 h z a = J W (x )sindx ， HYPERLINK l bookmark56 o Current Document n l 0l所以uG,t)=La,-予 sin罕n=1a 項(x)sin 性xn l 0 l就為所求定解問題(14)的特解。若問題中

19、的邊界條件出現第二類或者第三 類齊次邊界條件，解法類似。2.3 維熱傳導問題的有限差分法(一)有限差分法的介紹：有限差分法是計算機數值模擬最早采用的方法，至今乃被推廣使用13。該方 法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法 以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代 替進行離散，從而建立網格節點上的值為未知數的代數方程組。有限差分法的優點：它是一種直接將微分問題變為代數問題的近似解法，數 學觀念直觀，表達簡單，是發展最早而且比較成熟的數值方法。有限差分法的缺點：它是必需進行整個區域的劃分，并且要求網格比較規則， 空間網格最好為直角

20、網格。（二）利用有限差分法進解決一維熱傳導問題:問題背景1、熱傳導的方程介紹14：dud 2u=a2dtdx 2u(0, t )= u(L, t )= 0u (x,0)= f (x)2、離散以后得到:uj = u(0, jk )= 0uj = u(L, t )= 0nu 0 = ui（1）向前差分后得：(ih,0)= f (ih) = f,uj+i -ujuj 一2uj + ujkh 2計算得出:uj+1 = su j +ii+1i-1下圖是一個顯示格式:ka 2s =h 2(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)圖2.1向前有限差分法網格圖由此可以證明當。， 時，上述差分式是

21、穩定的所以%的步長h和t的步長k取法要恰當。(2)向后差分格式得到:(35)u j+1 u ju j+1 2u j+1 + u j+1i白=a 2 i+1ii 1，kh 2計算得出:(32)+1j+i su j+1，u j su j+1 +ii+1圖2.2向后有限差分法網格圖第三章一維有界桿熱傳導問題的MATLAB模擬3.1 維有界桿熱傳導問題一均勻細桿長為i，在尤=0端溫度為0度，且保持溫度不變，尤=l端與外界絕熱。已 知初始時刻溫度分布為中3)。試求細桿上溫度的變化規律。利用熱傳導方程：f u - a 2u = 0,0 x 0 0，(33)u =9 (x),0 x l為了便于做題，我們令：

22、a = 1，l =兀，9 (x) = x，對于此問題，我們可以采用分離變量法和有限差分法來進行求解，并利用MATLAB數學軟 件【15對所得結果繪圖并分析。3.2分離變量法的MATLAB模擬首先，利用分離變量法對問題進行求解，根據2.2所得方程，有： TOC o 1-5 h z u G,官 Cesm(2 + 以x，(34) HYPERLINK l bookmark25 o Current Document n2ln=1其中：廠 2 n(2n +1)兀&於C =-i19(&)sin-d&。(35) HYPERLINK l bookmark31 o Current Document n l 02l

23、利用MATLAB對以上方程進行模擬，得到關于一維有界桿的熱傳導圖像如下 所示：分離變量江圖3.1分離變量法模擬一維有界桿的熱傳L T -1圖可以看出，溫度隨時間呈下降趨勢，長桿各部分溫度隨時間增加趨于穩定。取分離變量法模擬三維圖（圖3.1）中時T T的數據，作如下曲線圖:圖3.2 X = 2時T t關系圖可以發現在長桿!處溫度T隨時間的增長而下降。取分離變量法模擬 三維圖（圖3.1）X = l處，溫度T隨時間t的變化，作如下曲線圖：x=L時溫度隨時間分布圖U間t圖3.3 X = L處丁 -t關系圖可以發現，在長桿X = l處，溫度T隨時間t的增加而降低，取分離變量法模 擬三維圖（圖3.1）t

24、= 0時刻，溫度T在長桿l各處的分布規律，得到如下曲線圖:t時刻溫度市位置的分布圖00.511.522533.5位置X圖3.4 t = 0時刻T -1關系圖從上圖可以看出，當t = 0時刻，溫度T在長桿/各處呈線性分布，且由x = 0到 x = l逐漸上升。取分離變量法模擬的三維圖（圖3.1）t = 10時刻，溫度T在長桿l各處的分 布規律，得到如下曲線圖：圖3.5 t = 10時刻T-1關系圖由上圖可以看出，當t = 10時刻，溫度T在長桿1各處也呈線性分布，且由x = 0到x = 1逐漸上升，以上曲線圖均符合熱傳導規律。3.3有限差分法的MATLAB模擬根據2.3所得方程，向前差分:uj+

25、1 = suj +G 2 s + sujii+1ii1(36)向后差分:ka 2s =，h 2(37)uj = suj+1 + G + 2 s 如ii+1j+1 su j+1(38)利用MATLAB作圖，得到有限差分圖如下:有限插分法解圖3.6有限差分法模擬一維有界桿的熱傳L T 圖取有限差分法模擬三維圖（圖3.6）中X = 2時TT的數據，作如下曲線圖:圖3.7有限差分法得到的X = 2時T -1關系圖可以發現在長桿!處溫度T隨時間的增長而下降。取有限差分法模擬 三維圖（圖3.6）X = l處，溫度T隨時間的變化，作如下曲線圖：x-LM溫度隨時間分布圖圖3.8有限差分法得到的尤=L處T -1

26、關系圖可以發現，在長桿x = l處，溫度T隨時間t的增加而降低，取有限差分法模擬三維圖（圖3.6）t = 0時刻，溫度T在長桿l各處的分布規律，得到如下曲線圖:忙。時刻溫度嗟位置咕分布圖0246 a 1D 1214 1G 1B 2D位置X圖3.9有限差分法得到的t = 0時刻T -1關系圖從上圖可以看出，當t = 0時刻，溫度T在長桿1各處呈線性分布，且由x = 0到X = l逐漸上升。取有限差分法模擬的三維圖（圖3.6） t = 10時刻，溫度T在長桿l各處的分布規律，得到如下曲線圖:t=ios時溫萱隨電置的分布圖02 X 6 B 1D 1214151820位備圖3.10有限差分法得到的=1

27、0時刻T -1關系圖由上圖可以看出，當t = 10時刻，溫度T在長桿1各處也呈線性分布，且由 X = 0到X = 1逐漸上升，以上曲線圖均符合熱傳導規律。綜上所述，由分離變量法和有限差分法繪制的三維圖基本相同，且均符合熱 傳導過程中溫度隨時間、空間的變化規律，所以兩種方法均可用來解決一維熱傳 導過程中的溫度變化問題。第四章總結和展望許多工程問題需要研究熱量在物體內部的傳導情況或某種物質在液體中的 擴散情況，因此研究熱傳導問題特別是非穩態熱傳導問題十分重要。目前熱傳導 方程已有多種求解格式MATLAB基于矩陣運算，具有強大的數值運算能力和圖 形可視化能力，是方便實用、功能強大的數學軟件。本文以熱

28、傳導方程的數值解 法及Mat lab模擬實現為主線，研究論證其可行性，從而發現一種較為簡便且極 為有效的熱傳導方程數值解法和可視化的方法，意在更好的解決目前在工程和研 究鄰域中實際存在的問題，進而推動其相關鄰域的發展和進步，文章的主要研究 設計工作：對熱傳導方程的數值解法做了理論研究，為Matlab編程的實現奠定 了理論基礎，結合Matlab知識，編出程序通過列舉方程和邊值條件，利用編寫 的程序解出了一維熱傳導的非穩態問題。本文通過對一維桿熱傳導的分析，利用分離變量法和有限差分法對一維熱傳 導進行求解，并用MATLAB數學軟件來對兩種方法下的熱傳導過程進行模擬，通 過對模擬所得三維圖像進行取值

29、分析，得出由分離變量法和有限差分法繪制的三 維圖基本相同，且均符合熱傳導過程中溫度隨時間、空間的變化規律的結論，所 以兩種方法均可用來解決一維熱傳導過程中的溫度變化問題。參考文獻1 彭芳麟.數學物理方程的MATLAB解法與可視化.北京：北京師范大學出版社,20042 陶文銓.數值傳熱學(第2版).西安：西安交通大學出版,20013 李燦，高彥棟,黃素逸.熱傳導問題的MATLAB計算.華中科技大學學報(自然科學版)4 徐梓斌，閔劍青.基于PDE tool的熱傳導數值計算.佳木斯大學學報(自然科學版),20065 孔倩，李鵬，熱傳導方程的無網格Galerkin方法數值模擬研究，計算機應用， 201

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