1、2 .邏輯代數(shù)與硬件描述語(yǔ)言基礎(chǔ)2.1 邏輯代數(shù)(BOOLEAN ALGEBRA) 2.2 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法 2.3 硬件描述語(yǔ)言Verilog HDL基礎(chǔ) 教學(xué)基本要求1、熟悉邏輯代數(shù)常用基本定律、恒等式和規(guī)則。2、掌握邏輯代數(shù)的變換和卡諾圖化簡(jiǎn)法； 2.1.1 邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式2.1 邏輯代數(shù)( Boolean Algebra )2.1.3 邏輯函數(shù)的變換及代數(shù)化簡(jiǎn)法2.1.2 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則1、基本公式交換律：A + B = B + AA B = B A結(jié)合律：A + B + C = (A + B) + C A B C = (A B) C 分配律：A + BC = (

2、 A + B )( A + C )A ( B + C ) = AB + AC A 1 = AA 0 = 0A + 0 = AA + 1 = 10、1律：A A = 0A + A = 1互補(bǔ)律：2.1.1邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式重疊律：A + A = AA A = A反演律：AB = A + B A + B = A B吸收律 其它常用恒等式 ABACBCAB + ACABACBCDAB + ACDeMorgens2、基本公式的證明例 證明，列出等式、右邊的函數(shù)值的真值表真值表(Truth table)證明法011 = 001+1=00 01 1110 = 101+0=00 11 0101 =

3、100+1=01 00 1100 = 110+0=11 10 0A+BA+BA B A B例：公式證明法 2.1.2 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則 代入規(guī)則 ： 在包含變量A邏輯等式中，如果用另一個(gè)函數(shù)式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。這一規(guī)則稱為代入規(guī)則。例：B (A + C) = BA+BC，用A + D代替A，得B (A +D) +C = B(A +D) + BC = BA + BD + BC代入規(guī)則可以擴(kuò)展所有基本公式或定律的應(yīng)用范圍對(duì)于任意一個(gè)邏輯表達(dá)式L，若將其中所有的與（ ）換成或（+），或（+）換成與（）；原變量換為反變量，反變量換為原變量；將1換成0，0換成1；則得到的結(jié)果就是原

4、函數(shù)的反函數(shù)。2. 反演規(guī)則：例2.1.1 試求 的非函數(shù)解：按照反演規(guī)則，得 對(duì)于任何邏輯函數(shù)式，若將其中的與（ ）換成或（+），或（+）換成與（）；并將1換成0，0換成1；那么，所得的新的函數(shù)式就是L的對(duì)偶式，記作 。 例: 邏輯函數(shù) 的對(duì)偶式為3. 對(duì)偶規(guī)則：當(dāng)某個(gè)邏輯恒等式成立時(shí)，則該恒等式兩側(cè)的對(duì)偶式也相等。這就是對(duì)偶規(guī)則。利用對(duì)偶規(guī)則，可從已知公式中得到更多的運(yùn)算公式，例如，吸收律注意在求 反演和對(duì)偶時(shí)：1）原函數(shù)中的計(jì)算優(yōu)先級(jí)不能改變；2）長(zhǎng)非號(hào)保持不變；例 . 求函數(shù)L的 反函數(shù)、對(duì)偶函數(shù)。“或-與”表達(dá)式“與非-與非”表達(dá)式 “與-或-非”表達(dá)式“或非或非” 表達(dá)式“與-或”

5、 表達(dá)式 2.1.3 邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡(jiǎn)1、邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)與-或表達(dá)式在若干個(gè)邏輯關(guān)系相同的與-或表達(dá)式中，將其中包含的與項(xiàng)數(shù)最少，且每個(gè)與項(xiàng)中變量數(shù)最少的表達(dá)式稱為最簡(jiǎn)與-或表達(dá)式。(SOP)(POS)2、邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法 化簡(jiǎn)的主要方法：公式法（代數(shù)法）圖解法（卡諾圖法）代數(shù)化簡(jiǎn)法： 運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式進(jìn)行化簡(jiǎn)的方法。 并項(xiàng)法: 吸收法： A + AB = A 消去法： 配項(xiàng)法： A+AB=A+B)例2.1.7 已知邏輯函數(shù)表達(dá)式為，要求：（1）最簡(jiǎn)的與-或邏輯函數(shù)表達(dá)式，并畫出相應(yīng)的邏輯圖；（2）僅用與非門畫出最簡(jiǎn)表達(dá)式的邏輯圖。解：) 例2.1.8 試對(duì)邏輯函數(shù)表達(dá)式進(jìn)

6、行變換，僅用或非門畫出該表達(dá)式的邏輯圖。解： 2.2 邏輯函數(shù)的卡諾圖(Karnaugh map)化簡(jiǎn)法2.2.2 邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式2.2.1 最小項(xiàng)的定義及性質(zhì)2.2.4 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)2.2.3 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)1.邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆，化簡(jiǎn)過程要求對(duì)所有公式熟練掌握；2.代數(shù)法化簡(jiǎn)無(wú)一套完善的方法可循，它依賴于人的經(jīng)驗(yàn)和靈活性；代數(shù)法化簡(jiǎn)在使用中遇到的困難：2.2 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法卡諾圖-按一定規(guī)則排列的最小項(xiàng)的位置方塊圖 。 用卡諾圖化簡(jiǎn)法可以解決上述問題。n個(gè)變量X1, X2, , Xn的最小項(xiàng)是n個(gè)因子的乘積，每個(gè)變量都以它的原變量或非變量的形式在乘

7、積項(xiàng)中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次。一般n個(gè)變量的最小項(xiàng)應(yīng)有2n個(gè)。 、 、A(B+C)等則不是最小項(xiàng)。例如，A、B、C三個(gè)邏輯變量的最小項(xiàng)有（23）8個(gè)，即 、1. 最小項(xiàng)的意義2.2 .1 最小項(xiàng)的定義及其性質(zhì)0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001三個(gè)變量的所有最小項(xiàng)的真值表 2、最小項(xiàng)的性質(zhì) 對(duì)于變量的任一組取值，全體最小項(xiàng)之和為1。對(duì)于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使得它的值為1； 對(duì)于變量的任一組取值，任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0；3、最小項(xiàng)的編號(hào) 三個(gè)變量的

8、所有最小項(xiàng)的真值表 m0m1m2m3m4m5m6m7最小項(xiàng)的表示：通常用mi表示最小項(xiàng)，m 表示最小項(xiàng),下標(biāo)i為最小項(xiàng)號(hào)。 0000000100000000010100000001000100001000000100001000110001000001010100000001110000000111 2.2.2 邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式 為“與或”邏輯表達(dá)式； 在“與或”式中的每個(gè)乘積項(xiàng)都是最小項(xiàng)。例1 將化成最小項(xiàng)表達(dá)式= m7m6m3m5 邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式： 例2 將 化成最小項(xiàng)表達(dá)式 a.去掉非號(hào)b.去括號(hào)AB10100100011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m

9、7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m110001111000011110ABCD三變量卡諾圖四變量卡諾圖兩變量卡諾圖m0m1m2m3BCA m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m72.2.3 用卡諾圖表示邏輯函數(shù) 已知邏輯函數(shù)畫卡諾圖當(dāng)邏輯函數(shù)為最小項(xiàng)表達(dá)式時(shí)，(1)在卡諾圖中找出和表達(dá)式中最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的小方格填上1;(2)其余的小方格填上0（有時(shí)也可用空格表示），就可以得到相應(yīng)的卡諾圖。注意：任何邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖中為1的方格所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)之和。例1：畫出邏輯函數(shù)L(A, B, C, D)=(0, 1, 2, 3, 4, 8, 10, 11, 14, 15)的卡

10、諾圖例2 畫出下式的卡諾圖00000解1. 將邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)表達(dá)式2. 填寫卡諾圖 2.2.4 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 1、化簡(jiǎn)的依據(jù)ADABDDBA=+2、化簡(jiǎn)的步驟用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟如下：(4) 將所有包圍圈對(duì)應(yīng)的乘積項(xiàng)相加。(1) 將邏輯函數(shù)寫成最小項(xiàng)表達(dá)式(2) 按最小項(xiàng)表達(dá)式填卡諾圖，凡式中包含了的最小項(xiàng)，其對(duì)應(yīng)方格填1，其余方格填0。(3) 合并最小項(xiàng)，即將相鄰的1方格圈成一組(包圍圈)，每一組含2n個(gè)方格，對(duì)應(yīng)每個(gè)包圍圈寫成一個(gè)新的乘積項(xiàng)。畫包圍圈時(shí)應(yīng)遵循的原則： （1）包圍圈內(nèi)的方格數(shù)一定是2n個(gè)，且包圍圈必須呈矩形。（2）循環(huán)相鄰特性包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角

11、相鄰。（3）同一方格可以被不同的包圍圈重復(fù)包圍多次，但新增的包圍圈中一定要有原有包圍圈未曾包圍的方格。（4） 一個(gè)包圍圈的方格數(shù)要盡可能多,包圍圈的數(shù)目要可能少。例 :用卡諾圖法化簡(jiǎn)下列邏輯函數(shù)（2）畫包圍圈合并最小項(xiàng)，得最簡(jiǎn)與-或表達(dá)式 解：(1) 由L 畫出卡諾圖(0，2，5，7，8，10，13，15)0111111111111110例1: 用卡諾圖化簡(jiǎn)0111111111111110圈0圈1當(dāng)0的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于1時(shí)，也可以用包圍0 化簡(jiǎn)，但得到的是反函數(shù) ;例2：已知函數(shù)的真值表如下,試化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或式和與非-與非式解：1)由真值表寫出邏輯表達(dá)式；2)填卡諾圖化簡(jiǎn): ABCL0001001

12、1010001111000101111001110 BCA000111100 1 1 11 13) 化為與非-與非式：4)畫出邏輯圖： 雙軌輸入&CL2.2.5 含無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)1、什么叫無(wú)關(guān)項(xiàng)：在真值表內(nèi)對(duì)應(yīng)于變量的某些取值下，函數(shù)的值可以是任意的，或者這些變量的取值根本不會(huì)出現(xiàn)，這些變量取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為無(wú)關(guān)項(xiàng)或任意項(xiàng)。例1: 要求設(shè)計(jì)一個(gè)邏輯電路，能夠判斷一位十進(jìn)制數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，當(dāng)十進(jìn)制數(shù)為奇數(shù)時(shí)，電路輸出為1，當(dāng)十進(jìn)制數(shù)為偶數(shù)時(shí)，電路輸出為0。11111110110111001011101011001010001011100110101010010010011000101000100000LABCD解:(1)列出真值表(2)畫出卡諾圖(3) 卡諾圖化