1、1993年全國碩士研究生入學統一考試數學三試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)(1) .(2) 已知則 .(3) 級數的和為 .(4) 設階方陣的秩為,則其伴隨矩陣的秩為 .(5) 設總體的方差為1,根據來自的容量為100的簡單隨機樣本,測得樣本均值為5,則的數學期望的置信度近似等于0.95的置信區間為 .二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,把所選項前的字母填在題后的括號內.)(1) 設則在點處 ( )(A) 極限不存在 (B) 極限存在但不連續 (C) 連續但不可導 (D) 可導(2)

2、 設為連續函數,且則等于 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 階方陣具有個不同的特征值是與對角陣相似的 ( )(A) 充分必要條件 (B) 充分而非必要條件 (C) 必要而非充分條件 (D) 既非充分也非必要條件(4) 假設事件和滿足,則 ( )(A) 是必然事件 (B) . (C) (D) (5) 設隨機變量的密度函數為,且.是的分布函數,則對任意實數,有 ( )(A) . (B) (C) (D) 三、(本題滿分5分)設是由方程所確定的二元函數,求.四、(本題滿分7分)已知,求常數的值.五、(本題滿分9分) 設某產品的成本函數為需求函數為其中為成本,為需求量(即產量),為單價,都是

3、正的常數,且,求:(1) 利潤最大時的產量及最大利潤;(2) 需求對價格的彈性;(3) 需求對價格彈性的絕對值為1時的產量.六、(本題滿分8分)假設:(1) 函數滿足條件和;(2) 平行于軸的動直線與曲線和分別相交于點和;(3) 曲線,直線與軸所圍封閉圖形的面積恒等于線段的長度.求函數的表達式.七、(本題滿分6分)假設函數在上連續,在內二階可導,過點與的直線與曲線相交于點,其中.證明:在內至少存在一點,使.八、(本題滿分10分)為何值時,線性方程組有惟一解,無解,有無窮多組解?在有解情況下,求出其全部解.九、(本題滿分9分)設二次型經正交變換化成,其中和是三維列向量, 是3階正交矩陣.試求常數

4、.十、(本題滿分8分)設隨機變量和同分布, 的概率密度為(1) 已知事件和獨立,且求常數(2) 求的數學期望.十一、(本題滿分8分)假設一大型設備在任何長為的時間內發生故障的次數服從參數為的泊松分布.(1) 求相繼兩次故障之間時間間隔的概率分布；(2) 求在設備已經無故障工作8小時的情形下,再無故障運行8小時的概率.1993年全國碩士研究生入學統一考試數學三試題解析一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】【解析】 ,極限 , 而 ,所以 .(2)【答案】【解析】令則有 ,則 由復合函數求導法則知(3)【答案】【解析】利用幾何級數求和公式令,即得(4)【答案】【解析】本

5、題考查伴隨矩陣的定義及矩陣的秩的定義.由于,說明中3階子式全為0,于是的代數余子式故.所以秩 若熟悉伴隨矩陣秩的關系式易知 注：按定義伴隨矩陣是階矩陣,它的元素是行列式的代數余子式,是階子式.(5)【答案】【解析】此題是求一個一般總體、大樣本、方差已知的關于期望值的置信區間,可以用正態總體的區間估計公式近似求其置信區間.因的方差為,設的期望為,則.當置信度為,時,有正態分布表知.因此用公式： .將代入上式,得到所求的置信區間為.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(C)【解析】利用函數連續定義判定.由于當時,為有界變量,為無窮小量,則,且于是在處連續.故(A)(B

6、)不正確.又因為不存在,所以在處不可導,所以選(C).【相關知識點】函數連續定義：如果函數在處連續,則有.(2)【答案】(A)【解析】 【相關知識點】積分上限函數的求導公式：.(3)【答案】(B)【解析】有個線性無關的特征向量.由于當特征值時,特征向量線性無關.從而知,當有個不同特征值時,矩陣有個線性無關的特征向量,那么矩陣可以相似對角化.因為當的特征值有重根時,矩陣仍有可能相似對角化(當特征根的代數重數等于其幾何重數的時候),所以特征值不同僅是能相似對角化的充分條件,故應選(B).(4)【答案】(D)【解析】的充分必要條件是,即.顯然四個選項中,當時,可得.因此是的充分條件.因此選(D).(

7、5)【答案】(B)【解析】題目即考查概率論方面的知識,在計算過程中又用到定積分的一些知識.由積分的性質,換元積分,并改變積分上下限有隨機變量的密度函數為,則,又由于,所以,(偶函數積分的性質)即.于是 .故應選(B).三、(本題滿分5分)【解析】方法一：利用一階微分形式的不變性,將方程兩端微分,得整理后得 由此,得.方法二：應先求出函數對的偏導數,將兩邊分別對求偏導, 解之得 , .故 .四、(本題滿分7分)【解析】 ,令,則當時, ,所以 .而 ,由得,所以或五、(本題滿分9分)【解析】(1) 利潤函數為,對求導,并令,得,得.因為所以,當時為利潤函數的極大值點,根據題意也是利潤的最大值點,

8、所以.(2) 因為,所以,故需求對價格的彈性為.(3) 由得.六、(本題滿分8分)【解析】由題設可得示意圖如右.設,則,即 .兩端求導,得,即.由一階線性非齊次微分方程求解公式,得由初始條件,得.因此,所求函數為.【相關知識點】一階線性非齊次微分方程的通解公式為:,其中為常數.七、(本題滿分6分)【解析】因為分別在和上滿足拉格朗日中值定理的條件,故存在,使得由于點在弦上,故有從而 這表明在區間上滿足羅爾定理的條件,于是存在,使得.八、(本題滿分10分)【解析】對方程組的增廣矩陣作初等行變換,第一行和第三行互換,再第一行分別乘以、加到第二行和第三行上,再第二行和第三行互換,再第二行乘以加到第三行

9、上,有 .(1)當且時,方程組有唯一解,即(2)當時, 方程組無解.(3)當時,有.因為,方程組有無窮多解.取為自由變量,得方程組的特解為.又導出組的基礎解系為,所以方程組的通解為,其中為任意常數.【相關知識點】非齊次線性方程組有解的判定定理：設是矩陣,線性方程組有解的充分必要條件是系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,即.(或者說,可由的列向量線表出,亦等同于與是等價向量組)設是矩陣,線性方程組,則有唯一解 有無窮多解 無解 不能由的列向量線表出.九、(本題滿分9分)【解析】經正交變換二次型的矩陣分別為.由于是正交矩陣,有,即知矩陣的特征值是0,1,2.那么有【相關知識點】二次型的定義：含有個變量的二次齊次多項式(即每項都是二次的多項式)其中,稱為元二次型,令,則二次型可用矩陣乘法表示為其中是對稱矩陣,稱為二次型的矩陣.十、(本題滿分8分)【解析】(1)依題意,因為隨機變量和同分布,則,又事件獨立,故.估計廣義加法公式：解以為未知量的方程 得,(因不合題意).再依題設條件可知 .再解以為未知量的方程:,得.(2) 直接根據公式可求得隨機變量函數的數學期望:十一、(本題滿分8分)【解析】本題的關鍵在于理解隨機變量的意義,事件表示設備