1、第一篇 靜力學(xué)工程力學(xué)(靜力學(xué)與材料力學(xué))力系的等效與簡化 第2章第一篇 靜力學(xué)工程力學(xué) ( 靜力學(xué)與材料力學(xué))返回總目錄 作用在實際物體上的力系各式各樣，但是，都可用歸納為兩大類：一類是力系中的所有力的作用線都位于同一平面內(nèi)，這類力系稱為平面力系；另一類是力系中的所有力的作用線位于不同的平面內(nèi)，稱為空間力系。這兩類力系對物體所產(chǎn)生的運動效應(yīng)是不同的。同一類力系，雖然其中所包含的力不會相同，卻可能對同一物體產(chǎn)生相同的作用效應(yīng)。在就是前一章中提到的力系等效的概念。 第2章 力系的等效與簡化 本章將在物理學(xué)的基礎(chǔ)上，對力系的基本特征量加以擴展，引入力系主矢與主矩的概念；以此為基礎(chǔ)，導(dǎo)出力系等效定理

2、；進而應(yīng)用力向一點平移定理以及力偶的概念對力系進行簡化。力系簡化理論與方法將作為分析所有靜力學(xué)和動力學(xué)問題的基礎(chǔ)。 力系簡化的基礎(chǔ)力向一點 平移定理 平面力系的簡化 結(jié)論與討論 第2章 力系的等效與簡化 力系等效與簡化的概念 固定端約束的約束力 返回首頁返回總目錄 第2章 力系的等效與簡化 力系等效與簡化的概念 物理學(xué)中，關(guān)于質(zhì)點系運動特征量已有明確論述，這就是：質(zhì)點系的線動量和對某一點的角動量。 物理學(xué)中還指明線動量對時間的變化率等于作用在質(zhì)點系上的合外力；角動量矩對時間的變化率等于作用在質(zhì)點系上外力對同一點的合力矩。這里的合外力，實際上只有大小和方向，并未涉及作用點或作用線。因而，需要將其

3、中的合外力與外力的合力矩擴展為力系的主矢和主矩。 力系等效與簡化的概念 力系的主矢和主矩 力系等效的概念 力系等效與簡化的概念 力系簡化的概念 力系的主矢和主矩 力系等效與簡化的概念 力系的主矢 一般力系中所有力的矢量和，稱為力系的主矢量，簡稱為主矢（principal vector），即 其中FR為力系主矢；Fi為力系中的各個力。 力系的主矢和主矩 力系等效與簡化的概念 m2mnm1F2FnF1F3力系的主矩 力系中所有力對于同一點之矩的矢量和，稱為力系對這一點的主矩（principal moment），即 力系的主矢和主矩 力系等效與簡化的概念 m2mnm1F2FnF1F3 力系的主矢和主

4、矩 力系等效與簡化的概念 F2FnF1F3m2mnm1MOOFR 對于空間任意力系 主矢的分量表達式為 力系的主矢 力系的主矢和主矩 力系等效與簡化的概念 力系的主矩 力系的主矢和主矩 力系等效與簡化的概念 對于空間任意力系 主矩的分量表達式為 主矢僅與各力的大小和方向有關(guān)，主矢不 涉及作用點和作用線,因而主矢是自由矢。力系主矢的特點 對于給定的力系，主矢唯一；力系的主矢 力系的主矢和主矩 力系等效與簡化的概念 力系的主矢和主矩 力系等效與簡化的概念 OFRO1FRO2FR 主矢僅與各力的大小和方向有關(guān)，主矢不 涉及作用點和作用線,因而主矢是自由矢。力系主矩的特點 力系主矩是定位矢,其作用點為

5、矩心。 力系主矩MO與矩心( O )的位置有關(guān);力系的主矩 力系的主矢和主矩 力系等效與簡化的概念 力系的主矢和主矩 力系等效與簡化的概念 MOO 力系主矩MO與矩心( O )的位置有關(guān);O1MO1O2MO2 需要注意的是，工程力學(xué)課程中的主矢量與主矩，在物理學(xué)中稱為合外力和合外力矩。實際上如果有合外力，也只有大小和方向，并未涉及作用點（或作用線）。 力系的主矢和主矩 力系等效與簡化的概念 所謂力系等效是指不同的力系對于同一物體所產(chǎn)生的運動效應(yīng)是相同的，即：不同的力系使物體所產(chǎn)生的線動量對時間的變化率以及角動量矩對時間的變化率分別對應(yīng)相等。 力系等效的概念 力系等效與簡化的概念 力系等效的概念

6、 力系等效與簡化的概念 怎樣判斷不同力系的運動效應(yīng)是否相同？如何判斷力系等效MCFBFA力系1FCMEMD力系2 力系等效的概念 力系等效與簡化的概念 力系等效的概念 力系等效與簡化的概念 如果兩個力系的主矢和主矩分別對應(yīng)相等，二者對于同一剛體就會產(chǎn)生相同的運動效應(yīng)，因而稱這兩個力系為等效力系(equivalent system of forces)。 對于運動效應(yīng) 二者等效力系等效的含義FPFPFPFP 力系等效的概念 力系等效與簡化的概念 力系等效的含義對于變形效應(yīng) 二者不等效對于運動效應(yīng)二者依然等效FPFPFPFP 力系等效的概念 力系等效與簡化的概念 力系簡化的概念 力系等效與簡化的概

7、念 力系簡化的概念 力系等效與簡化的概念 所謂力系的簡化，就是將由若干個力和力偶所組成的力系，變?yōu)橐粋€力或一個力偶，或者一個力與一個力偶的簡單而等效的情形。這一過程稱為力系的簡化(reduction of force system)。 力系簡化的基礎(chǔ) 力向一點平移定理 第2章 力系的等效與簡化 返回首頁返回總目錄 力系簡化的基礎(chǔ)力向一點平移定理 根據(jù)力的可傳性，作用在剛體上的力，可以沿其作用線移動，而不會改變力對剛體的作用效應(yīng)。但是，如果將作用在剛體上的力，從一點平行移動至另一點，力對剛體的作用效應(yīng)將發(fā)生變化。 力系簡化的基礎(chǔ)力向一點平移定理 能不能使作用在剛體上的力平移到作用線以外的任意點，

8、而不改變原有力對剛體的作用效應(yīng)？ r在O點作用什么力系才能使二者等效 ?FrF? 力系簡化的基礎(chǔ)力向一點平移定理 為了使平移后與平移前力對剛體的作用等效，需要應(yīng)用加減平衡力系原理。 假設(shè)在任意剛體上的A點作用一力，為了使這一力能夠等效地平移到剛體上的其他任意一點(例如O點)，先在O點點施加一對大小相等、方向相反的平衡力系，這一對力的數(shù)值與作用在A點的力數(shù)值相等，作用線與平行。 FrFF F 力系簡化的基礎(chǔ)力向一點平移定理 FrFF F 力系簡化的基礎(chǔ)力向一點平移定理 根據(jù)加減平衡力系原理，施加上述平衡力系后，力對剛體的作用效應(yīng)不會發(fā)生改變。因此，施加平衡力系后，由3個力組成的新力系對剛體的作用

9、與原來的一個力等效。 力向一點平移的結(jié)果: 一個力和一個力偶,力偶的力偶矩等于原來力對平移點之矩。FF FM=FdF 力系簡化的基礎(chǔ)力向一點平移定理 增加平衡力系后，作用在A點的力與作用在B的力組成一力偶，這一力偶的力偶矩M等于力對O點之矩。 力向一點平移的結(jié)果: 一個力和一個力偶,力偶的力偶矩等于原來力對平移點之矩。FF FM=FdF 力系簡化的基礎(chǔ)力向一點平移定理 施加平衡力系后由3個力所組成的力系，變成了由作用在B點的力和作用在剛體上的一個力偶矩為M的力偶所組成的力系。 力系簡化的基礎(chǔ)力向一點平移定理 作用于剛體上的力可以平移到任一點，而不改變它對剛體的作用效應(yīng)，但平移后必須附加一個力偶

10、，附加力偶的力偶矩等于原力對平移點之矩。此即力向一點平移定理。力向一點平移定理 力向一點平移結(jié)果表明，一個力向任一點平移，得到與之等效的一個力和一個力偶；反之，作用于同一平面內(nèi)的一個力和一個力偶，也可以合成作用于另一點的一個力。 需要指出的是，力偶矩與力矩一樣也是矢量，因此，力向一點平移所得到的力偶矩矢量，可以表示成 力系簡化的基礎(chǔ)力向一點平移定理 M=FdF其中為B點至A點的矢徑。 rOAFFF-F 力系簡化的基礎(chǔ)力向一點平移定理 FMxMyFF-FFMz 力系簡化的基礎(chǔ)力向一點平移定理 平面力系的簡化 第2章 力系的等效與簡化 返回首頁返回總目錄 平面一般力系向一點簡化 平面匯交力系與平面

11、力偶 系的簡化結(jié)果 平面力系的簡化結(jié)果 平面力系的簡化 平面一般力系向一點簡化 平面力系的簡化 設(shè)剛體上作用有由任意多個力所組成的平面力系，。現(xiàn)在將力系向其作用平面內(nèi)任一點簡化，這一點稱為簡化中心，用O表示。 簡化的方法是：將力系中所有的力逐個向簡化中心O點平移，每平移一個力，便得到一個力和一個力偶。 平面力系的簡化 簡化的結(jié)果，得到一個作用線都通過O點的力系,這種由作用線處于同一平面并且匯交于一點的力所組成的力系，稱為平面匯交力系。+ 簡化的結(jié)果，還得到由若干處于同一平面內(nèi)的力偶所組成的平面力偶系。 平面力系的簡化 平面力系向一點簡化所得到的平面匯交力系和平面力偶系，還可以分別合成為一個合力

12、和一個合力偶。 + 平面力系的簡化 +力向一點平移得到兩個力系得到一個合力與 一個合力偶 平面力系的簡化 平面匯交力系與 平面力偶系的簡化結(jié)果 平面力系的簡化 對于作用線都通過O點的平面匯交力系，利用矢量合成的方法可以將這一力系合成為一通過O點的合力，這一合力等于力系中所有力的矢量和。 FR 上述結(jié)果表明，作用線匯交于O點的平面匯交力系的合力等于原力系中所有力的矢量和，稱為原力系的主矢。 平面力系的簡化 FR 對于平面力系，在Oxy坐標(biāo)系中，上式可以寫成力的投影形式 FRx和FRy分別為力系中所有的力在x軸和y軸上投影的代數(shù)和。 平面力系的簡化 這一結(jié)果表明，平面力系簡化所得平面力偶系合成一合

13、力偶合力偶的力偶矩等于原力系中所有力對簡化中心之矩的代數(shù)和。 MO 由平面力系簡化所得到的平面力偶系，只能合成一合力偶，合力偶的力偶矩等于各附加力偶的力偶矩的代數(shù)和，而各附加力偶的力偶矩分別等于原力系中所有力對簡化中心之矩。于是有 平面力系的簡化 這一結(jié)果表明，平面力系簡化所得平面力偶系合成一合力偶合力偶的力偶矩等于原力系中所有力對簡化中心之矩的代數(shù)和。 平面力系的簡化結(jié)果 平面力系的簡化 平面力系向作用面內(nèi)任意一點簡化，一般情形下，得到一個力和一個力偶。所得力的作用線通過簡化中心，其矢量稱為力系的主矢，它等于力系中所有力的矢量和；所得力偶仍作用于原平面內(nèi)，其力偶矩稱為原力系對于簡化中心的主矩

14、，數(shù)值等于力系中所有力對簡化中心之矩的代數(shù)和。 平面力系的簡化 由于力系向任意一點簡化其主矢都是等于力系中所有力的矢量和，所以主矢與簡化中心的選擇無關(guān)；主矩則不然，主矩等于力系中所有力對簡化中心之矩的代數(shù)和，對于不同的簡化中心，力對簡化中心之矩各也不相同，所以，主矩與簡化中心的選擇有關(guān)。因此，當(dāng)我們提及主矩時，必須指明是對哪一點的主矩。例如，MO就是指對O點的主矩。 平面力系的簡化 需要注意的是，主矢與合力是兩個不同的概念，主矢只有大小和方向兩個要素，并不涉及作用點，可在任意點畫出；而合力有三要素，除了大小和方向之外，還必須指明其作用點。 平面力系的簡化 例題1 固定于墻內(nèi)的環(huán)形螺釘上，作用有

15、3個力，各力的大小分別為：試求：螺釘作用在墻上的力。 平面力系的簡化 解：要求螺釘作用在墻上的力就是要確定作用在螺釘上所有力的合力。確定合力可以利用力的平行四邊形法則，對力系中的各個力兩兩合成。但是，對于力系中力的個數(shù)比較多的情形，這種方法顯得很繁瑣。而采用主矢的投影表達式，則比較方便。 xy 為了應(yīng)用主矢的投影表達式，首先需要建立坐標(biāo)系Oxy坐標(biāo)系。 將各力分別向x軸和y軸投影，然后代入主矢的投影表達式. 平面力系的簡化 xy 為了應(yīng)用主矢的投影表達式，首先需要建立坐標(biāo)系Oxy坐標(biāo)系。 將各力分別向x軸和y軸投影，然后代入主矢的投影表達式:FRyFRx 平面力系的簡化 xyFRxFRyFR

16、平面力系的簡化 例題2 作用在剛體上的6個力組成處于同一平面內(nèi)的3個，其中F1200 N，F(xiàn)2600 N，F(xiàn)1400 N。圖中長度單位為mm。 試求: 3個平面力偶所組成的平面力偶系的合力偶矩。 平面力系的簡化 解: 3個平面力偶所組成的平面力偶系的合力偶矩。 平面力系的簡化 例題3 剛性圓輪上所受復(fù)雜力系可以簡化為一摩擦力F和一力偶矩為M的力偶。已知力F的數(shù)值為F2.4 kN。如果要使力F和力偶向B點簡化結(jié)果只是沿水平方向的主矢FR，而主矩等于零。B點到輪心O的距離OB12 mm(圖中長度單位為mm)。求：作用在圓輪上的力偶的力偶矩M。 平面力系的簡化 解: 因為要求力和力偶向B點簡化結(jié)果，

17、只有沿水平方向的主矢，即通過B點的合力，因而簡化后所得的主矩，即合力偶的力偶矩等于零: 其中M的負號表示力偶為順時針轉(zhuǎn)向，式中 將其連同力F2.4 kN代入上式后，解出所要求的力偶矩為 平面力系的簡化 固定端約束的約束力 第2章 力系的等效與簡化 返回首頁返回總目錄 固定端約束的約束力 固定端或插入端(fixed end support)約束，不僅限制了被約束物體在約束處的移動，而且限制了轉(zhuǎn)動。 固定端約束在工程中是很常見的。 機床上夾持加工件的卡盤，卡盤對工件的約束就是固定端約束 固定端約束的約束力 固定端或插入端(fixed end support)約束，不僅限制了被約束物體在約束處的移動

18、，而且限制了轉(zhuǎn)動。 固定端約束在工程中是很常見的。 車床上夾持車刀的刀架，刀架對車刀的約束也是固定端約束 固定端約束的約束力 固定端或插入端(fixed end support)約束，不僅限制了被約束物體在約束處的移動，而且限制了轉(zhuǎn)動。 固定端約束在工程中是很常見的。 一端鑲嵌在建筑物墻內(nèi)的門或窗戶頂部的雨罩，墻對于雨罩的約束也屬于固定端約束平面載荷作用的情形 固定端約束的約束力 固定端約束的約束力 固定端對于被約束的構(gòu)件，在約束處所產(chǎn)生的約束力，是一種比較復(fù)雜的分布力系。在平面問題中，如果主動力為平面力系，這一分布約束力系也是平面力系， 固定端約束的約束力 固定端對于被約束的構(gòu)件，在約束處所

19、產(chǎn)生的約束力，是一種比較復(fù)雜的分布力系。在平面問題中，如果主動力為平面力系，這一分布約束力系也是平面力系， 分布約束力系簡化為一個力和一個力偶 固定端約束的約束力 固定端對于被約束的構(gòu)件，在約束處所產(chǎn)生的約束力，是一種比較復(fù)雜的分布力系。在平面問題中，如果主動力為平面力系，這一分布約束力系也是平面力系， FA x ; FA y ; MA 平面分布約束力簡化結(jié)果 : 固定端約束的約束力 約束力偶的轉(zhuǎn)向可任意假設(shè)，一般設(shè)為正向，即逆時針方向。如果最后計算結(jié)果為正值，表明所假設(shè)的逆時針方向是正確的；若為負值，說明實際方向與所假設(shè)的逆時針方向相反，即為順時針方向 。FAxFAy 固定端約束的約束力 固

20、定端約束與固定鉸鏈約束不同的是，不僅限制了被約束構(gòu)件的移動，還限制了被約束構(gòu)件的轉(zhuǎn)動。因此，固定端約束力系的簡化結(jié)果為一個力與一個力偶，與其對構(gòu)件的約束效果是一致的。FAxFAy 結(jié)論與討論 第2章 力系的等效與簡化 返回首頁返回總目錄 結(jié)論與討論 關(guān)于力矢、主矢、力矩矢、力偶矩矢以及主矩矢的矢量性質(zhì) 關(guān)于合力之矩定理及其應(yīng)用 關(guān)于力系簡化的最后結(jié)果 關(guān)于實際約束的簡化模型 關(guān)于力偶性質(zhì)推論的應(yīng)用限制 關(guān)于力矢、主矢、力矩矢、 力偶矩矢以及主矩矢的矢量性質(zhì) 結(jié)論與討論 請判斷力矢量、力矩矢量、力偶矩矢量、主矢、主矩分別屬于下列矢量中的哪一種： 自由矢; 滑動矢; 定位矢。 請分析合力與主矢、合

21、力偶矩矢量與主矩的相同點和不同點. 結(jié)論與討論 結(jié)論與討論 關(guān)于力系簡化的最后結(jié)果 幾種特殊情形零力系(平衡力系)還可以再簡化合力偶合 力 結(jié)論與討論一般情形下的簡化結(jié)果 F R垂直于MO F R平行于MO F R既不平行也不垂直于MO三種結(jié)果都還可以再簡化 結(jié)論與討論xyzFR最后結(jié)果xyzMOFRd=M/FR 結(jié)論與討論FRMOxyz最后結(jié)果FRxyzMOxd=M / FRxyzMOxMOyFR 結(jié)論與討論 力系如圖所示,若FT、FQ、h、e等為已知。研究： 1. 向 C 點簡化結(jié)果 2. 最后簡化結(jié)果heCFQFTFT 結(jié)論與討論 關(guān)于合力之矩定理及其應(yīng)用 結(jié)論與討論 如果力系有合力(FR),在匯交力系合力之矩定理的基礎(chǔ)上,即: 加以擴展,合力不僅包含力，而且包含力偶,于是有: 結(jié)論與討論 應(yīng)用合力之矩定理以及微積分方法，可以確定工程中一些復(fù)雜載荷的合力。 應(yīng)用合力之矩定理不難求得其合力F的大小及作用點位置： 例如，單位厚度水壩承受力側(cè)向靜水壓力的模型，側(cè)向靜水壓力自水面起為零至壩基處取最大值，中間呈線性分布。 結(jié)論與討論FRdFR其中：為水的密度；g為重力加速度；d為水深；d1為合力作用點至水面的距離。 應(yīng)用合力之矩定理不難求得其合力FR的大小及作用點位置： 結(jié)論與討論 關(guān)于實際約束的簡化模型 結(jié)論與討